Порядковые автоморфизмы внешне неоднородных несвязных порядков Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические структуры и моделирование 1998. Вып. 1, с.33-36.

УДК 514.82

ПОРЯДКОВЫЕ АВТОМОРФИЗМЫ ВНЕШНЕ НЕОДНОРОДНЫХ НЕСВЯЗНЫХ

ПОРЯДКОВ

Н.Л. Шаламова

It is shown that the order automorphisms of some disconnected exteriory non-homogeneous orders in affine space are affine transformations.

При построении аксиоматической теории относительности, основанной на идее определяющей роли причинно-следственных связей в задании топологии и геометрии пространства-времени, возникает проблема о правомерности предполагать наличие причинных связей в микромире. То, что причинность имеет место в макромире, не вызывает сомнений. Но имеем ли мы право экстраполировать этот факт на мир элементарных частиц? Выход видится в том, чтобы создать теорию, постулирующую макропричинность и умалчивающую о микропричинности. Возможно ли при этом прийти к геометрии пространства-времени Минковского, для которого группа причинных автоморфизмов совпадает с группой Пуанкаре? Такой вопрос был поставлен в 70-е годы А.Д.Александровым. Ответ оказался положительным [1]. Математически для этого используется теория несвязных порядков в аффинном пространстве. Особый интерес представляют гранично однородные порядки, которые реализуют идею изотропности физического пространства.

В этой статье исследуются автоморфизмы несвязного гранично однородного порядка. Показано, что они являются аффинными преобразованиями при условии, что события микромира, расположенные в пределах светового конуса с точки зрения одного наблюдателя, могут не восприниматься, вообще говоря, так же расположенными любым другим наблюдателем, хотя в сколь угодно далеком прошлом они обнаружены быть не могут.

Пусть в n-мерном аффинном пространстве Ап} п > 2, задан несвязный порядок V, т.е. указано семейство V = {Рх : ж £ Ап} подмножеств Рх пространства Ап} для которого выполняются условия: 1) х £ Рх; 2) если у £ Рх, то Ру С Рх\ 3) если у ф ж, то Ру ф Рх; 4) х ^ Рх \ {ж}.

Далее в статье используются следующие обозначения. Если А - подмножество Ап, то A, intA, и дА - соответственно замыкание, внутренность и граница множества А в естественной евклидовой топологии.

0 1998 Н.Л. Шаламова

E-mail: [email protected]

34 Н.Л. Шаламова. Порядковые автоморфизмы внешне неоднородных...

Гомеоморфизм /: Ап -Д Ап называется порядковым "Р-автоморфизмом, если для любой х £ Ап имеем f(Px) = Р}(х)- Группу порядковых автоморфизмов порядка V будем обозначать Aut(V). Если е фиксированная точка Ап, то Aut(V)e - это подгруппа группы Aut(V), оставляющая точку е неподвижной, т.е. если g £ Aut(V)e, то g(Pe) = Ре.

Порядок V называется гранично однородным ((^-однородным), если группа Aut(V)e действует транзитивно на <9Ре\{е}. Аналогично порядок V называется внешне однородным (ежРоднородным), если группа Aut(V)e действует транзитивно на Ап \ (Р~ U Ре), где Рф = {у £ Ап : Ру Э е}.

Предполагается, что порядок V, о котором идет речь ниже: 1) инвариантен относительно группы параллельных переносов, т.е. множества Рх, х £ Ап, задающие порядок, получаются друг из друга параллельными переносами; 2) гранично однороден; 3) intQx ф- $,intQx = Qx.

Пусть Qx = Рх\ {ж}, Q~ = Рф \ {ж}.

Внешний конус Сх для любого Рх представляет собой множество

(~'х ~ U

yEQx

«ху,

где 1ху - это луч с началом в точке ж, проходящий через у £ Qx.

Предположим, что Сх - конус с острой вершиной, т.е. не содержит прямой. Обозначим через С~ конус, центрально симметричный Сх относительно точки ж.

Рассмотрим следующие множества:

Ti = U <3^ Гг = (J Qx, 1 < г < +оо.

xEdQe xEdTt_i

Нетрудно видеть,что f(T\) = Т\ и /(Гг) = Ti для 1 < г < +оо. Допустим, что исследуемый нами порядок таков, что p(dQe} дСе) = 0, p(dQe} дТф = 0,1 < г < оо, где р(А, В) - это обычное евклидово расстояние между множествами А и В, и supuedQe(p(u,dCe)) < +оо.

Имеет место следующая

Теорема 1. Пусть V - несвязный гранично однородный порядок в аффинном пространстве Ап}п > 2, для которого выполнены указанные выше условия и существует выпуклый конус Кио с вершиной и0 £ intC~, любая опорная гиперплоскость к которому отсекает от Сф конечный объем, причем для любого / £ Aut(V)e имеем f(Ce) С Кио. Тогда любой порядковый V-автоморфизм будет аффинным преобразованием.

Замечание 1. Наличие ограничивающего конуса Кио означает отсутствие у порядка внешней однородности.

Прежде чем начать доказательство, отметим, что порядки, для которых выполняются условия теоремы, существуют. Примером могут служить гранично однородные порядки с внешним конусом с «острой» вершиной и строго

Математические структуры и моделирование. 1998. Вып. 1.

35

выпуклым множеством Qe. Именно таков следующий порядок:

V

(zi,zn) G An :

x = {ад, xn} G An.

Итак, приступим к доказательству теоремы.

Доказательство. Обозначим через Т следующее множество:

U /(С.), f€Aut{V)'.

I

Достаточно очевидно, что для любого f G Aut(V)e /Д-Г) = Т, и, кроме того, Т С Кио (это следует из условия теоремы). Поскольку V - несвязный порядок, то d = р(е, dQe) > 0 и р(е, ГД = (г + 1)й. Обозначим через р расстояние от точки е до точки и0. Легко видеть, что найдется такой номер га, что Tmuo f)B(z, d) = 0, B(z, d) = {v : p(y, z) < б?}, ж G dQe и /?(z, e) = d. Здесь множество Tmuo получено из Tm путем параллельного переноса t такого, что t(e) = u0.

Не ограничивая общности, считаем, что Т \ Се ф 0. Действительно, если Т = Се, то теорема доказана (см. [2]) (то, что Се С -Г, следует из определения Т, т.к. тождественное преобразование входит в Aut(V)e). Итак, пусть Wo G Т\Се. Тогда возможно следующее: либо w0 G An\(CeUC~), либо w0 G С~. Допустим первое. Поскольку р(дСе, <9ТД = 0(1 < i < +оо), то dQe П dTiWo ф- 0. Вспомним о конусе KUo. Самое большее, чем может быть этот конус, оставаясь выпуклым, - это полупространство, ограниченное гиперплоскостью дКио, отсекающей от конуса С~ ограниченный объем. В таком случае, обозначив = p(dKUo,dQe), d2 = p(dKU0,dTmU0), можно считать, что d2 много больше d\ (иначе заменим номер m на больший). Поэтому для всех точек у0 G дКио будем иметь Ттуо П B(z}d) = 0, т.к. шар B(z,d), о котором шла речь выше, лежит в открытой полосе int(KUo \ АДД, где KUl полупространство, параллельное АД0, p(dKUo, dKUl) = б?2, и е Д KUl. Понятно, что тем более Тту П B(z, d) = 0, для точек у G intKUo. Из этих рассуждений следует, что если KUo - выпуклый конус, не являющийся полупространством, то KUo С К' , где К' - полупространство, ограниченное некоторой опорной гиперплоскостью к KUo, отсекающей от С~ конечный объем, и для К' рассуждения, приведенные выше, верны. Значит, и для любых точек у G KUo имеем Тту П B(z, d) = 0 (напомним, что номер т всегда при необходимости можно увеличить). Итак, с одной стороны у нас Tmwo 3 dQe Ф 0, с другой - TmWQ П B(z, d) = 0. Но порядок V гранично однородный, поэтому должен существовать такой Г-автоморфизм / G Aut(V)e, что f(z0) = z, где z0,z G dQe, p(z, е) = d, z0 G dTmwo П dQe. Если это так, то ж G f(dTmwo П dQe), и, следовательно, f(dTmwo) П dB(z, d) ф 0, в силу приведенных выше рассуждений.

Предположим далее, что все же Т\Се ф 0 и w0 G Т\Се такова, что w0 G С~. Тогда возможно, что либо

36 Н.Л. Шаламова. Порядковые автоморфизмы внешне неоднородных...

a)Qe С Tiwo, либо

(3)dQe П dTlWo ф 0 для всех или для некоторых г, 1 < г < +оо.

Случай (3) не может иметь места в силу доказанного для всех г, начиная, вообще говоря, с некоторого i0. Значит, имеем следующее: dQe П dTioWo = 0. Тогда, поскольку Се С CWo (напомним w0 £ (7“), будем иметь (/е С TioWo. Точка w0 £ /(Се) для некоторого / £ Aut(V)e• Поэтому ид = /_1(гг0) £ Се, и, следовательно, /_1(/)е) С /_1(Тг-оШо) или (/е С TioWl7 что невозможно.

Значит, Т = Се, и теорема доказана. ■

Порядок "Pi = {-Рю : х £ А”} называется расширением порядка V = {Рх '. х £ А”}, если Рх С Ты, Рх ф- Р\х для любой точки х £ А” и Aut(V) С Aut('Pi).

Теорема 2. Пусть V - несвязный гранично однородный порядок в аффинном пространстве Ап}п > 2, для которого выполнены условия теоремы 1. Тогда порядок V расширяется до порядка С = {Сх : х £ Ап}; задаваемого семейством внешних конусов множеств Рх.

Доказательство. По доказанному выше имеем f(Ce) = Се для любого / £ Aut(V)e, и, следовательно, f(Cx) = Сдля любой точки х. Из [1] известно, что Сх - выпуклый конус. Поэтому семейство С задает порядок в А”, являющийся расширением порядка V, что доказывает теорему 2. ■

Литература

1. Гуц А.К. Аксиоматическая теория относительности // УМН. 1982. Т.37. N 2. С.39-79.

2. Шаламова Н.Л. Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве // Вестник Омского университета. 1996. N 1. С.12-14.