CC BY
22
Математические структуры и моделирование 1998. Вып. 1, с.27-32.
УДК 519.1
АФФИННЫЕ СИММЕТРИИ МНОГОГРАННИКА СИСТЕМЫ НЕЗАВИСИМОСТИ
О.В. Червяков
In the present work in the terms of inseparable sets is received criterion of existence of symmetry of independence system polyhedron for any shift. On the basis of it is developed polynomial (accurate to oracle of independence) algorithm of construction of the appropriate symmetry.
1. Введение
Пусть E = {ei, e2,. . ., en} - множество мощности n. Системой независимости на множестве Е называется непустое семейство J его подмножеств, удовлетворяющее условию: если J £ J и / С J, то / £ J. Множества семейства J называется независимыми множествами.
Пусть Re - евклидово пространство, ассоциированное с Е посредством взаимооднозначного соответствия между множеством координатных осей пространства Re и множеством Е. Иными словами, RE можно понимать как совокупность вектор-столбцов размерности п с вещественными компонентами, индексированными элементами множества Е. Всякому S С Е сопоставим его вектор инциденций по правилу: = 1 при е £ S , = 0 при е ф S. Оче-
видно, что это правило задает взаимооднозначное соответствие между 2е и вершинами единичного куба в RE. Многогранник системы независимости J определим как P{J) = Convex1 \ I £ J) [5]. Ясно, что векторы инциденций независимых множеств J и только они являются вершинами многогранника
p(J).
Пусть Р С RE - произвольный многогранник. Симметрией многогранника Р назовем такое невырожденное аффинное преобразование <р пространства Re, что <р(Р) = {ср(х) | х £ Р} = Р. Как известно, всякое невырожденное аффинное преобразование <р определяется невырожденной (п X п)-матрицей А и сдвигом h £ Re, то есть <р(х) = Ах Ah при х £ RE [1]. Очевидно, что невырожденное аффинное преобразование ф пространства RE является симметрией
0 1998 О.В. Червяков
E-mail: [email protected]
28
О.В. Червяков. Аффинные симметрии многогранника...
многогранника P( J) тогда и только тогда, когда для любого / £ J существует такое J £ J7”, что ф(х1) = xJ.
Симметрию с нулевым сдвигом будем называть линейной симметрией. Очевидно, что множество всех симметрий многогранника Р является группой относительно суперпозиции отображений, а множество линейных симметрий - ее подгруппой. Группу всех симметрий многогранника P( J) мы будем обозначать через б'(бТ’), а ее подгруппу линейных симметрий - через L( J).
Пусть Н £ J. Н-отображением будем называть линейное невырожденное преобразование ф пространства RE, удовлетворяющее условию: для любого / £ J существует такое J £ J7”, что ф(х1) = xJAH, где под J Д Н подразумевается симметрическая разность множеств J и Н. Положим J/SH = {I/SH\I £ J}. Так как \J Д Н\ = |Д|, то невырожденное преобразование ф является //отображением, если и только если для любого J £ J Д Н является
вектором инциденций независимого множества.
В [4] были получены следующие результаты о структуре группы S{ J). Группу можно разбить на непересекающиеся классы
{Sh}heJ> где Sh ~ класс симметрий многогранника Р(Д), имеющих сдвиг хн. Это позволяет свести описание группы S( J) к описанию классов {Sh}heJ■ Каждый класс Sh является левым классом смежности группы S( J) по подгруппе L( J). Следовательно класс Sh можно получить, зная хотя бы одного его представителя и подгруппу L( J). Исследования последней проводились ранее в [3] для системы независимости и, в частности, для матроида, и в [2] - для семейства паросочетаний. Преобразование <р £ б'я, если и только если <р = где
( 1 — 2аД \
1 - 2хф
рфх) = { 1 - 2х» /
ТТ
х X ,
a ip2 ~ Н-отображение. Причем 77-отображение существует тогда и только тогда, когда Sh ф- 0- Таким образом, для описания класса Sh достаточно знать какое-либо /^-отображение.
В настоящей работе в терминах неразделимых множеств получен критерий существования //-отображения для произвольного // £ J. На основании этого, если Sh не пуст, разработан полиномиальный (с точностью до оракула независимости) алгоритм построения соответствующего //-отображения.
Ниже приведены понятия и факты, необходимые для дальнейшего изложения.
Пусть Ai - семейство подмножеств из Е. Множество / £ Ai называется разделимым относительно м , если существует такое множество S С /, что S ф- 0, I\S ф $ и S,I\S £ Ад. В противном случае оно называется неразделимым. Понятно, что в случае системы независимости неразделимыми множествами относительно J будут только множества, состоящие из одного элемента.
Пусть / £ Ai - разделимое множество относительно Ai. Разделением мно-
Математические структуры и моделирование. 1998. Вып. 1.
29
жества I относительно множества Л1 называется семейство, по крайней мере двух, непустых попарно не пересекающихся подмножеств множества /, принадлежащих А4, объединение которых равно /. Очевидно, что для каждого разделимого множества / существует разделение, элементами которого являются только неразделимые множества. Такое разделение мы будем называть простым разделением.
Для каждого е £ Е и Н £ J определим класс Xf множеств {е} U (Н \ В), где В - максимальное по включению множество, удовлетворяющее следующим условиям: {е} U В £ J, В С Н. Очевидно, что каждый класс Xf не пуст. Понятно также, что если е G Я, то Xf состоит из единственного множества {е}, а если е Д Н, то множества из класса Xf имеют вид {е} + D, где D - некоторое подмножество Н. Поэтому никакие два множества из разных классов не равны.
Без ограничения общности будем считать, что размерность многогранника Р равна га, ибо в противном случае существует элемент е £ Е, не содержащийся ни в каком независимом множестве и, следовательно, вместо Е можно рассматривать множество Е \ {е}.
2. Критерий существования ^-отображения
Итак, пусть у нас зафиксирована система независимости J на множестве Е = {ei, е2,. . ., еп}.
Лемма 1. Пусть у - Н-отображение такие, что
(д(ж7) = xJ. Тогда I является неразделимым относительно J, если и только если J неразделимо относительно J АН.
Доказательство. Пусть / разделимо относительно J, и {Г, I \Т} - его разделение. Тогда
(/Дж1) = <у(хт + *АТ) _ р^х1) + (p(xI\T) = xJl + х'12 = xJl+j2 = xJ,
где {Ji, J2} есть разделение множества J относительно J Д Н, в силу невырожденности <р.
Пусть J - разделимо относительно J Д Н и {Т, J \ Т} - его разделение. Тогда
СP~l(xJ) = ip~1(xT + XJ\T) = (Д-Дж-7) + (Д_1(жАТ) = Х1х + ж/2 = ж/1+/2 = ж1, где {/i,/2} есть разделение множества / относительно J. Я
Лемма 2. Каждый класс содержит только неразделимые относительно J АН множества.
Доказательство. Пусть J = {е} U (Н \ В) £ ХД (В - максимальное по включению множество, удовлетворяющее условиям: В С Я и {е} U В £ J). По построению множества J ясно, что оно принадлежит J АН. Допустим, что оно разделимо относительно J Д Н и а = {Г, 1\Т} - его разделение. Так как е £ J,
30
О.В. Червяков. Аффинные симметрии многогранника...
то, без ограничения общности, можно считать, что е £ Т. Тогда J\T С Н, как легко убедиться прямыми вычислениями, {е} U В U (J \ Т) £ Д. Следовательно, так как J\T 7^ 0 и ВП (J\Т) = 0, то В - собственное подмножество ВU (J\T). Это противоречит выбору В. Я
Теорема (Критерий существования ^-отображения). Пусть J - система независимости на Е, Н £ J. Для существования Н-отображения необходимо и достаточно выполнения следующих условий:
(A) Число неразделимых относительно ДАН множеств равно п;
(B) Пусть а - разделение множества J £ ДАН относительно ДАН. Тогда любое объединение элементов а принадлежит ДАН.
Доказательство. Необходимость. Условие (А) следует из леммы 1 и того, что неразделимыми относительно Д будут только одноэлементные множества, которых п штук. Докажем условие (В). Пусть <р - Н-отображение и а = {Ji, J2, ■ ■ ■, Jk}- Без ограничения общности рассмотрим объединение первых р элементов разбиения а. Если р = к, то условие доказано. Иначе:
Lp~1(xJ) = Lp-1[xJi + - + JP + Jp+l+- + Jk^ =
= Lp~1(xJl) + . . . + Lp~1(xJp) + Lp~1(xJp+1) + . . . + Lp~1(xJk) =
-- _L_ I rplp rplp-V 1 _l_ _|_ rplk rph +...+ E+C+1 +...+ A rpl
By I ф ф ф I СЛУ I СЛУ I ф ф ф I СЛУ By By ^
где / G Д. Так как любое объединение подмножеств независимого множества независимо, то
1J иед Ж
г = 1,р
xh+-+Ip) = p{xh) + . . . + p(xIp) = xJl + . . . + xJp = xJl+-+Jp = xT,
где T G Д A H, что и требовалось доказать.
Достаточность будем доказывать конструктивно. Так как классов {1^}ееЕ ровно п и все они не пусты, то при выполнении условия (А) каждый класс Xf содержит только одно множество, которое мы обозначим через if. Пусть А - (п X п)-матрица, у которой j-й столбец (j = 1 ,п) есть вектор инциден-ций множества if. Докажем, что преобразование р(х) = Ах является Н-отображением.
Для начала докажем, что преобразование <р - невырожденно. Действительно, из определения множеств if, после соответствующих перестановок строк и столбцов матрица А приобретает вид:
Н_____
Е : *
0 : Е
Н
Математические структуры и моделирование. 1998. Вып. 1.
31
где Е - единичная матрица.
Пусть J - любое множество из J /АН. Докажем, что прообраз его вектора инциденций при преобразовании <р является вектором инциденций независимого множества.
Если оно неразделимо относительно J АН, то, по условию (А), оно является множеством if для некоторого е £ Е. Причем, по построению, p~l{xJ) = х^е\ Пусть теперь J АН разделимо и о - простое разделение множества J относительно J Д Н. По условию (А), оно состоит из множеств if (е £ Е). Положим
о= у у.
1^е<т,е£Н
По условию (В), множество D £ J Д Н и, следовательно, D Д Н £ J. С другой стороны, прямыми вычислениями легко убедиться, что у>~х{<1) = xDAH, что и требовалось доказать. ■
Из доказательства критерия немедленно вытекает следующее
Следствие . Если Sh ф 0, то существует Н-отображение следующего вида: <р(х) = (ж/е1 ж/е2 . . . х1^ ) х. Ж
3. Алгоритм построения ^-отображения
Последнее следствие позволяет построить алгоритм, который, при Sh ф 0, выдает //-отображение.
Алгоритм поиска //-отображения
Пусть А = (ар) - га х га-матрица.
t-я итерация it = 1 ... га).
Шаг 1. аи = 1, D = {еД, В = Н и переходим к шагу 2.
Шаг 2. Если В = 0, то переходим к шагу 3. Иначе пусть s £ В. Если D U {s} £ U, тогда D = D U {з}. Исключаем s из В и переходим к шагу 2.
Шаг 3. Для всех k = 1 ... га, кроме t, сделать: если £ Н \ D, то a^t = 1, иначе aj~t = 0. Переходим к шагу 4.
Шаг 4. Если данная итерация последняя it = га), то А - матрица Н-отображения. Иначе переходим к следующей итерации.
Вычислим сложность алгоритма. Под длиной входа будем понимать количество элементов во множестве Е. Все шаги, кроме третьего, содержат не зависящее от га количество операций, а третий шаг содержит га — 1 операцию. В каждой итерации все шаги, кроме второго, повторяются один раз, а второй шаг повторяется \Н\ раз, которых не больше, чем га. Так как итераций алгоритма га, то из выше сказанного следует, что сложность алгоритма 0(п2) (с точностью до оракула независимости, обращение к которому происходит на втором шаге).
О.В. Червяков. Аффинные симметрии многогранника...
32
Литература
1. Емеличев В.А., Ковалев М.М., Кравцов М.К. Многогранники, графы, оптимизация. - МлНаука, 1981.
2. Симанчёв Р.Ю. Линейные симметрии многогранника паросочетаний и автоморфизмы графа // Вестник Омского университета. 1996. N 1. С.18-20.
3. Червяков О.В. Линейные симметрии и автоморфизмы матроида // Фундаментальная и прикладная математика. Омск: ОмГУ, 1994. С.81-89.
4. Червяков О.В. Симметрии многогранника системы независимости // Вестник Омского университета. 1997. N 3. С.18-20.
5. Conforti М., Laurent М. On the facial structure of independence system polyhedra // Math, of operations research. 1988. V.13. N 4. P.543-555.
Математические структуры и моделирование 1998. Вып. 1, с.33-36.
УДК 514.82
ПОРЯДКОВЫЕ АВТОМОРФИЗМЫ ВНЕШНЕ НЕОДНОРОДНЫХ НЕСВЯЗНЫХ
ПОРЯДКОВ
Н.Л. Шаламова
It is shown that the order automorphisms of some disconnected exteriory non-homogeneous orders in affine space are affine transformations.
При построении аксиоматической теории относительности, основанной на идее определяющей роли причинно-следственных связей в задании топологии и геометрии пространства-времени, возникает проблема о правомерности предполагать наличие причинных связей в микромире. То, что причинность имеет место в макромире, не вызывает сомнений. Но имеем ли мы право экстраполировать этот факт на мир элементарных частиц? Выход видится в том, чтобы создать теорию, постулирующую макропричинность и умалчивающую о микропричинности. Возможно ли при этом прийти к геометрии пространства-времени Минковского, для которого группа причинных автоморфизмов совпадает с группой Пуанкаре? Такой вопрос был поставлен в 70-е годы А.Д.Александровым. Ответ оказался положительным [1]. Математически для этого используется теория несвязных порядков в аффинном пространстве. Особый интерес представляют гранично однородные порядки, которые реализуют идею изотропности физического пространства.
В этой статье исследуются автоморфизмы несвязного гранично однородного порядка. Показано, что они являются аффинными преобразованиями при условии, что события микромира, расположенные в пределах светового конуса с точки зрения одного наблюдателя, могут не восприниматься, вообще говоря, так же расположенными любым другим наблюдателем, хотя в сколь угодно далеком прошлом они обнаружены быть не могут.
Пусть в n-мерном аффинном пространстве Ап} п > 2, задан несвязный порядок V, т.е. указано семейство V = {Рх : ж £ Ап} подмножеств Рх пространства Ап} для которого выполняются условия: 1) х £ Рх; 2) если у £ Рх, то Ру С Рх\
3) если у ф ж, то Ру ф Рх; 4) х ^ Рх \ {ж}.
Далее в статье используются следующие обозначения. Если А - подмножество Ап, то A, intA, и дА - соответственно замыкание, внутренность и граница множества А в естественной евклидовой топологии.
0 1998 Н.Л. Шаламова
E-mail: [email protected]
