CC BY
36
УДК 513.82
ГРАНИЧНО ОДНОРОДНЫЕ ПОРЯДКИ С ТРАНСВЕРСАЛЬНЫМ ПЕРЕСЕЧЕНИЕМ В п-МЕРНОМ АФФИННОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Н.Л. Шаламова
It is shown that the order automorphisms of some disconnected boundary-homogeneous orders in affine space are affine transformations.
При построении аксиоматической причинной теории пространства-времени существенно используются результаты, касающиеся описания группы преобразований, сохраняющих порядок в аффинном пространстве [1]. В этой статье находится группа порядковых автоморфизмов для важного случая гранично однородных порядков.
Говорят, что в n-мерном аффинном пространстве Ап}п > 2 задан порядок V, если указано семейство V = {Рх : ж £ Ап} подмножеств Рх пространства Ап} для которого выполняются условия:
1) ж G Рх\
2) если у £ Рх, то Ру С Рх;
3) если у ф- ж, то Ру ф- Рх.
Порядок V = {Рх : ж £ Ап} называется связным, если ж £ Рх \ {ж} для любой ж £ Ап} и несвязным в противном случае. Если А - подмножество Ап} то A, intA, и дА - соответственно замыкание, внутренность и граница множества А в естественной евклидовой топологии.
Гомеоморфизм /: Ап —>■ Ап называется порядковым "Р-автоморфизмом, если для любой ж £ Ап имеем f(Px) = Pj(x)- Группу порядковых автоморфизмов порядка V будем обозначать Aut(V). Если е фиксированная точка Ап} то Aut(V)e - это подгруппа группы Aut(V), оставляющая точку е неподвижной, т.е. если g £ Aut(V)e, то g(Pe) = Ре.
Порядок V называется гранично однородным или кратко (^-однородным, если группа Aut(V)e действует транзитивно на дРе \ {е}. Аналогично порядок V называется внешне (ext-) однородным, если группа Aut(V)e действует транзитивно на Ап \ (Р~ U Ре), где Р~ = {у £ Ап : Ру Э е}. Под транзитивностью
0 1998 Н.Л. Шаламова
E-mail: [email protected]
Омский государственный университет
действия группы Aut(V)e на множестве D С Ап понимается следующее: если ж,у £ D, то найдется / £ Aut(V)e такой, что /(ж) = у.
Предполагается также, что порядок, о котором идет речь ниже, инвариантен относительно группы параллельных переносов, т.е. множества {Рх : ж £ А”}, задающие порядок, получаются друг из друга параллельными переносами. Считаем также, что п > 2.
Внешним конусом Сх множества Рх, ж £ Ап} называется множество
где 1ху - луч, выходящий из точки ж и проходящий через точку у £ Рх \ {ж}.
Полагаем далее, что Се = (7, Ре = Р, Рр = Рр} если обозначить Рх \ {ж} через <5^, а Р“ \ {ж} - через то Qe = <2, Q~ = Q~.
Порядок V называется максимально линейчатым, если для любой точки ж £ Ре \ {е} = Q имеем: Сх С Q.
Итак, пусть V = {Qx U {ж} : ж £ Аи},п > 2 - инвариантный относительно группы параллельных переносов несвязный порядок в n-мерном аффинном пространстве. Преположим, что для этого порядка V выполнены следующие условия:
(1) intQ ф 0 и Q = intQ;
(2) С - конус с острой вершиной, т.е. не содержит прямой;
(3) 3Q - гладкая гиперповерхность класса С1. (Т.е. в некоторой окрест-
ности Vz любой точки ж £ 3Q можно ввести локальную систему координат Ж1,...,жп_1 таким образом, что Vz будет задаваться уравнением хп = /{(ж1,. . ., f[ - гладкая функция класса С1. Напомним,
что в индуцированной топологии 3Q любая окрестность Vz задается как 3Q П B(z,e), где B(z,e) - открытый шар с центром в точке ж радиуса е > 0, а Ж1,. . ., хп - евклидовы координаты любой точки ж £ B(z, е).)
(4) пересечение множеств 3QX и 3Qy, у £ An \ (Рр U Рх) либо пусто, либо трансверсально. Под трансверсальностью пересечения множеств 3QX и 3Qу понимается следующее: если и0 £ 3QX П 3Qy и Тиох,ТиоУ - соответственно касательные гиперплоскости к 3QX в точке и0 £ 3Q и к 3Qy в точке и0 £ 3Qу} то dim(TUoy П TUoX) < п — 1. Иными словами две гиперповерхности 3QX и 3Qу в их общих точках не имеют общих касательных гиперплоскостей.
(5) Порядок V - гранично однородный.
Справедлива следующая
уеРх\{х}
Теорема 1. Пусть V = {Рх : х £ Ап},п > 2 - несвязный порядок в аффинном пространстве Ап, для которого выполняются условия (1)-(5). Тогда любой V-автоморфизм / является С-автоморфизмом, где порядок С задается семейством {Сх : х £ Ап} внешних конусов множеств Рх £ V, т.е. порядок С является пополнением порядка V.
Замечание 1. То, что С - это связный канонический порядок, известно из работы А.К. Гуца [2].
Замечание 2. Порядок V\ = {Р\х : х £ Ап} является пополнением (расширением) порядка V = {Рх : х £ А”}, если верно следующее: 1) для любой ж £ Ап Рх С Р1х; 2) AutQP) С AutQPQ.
Доказательство. Пусть Не - гиперплоскость, проходящая через точку е, причем Не П С = {е}. Поскольку Q С С и (7 - конус с острой вершиной, то найдется гиперплоскость Hw, параллельная Не, Hw Э ш, такая, что Hw Г) Q = Hw П 9Q 0 и множество Hw П 8Q будет компактно. Обозначим Hw П dQ через F
± W •
Так как множество Hw П С компактно, то множество Q будет находиться в полупространстве PLW, ограниченном гиперплоскостью Hw и не содержащем точки е (считаем, что Hw £ PLW). Напомним, что Q = intQ и intQ, в силу 9-однородности порядка V, связное множество, поэтому Hw - единственная гиперплоскость из семейства плоскостей, параллельных Не, для которой верно Hw C)Q = Hw П 3Q ф- 0. Отсюда мы можем сделать следующий вывод: Hw будет опорной гиперплоскостью к dQ в точках Fw С dQ.
Если р £ Fw, то, поскольку dQ - гладкая гиперповерхность класса С1, то в точке р £ dQ существует касательная к dQ гиперплоскость Тр, которая, как нетрудно видеть, будет совпадать с Hw.
Введем для всего дальнейшего изложения следующие обозначения. Если точка q £ dQ, то q* будем обозначать точку из dQ~, центрально симметричную q относительно точки е (очевидным является факт, что множества Q и Q~ - центрально симметричные относительно точки е для инвариантного относительно параллельных переносов порядка). Аналогично, если точка рх £ dQx, то р* £ 3Q~ и точки рх,р* центрально симметричны относительно точки ж.
Рассмотрим теперь множество Fw = Hw П dQ. Как нам известно, это непустое компактное множество. Покажем, что Fw состоит из одной точки. Пусть, напротив, Fw содержит более одной точки, т.е. нашлись точки р\ и р2} р\ ф- Р2 и?1,р2 е Fw.
Пусть г - параллельный перенос такой, что т(р\) = р2- Тогда для множества t(8Q) = dQTy) имеем: dQTy) Э Р2 и, поскольку t(Hw) = Hw, то касательная гиперплоскость к 9Qr(e) в точке р2 будет совпадать с Hw, т.е. ТР2 = Hw. Но в этом случае верно следующее: точка т(е) £ Не и, значит, т(е) ф С U С~ (здесь С~ - конус, центрально симметричный конусу С относительно точки е), поэтому т(е) £ An\(PU Р~). Пересечение dQC\dQTp) ф 0, так как dQC\dQTp) Э р2. Но касательные гиперплоскости к dQ и к dQTy) в точке р2 совпадают, что противоречит условию (4). Следовательно, наше предположение о том, что Fw содержит более одной точки, неверно и Fw = {pi} (считаем дальше р\ = р).
Если теперь параллельный перенос t таков, что t(p*) = р, то t(3Q~) П 3Q = {р} или 3Q~je) П 3Q = {р} и, кроме того, можества t(3Q~) = 3Q~и 3Q имеют в точке р общую касательную гиперплоскость, совпадающую с Hw. Нетрудно видеть также, что
t(3Q~) Г) 3Q = {Р} =t(Q~)nQ. (1)
Пусть теперь / £ Aut(V)e. Тогда f(p) = f(3Q~{e) П 3Q) = 3Q~(t(e)) П 3Q, т.е. множества 3Q^t^ и 3Q имеют только одну общую точку f(p). Отсюда вследствие гладкости вытекает, что гиперповерхности 3Q~j^ey и 3Q~ имеют в точке f(p) общую касательную гиперплоскость ТДр). Обозначим через Д параллельный перенос такой, что t1(f(t(e))) = f(p). Тогда (Д • t1)(3Qjpyp) П 3Q Э f(p) и множества dQp1.tl)(f(t(e))) и 5(3/р(е)) имеют в точке f(p) общую гиперплоскость. Значит, и множества 9Q(trti)(/(t(e))) и 3Q имеют в точке f(p) общую касательную гиперплоскость. Это следует из того, что под действием параллельного переноса Д о Д точка q, центрально симметричная точке f(p) £ ^Q](t(e)) от“ носительно /(t(e)), перейдет в точку /(р), а касательные гиперплоскости к 3Qj(t(e)) в точке q и к 3Qj^ey в точке /(р) параллельны.
Где расположена точка (Д о В)(/(Де))) = u0? Эта точка не может принадлежать int Q или 3Q, так как порядок V гранично однородный. В самом деле, в [2] показано, что в случае граничной однородности несвязного порядка для любой точки v £ Q имеем: Qv С intQ. Если точка u0 £ An \ (Ре U Р~), то мы получаем противоречие с условием (4). Значит, точка и0 = (В о В)(/(Де))) совпадает с точкой е. Это заключение позволяет сделать следующий вывод: множества 3Q и dQjpyp соприкасаются в точке /(р), причем если (/(р))* - точка, симметричная точке /(р) относительно е, и t2 - параллельный перенос такой, что t2(/(p)) = е, то (t2 о t2)(f(t(e))) = е, т.е. точка {/(р)} П dQ~(t(e)) = {/(р)} получается из точки (/(р))*, а множество 3Qj^ey из множества 3Q~ путем параллельного переноса it2 о t2)~l. Вообще, если точки v £ 3Q и щ £ Q~}x £ An таковы, что под действием параллельного переноса т\ такого, что тДж) = е точка щ переходит в точку v* £ 3Q~, то назовем также точки v и щ «условно симметричными».
Втак, мы имеем следующее: если множества 3Q и 3Q~ соприкасаются своими «условно симметричными» точками, то под действием любого автоморфизма / из Aut(V)e множество 3Q переходит в 3Q, множество 3Q~ - в 3Q~^xy и снова множества 3Q и 3Q~j^ соприкасаются своими «условно симметричными» точками.
Волученный только что результат можно сформулировать и иначе. Вусть даны три точки, лежащие на одной прямой: точка е, точка щ £ 3Q и точка bi = т2(е), где т2 - параллельный перенос, переводящий точку гф в щ, т.е. т2(гф) = Щ- Тогда для любого порядкового автоморфизма / £ Aut(V)e имеем: точки /(е) = е, /(щ), /(Ф) также лежат на одной прямой, /(щ) £ 3Q, и если т3 - параллельный перенос такой, что т3(/(гф)) = /(гi), то f(b\) = т3(е).
Докажем теперь следующее: если u0 £ 3Q, то луч /ф , выходящий из точки е и проходящий через точку и0, лежит в int Q} за исключением сегмента [е, и0]. Вредположим противное: пусть луч /+ пересекает 3Q более чем в одной точке
и пусть U\ - такая точка, что /+ \ [е, щ] С int Q (то, что такая точка существует, показано в работе [2]). Пусть теперь и\ - точка, симметричная и\ относительно е. Тогда луч /“*, выходящий из точки е и проходящий через точку и\, за исключением сегмента [е, и£] лежит в int Q~, причем на сегменте [е, и£] есть точки из 8Q~, отличные от и\ (напомним, что множества Q и Q~ - центрально симметричные относительно точки е, так как порядок V = {Рх}7х £ Ап инвариантен относительно группы параллельных переносов). Если перенос т* таков, что т*(н^) = щ, то множества 8Q и 8Q~t^ должны соприкасаться в точке и\ и в силу (1) 8Q П dQ~„^ = {щ} = Q П Q~*(ey Однако полусегмент т*[е,н^) попадает на множество /+ \ [e,iti] С int Q. В самом деле, параллельный перенос т* действует вдоль прямой /, содержащей лучи /+ и /“*. Под действием т* точка и\ переходит в щ, а точка е - в точку т*(е), лежащую на луче /* и находящуюся «дальше» от е, чем щ, т.е. p(e,r*(e)) > р{е,и\) (здесь p(u,v) - обычное евклидово расстояние между точками и иг). Поэтому множество 8Q П dQ~„yy которое по доказанному выше (см.(1)) должно совпадать с Q C]Q~*yy содержит точки отличные от и\. Противоречие. Значит луч /+ , iti £ 8Q лежит в int Q за исключением сегмента [е,и0].
Аналогично можно доказать и такое утверждение: если луч /+ , выходящий из точки х £ 8Q, параллелен какому-либо лучу /+ , выходящему из точки е и проходящему через точку и\ £ 8Q, то весь луч 1+ , за исключением точки ж, лежит в intQ. Рассмотрим для доказательства множество Qx. Так как ж £ 8Q, то Qx С intQ. Луч 1цид = т(/+), где параллельный перенос т таков, что т(е) = ж, начиная с точки f(iti), лежит в int Q (см. доказанное выше). Так как лучи /+и 1 и ^t(ui) совпаДают5 то и луч Z+Ui лежит в intQ, начиная с точки f(iti) (т.е. Itui \ [A'K^i)] С Q). Пусть теперь точка v £ 8Q такова, что луч /+ за исключением сегмента [ж, г] лежит в int Q. Как и выше, обозначим v* точку, центрально симметричную точке v относительно е, и пусть параллельный перенос 7Г переводит точку г* в г, тогда множества 8Q и 8QQey равно как и множества Q и Q~yy должны иметь только одну общую точку, и эта точка совпадает с v. Если же луч /+ содержит точки из 8Q, отличные от ж, то и луч 1~„и* содержит точки из 3Q~, отличные от ж*. Поэтому луч тт(/”*„*) на сегменте [7г(г*), 7г(ж*)] имеет точки из tt(8Q~) = 8Q~yy которые попадают в int Q, так как 7г(г*) = г, и, значит, полусегмент (7г(г*), 7г(ж*)] С lXUl \ [и, ж] С Q. Но (7г(г*), 7г(ж*)) П <5”(е) ф 0, поэтому Q П <5”(е) ф {и}. Противоречие.
Итогом рассуждений, приведенных выше, является следующий вывод: если точка ж £ 8Q, то intCx С int Q, где Сх - внешний конус множества Рх. Но тогда intCx С int Q, т.е. Сх С Q для любой ж £ Q, т.е. порядок V будет максимально линейчатым.Поэтому по теореме, доказанной А.К.Еуцом в [2], имеем: для любого / £ Aut(V)e и g £ Aut(V) верно следующее: f(C) = С и д(Сх) = Сд(ху
Нетрудно видеть, что семейство внешних конусов Сх множеств Рх задает порядок, являющийся пополнением порядка V. Итак, теорема 1 доказана. ■
Следствие 1. Если порядок V = {Рх : ж £ А”}, п > 2, заданный в аффинном пространстве, удовлетворяет условиям теоремы 1, то для любой точки ж £
8Q имеем следующее: Сх \ {ж} С int Q.
Доказательство аналогично приведенному выше.
Теорема 2. Пусть порядок V = {Рх : ж £ Ап}; заданный в аффинном пространстве Ап, п > 2, удовлетворяет условиям теоремы 1.
Тогда множество Q будет выпуклым, т.е. любая его касательная гиперплоскость будет строго опорной гиперплоскостью, отсекающей от внешнего конуса С конечный объем.
Замечание 3. Гиперплоскость Нх в точке ж £ gQ назовем строго опорной, если верно следующее:
1. Нх П Q = {ж};
2. Q попадает в одно из полупространств, на которые разбивает Ап гиперплоскость Нх.
Замечание 4. Теорема, аналогичная теореме 2, доказана А.К. Гуцом в [2]. Данное доказательство получено независимо и существенно отличается от доказательства А.К. Гуца.
Доказательство. Начиная доказательство, вспомним, что С - строго выпуклый конус с острой вершиной. Разобьем множество всех гиперплоскостей в Ап на три непересекающихся класса. К первому классу отнесем все гиперплоскости, которые пересекают CUC~ по компактному множеству. Во второй класс попадут гиперплоскости, параллельные какой-либо прямолинейно образующей конуса дС или дС~, или содержащие какую-либо прямолинейную образующую из дС или дС~. Все остальные гиперплоскости, пересекающие С U С~ по некомпактному множеству и не параллельные прямолинейным образующим дС и дС~, попадут в третий класс.
Обозначим эти классы Аэ, Ап, Аг соответственно. Рассмотрим теперь множество
Аэ = {ж £ dQ : Тх £ Аэ}.
Здесь, как и выше, через Тх обозначим касательную гиперплоскость к 8Q в точке ж £ 8Q. То, что множество Аэ ф- 0, следует из доказательства теоремы 1. Заметим, что если ж £ Аэ, то Тх П Q = {ж}. Доказывается это также, как и выше. Вокажем теперь, что intA3 в индуцированной топологии 8Q не пуста. Если луч /+ С дС, то обозначим через а+ единичный вектор, идущий вдоль /+ и выходящий из точки е. Аналогично, если луч l~ С 8С~, то через а~ обозначим единичный вектор, выходящий из точки е и идущий вдоль луча 1~.
Введем функцию / = хп — . . ., t„_i) в окрестности любой точки
ж £ 8Q. Вапомним, что множество 8QC\VX (Vx - окрестность точки ж в Ап, представляющая собой открытый шар некоторого радиуса г > 0 с центром в точке ж) может быть задано уравнением / = 0 = хп — . . . , где xi,. . . , хп
- обычные евклидовы координаты любой точки в шаре Vx. Тогда grad f(u0)
- это вектор нормали к касательной гиперплоскости TUo, и0 £ 8Q П VXo. Если
теперь TUo £ /Сэ, то верно следующее: если для некоторого луча /+ С ЗС с направляющим вектором а+ верно (a+,grad f(u0)} > 0 (или (a+}grad f(u0)} < 0), то и для любого другого луча If С ЗС с направляющим вектором af верно (af,grad /(it0)) > 0 (соотв. (af,grad /(it0)) < 0). (Напомним, что (а, Ъ) -обычное скалярное произведение в Ап).
Если TUo £ /Сп, то найдется луч /+ С ЗС такой, что (a+}grad f(u0)} = 0 для вектора а+, идущего вдоль /+. Для касательных гиперплоскостей TUo £ )Сг верно следующее: найдутся два луча if, if С ЗС такие, что для векторов а/, af имеем:
(■af,grad f(u0)) • (af,grad f(u0)) < 0; (2)
здесь вектора а/, а/ идут соответственно вдоль лучей lf,lf.
Пусть и0 £ Аэ. Аэ ф- 0, так как С - строго выпуклый с острой вершиной и для точки р £ Fw из доказательства теоремы 1 имеем Тр £ Аэ. Рассмотрим окрестность VUo, точки u0 £ dQ, о которой шла речь выше. Так как и0 £ Аэ, то касательная гиперплоскость TUo £ /Сэ. Будем считать для определенности, что для любого луча /+ С дС, имеющего направляющий вектор а+, имеем
(a+,grad /(it0)) > 0. (3)
Обозначим далее для удобства множество направляющих векторов для лучей из дС через Sr-1-, а множество направляющих векторов для лучей из дС~ -через Sr-.
Поскольку функция /(ад,. . ., хп) = ад — /i(ti, . . . , t„_i) непрерывно дифференцируемая, а
grad f(u0)
К
dxi
(“о), • • •,
df
dxn_i
(u0), 1
5
то найдется окрестность WUo точки u0 в индуцированной топологии 3Q такая, что WUo С VUo, и для любой точки u £ WUo и любого а+ £ Sr+ верно следующее:
(a+,grad f(u)) > 0. (4)
А это означает на самом деле, что в окрестности WUo не найдется точек и таких, что либо Ти £ /Сп, либо Ти £ К,г- Таким образом, мы показали, во-первых, что intA3 ф- 0 и, во-вторых, что Аэ - открытое множество (точка и0 £ Аэ была выбрана произвольно).
Покажем теперь, что Аэ С 0Q будет также и замкнутым множеством в индуцированной топологии 8Q. Тогда Аэ = 3Q и теорема доказана.
Предположим, что Аэ \ Аэ ф 0, т.е. нашлась точка v £ Аэ \ Аэ. Пусть dQ в окрестности точки г, которая получается как dQ П П(г,е2), задается функцией, которую мы обозначим также /(ад,. . . , хп), помня, что вообще говоря, она отлична от той функции, о которой идет речь в (5). Тогда либо v £ Ар, либо v £ Аг, где
Ат = {ж £ dQ : Тх £ /Сг},
Ап = {ж £ dQ : Тх £ /Сп}-
Если v £ Аг, то, как показано выше, в некоторой окрестности Vv точки с, Vv С dQ, имеем (a^,grad /(гс)) • (a^grad /(гс)) < 0, для а/, а/ £ S"1", w £ Vv.
Так как v - предельная точка множества Аэ, то найдется последовательность точек vm из Аэ такая, что vm —У v при m -У оо. Поскольку /(ад,. . . , хп) - непрерывно дифференцируемая функция, то
lim ((«/,grad f(vm)) ■ (a%,grad f(vm))) =
m—* oo
= (a+,grad f(v)) • (a\,grad f(v)) > 0,
как следует из (4), что противоречит (3), т.к. v £ Аг-
Проверим, может ли точка v £ Аэ \ Аэ принадлежать множеству Ап. Итак, допустим, что v £ Ап и последовательность точек {cm}“=1, vm £ Аэ сходится к V. Если теперь TVm,Tv - касательные гиперплоскости к dQ в точках vm,v, то обозначим через TQ, (dF~m = TVm,dlF~ = Tv) те полупространства, которые содержат точку е. Так как v £ Ап, то мы имеем следующее: Тф П int Q ф- 0. Это следует из того, что гиперплоскость Tv параллельна какой-либо прямолинейной образующей из <9(7, a dCv \ {г} С int Q, как известно из следствия Е Для любого vm,vm £ Аэ,1 < т < сю, напротив, имеем F~m П int Q = 0,1 < т < оо. Пусть точка u £ dCv П В (г, Ц) ,и ф v. Поскольку и £ int Q, то найдется открытый шар В(и,ац) радиуса щ > 0 с центром в точке и такой, что (1) В(и,ец) С В (г, у) ; (2) В(и,еi) С int Q. Поскольку при vm —У v вследствие непрерывной дифференцируемости функции /(ад,. . ., xn), grad f(vm) -У grad f(v) (мы будем писать TVm -У Tv), то мы имеем также ~^ Т7/ при vm —У v. Когда мы пишем -У TQ, то мы имеем в виду следующее: так как TVrnf\B(v, е2) = {у £ АпГ\В(и,е2) : (grad f(vm),y — vm) = 0}, то T~ П B(v, е2) = {у £ Ап П B(v, е2) : (grad f(vm), у — vm) < 0}, и, значит, если vm —> v в индуцированной топологии dQ, то Нпщ^оо (grad f(vm), у — vm) = (grad f(v), у - v) < 0, a П B(v, e2) = {у £ An П B(v, e2) : (grad f(v), у - v) < 0}. Здесь у = (уi,. . . , yn) - координата точки в B(v, е2), т.е. dQ П B(v, е2) задается уравнением /(уi,. . ., уп) = 0.
Полупространства можно представить себе получающимися из Тф путем поворота вокруг фиксированной точки v на угол рт, при котором вектор grad /(г), будучи отложен от точки г, переходит в вектор grad f(vm), при условии, что grad f(vm) тоже отложен от точки v и имеет длину, равную длине вектора grad f(v) и последующего сдвига на некоторый вектор ат. Не ограничивая общности, можно считать, что для любого т полупространства ,
получающиеся из Тф путем поворота вокруг точки v на угол рт, верно следующее: Тфт П В (и, Ц) ф 0. Это возможно вследствие того, что Тх~ Эи и grad f(vm) -У grad f(v) при vm -У v, т.е. угол <рт для достаточно больших т может быть выбран сколько угодно малым. Если для какого-либо т0 это неверно, то Тфт мы исключаем из рассмотрения, а последовательность точек vm заменяем на ее подпоследовательность vmk -У и. Далее, можно из последовательности vmk выбрать такую подпоследовательность vmk , что для любого £ц имеем: Тф получается из Тф путем сдвига на вектор ад такой, что длина
вектора ay не превосходит Тогда для членов подпоследовательности vmk верно: Т~ П B(u,ei) ф- 0, в то время как по условию полупространства Тб таковы, что Т~ Э е,дЛб = TVm и так как TVm £ /Сэ, то ТА П (Д = 0. Противоречие.
Теорема 2 доказана. ■
Теорема 3. Пусть порядок V = : х £ Ап},п > 2; заданный в аффинном
пространстве Ап, удовлетворяет условиям теоремы 1.
Тогда любой порядковый V-автоморфизм / будет аффинным преобразованием.
Доказательство. Воспользуемся конструкцией, предложенной А.К. Гуцом в [2]. Поскольку, как доказано в теореме 1, любой "Р-автоморфизм / из Aut(V)e является С-автоморфизмом из Aut(V)e, т.е.сохраняет внешний конус (7, то, добавив к Aut(C)e гомотетии с центром в т. е, получим множество гомеоморфизмов, сохраняющих внешний конус С. Обозначим множество таких гомеоморфизмов через Ф(С). Поскольку порядок V гранично однородный, а множество Q - выпуклое, то множество гомеоморфизмов Ф(С) будет действовать тран-зитивно на intC. Но тогда, в соответствии с результатом Э.Б. Винберга [3] множество гомеоморфизмов Ф(С) будет множеством аффинных преобразований. Но Aut(V)e С Ф(С), поэтому любой порядковый "Р-автоморфизм / будет аффинным преобразованием.
Теорема 3 доказана. ■
Следствие 2. Если V = {Рх : х £ Ап}}п > 2 - несвязный порядок, удовлетворяющий условиям теоремы 1, внешний конус С которого - это эллиптический конус, то группа Aut(V)e является подгруппой группы Лоренца. Доказательство очевидное.
Литература
1. Гуц А.К. Аксиоматическая теория относительности // УМН. 1982. Т.37. N 2. С.40-79.
2. Гуц А.К. Порядковые и пространственно-временные структуры на однородных многообразиях // Дис. ... докт. физ.-мат. наук. Институт математики СО РАН. - Новосибирск, 1987. 203 с.
3. Винберг Э.Б. Строение группы автоморфизмов однородного выпуклого конуса II Труды ММО. 1965. Т.13. С.56-83.
