CC BY
23
УДК 514.821
АСИМПТОТИЧЕСКИ ЛИНЕЙЧАТЫЙ ПОРЯДОК
И.Л. Шаламова
Let an order х in affine space Ап,п > 2, satisfies the conditions: 1) x 0 Px \ {ж}, where Px = {y : x -< y}; 2) it is invariant with respect to the group of parallel translations; 3) the cone Cx = Uу<гРх\{х}^-(хдУ) > where C(x,y) is a ray with the origin x passing through y, is the cone which does not contain the line; 4) it is asymptotic lined. Then investigation order X can be reduced to study of the conal order.
Пусть семейство множеств V = x E An,n > 2} задает порядок в п-мерном
аффинном пространстве, то есть выполняются условия: (г) для любой точки х Е Ап имеем х Е Рх] (гг) если у Е Рх, то Ру С Рх ; (in) если х Ф у, то Рх ф Ру.
Назовем внешним конусом любого множества Рх, х Е Ап, конус Сх , определяемый следующим образом:
Сх = (J С(х,у),
уеРх
где С(х, у) - луч, выходящий из точки х и проходящий через точку у.
Здесь и далее в статье через A, int(A), дА обозначаются соответственно замыкание, внутренность и граница множества А по отношению к естественной топологии в Ап.
Говорим, что конус Сх является конусом с острой вершиной, если он не содержит прямой. Порядок V называется связным, если х Е Рх \ {х}, и несвязным в противном случае.
При рассмотрении несвязных порядков удобными являются следующие обозначения: Qx = Рх\ {х }•: Qe = Ре\ {е}, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем. Здесь е - фиксированная точка в . 1".
Биекция / : . 1" i—у Ап, для которой имеем f(Px) = Pf(x), называется порядковым автоморфизмом или "Р-автоморфизмом.
Группу порядковых Р-автоморфизмов обозначаем через Aut(P), ее стабилизатор в точке е е Ап (то есть такую подгруппу группы Aut(P), что /(е) = е) - через Aut(V)e.
Порядок Р называется гранично однородным, если для любых точек х, у е дРе \ {е}, х А у, найдется такой порядковый автоморфизм / е Aut(V)e, что }'(х) = у.
© 2001 Н.Л. Шаламова
E-mail: [email protected] Омский государственный университет
Итак, рассматриваем в п - мерном аффинном пространстве .1". и > 2 несвязный порядок V = {Рх = QX[J{%} '• % Е Ап}, инвариантный относительно действия группы параллельных переносов, внешний конус которого имеет в каждой точке .г Е .1" острую вершину.
Назовем порядок V асимптотически линейчатым, если существует число R > 0 такое, что для открытого шара B(x,R) радиуса R с центром в точке х Е .1" множество /' \ В(х, R) будет линейчатым в смысле определения [1],
Напомним это определение. Порядок V называется Аэлинейчатым, к = 1,2,,,, (к ^ п), если существуют лучи А(е, ад),,,,, £*,(е, ад), не лежащие в одной (к — 1) - мерной плоскости и удовлетворяющие условиям : (о) Ci(e,Xi) С Сд (Ь) для любой прямой А параллельной любому из лучей Д(е, ад) множество Q f) А либо пусто, либо является лучом. Линейчатым или £-линейчатым порядком называем 1-линейчатый порядок относительно луча £.
Область воздействия I’,. называется максимально линейчатой, если она является линейчатой по отношению к любому лучу С из внешнего конуса Се .
Порядок V = {Vx : х Е .1" }■ называется расширением порядка Af = {Nx : х Е . 1" }•. если, во-первых, для любой точки х Е .1" мы имеем Nx С Vx; во-вторых, Aut(Af) с Aut(V).
Понятие асимптотически линейчатого порядка, очевидно, является ослаблением понятия линейчатого порядка. Обоснование естественности данного определения может быть следующим, Коль скоро изучение порядков связано с такими областями знаний, как, например, теория относительности и теория информации, то мы вынуждены принять к сведению тот факт, что получение информации о поведении той или иной совокупности объектов происходит всегда по истечению какого-либо промежутка времени, иногда достаточно большого, по отношению к тому моменту времени, когда интересующее нас событие произошло.
Переходя на язык порядковых структур, ту же самую идею можно сформулировать так: те или иные свойства или особенности строения областей влияния Рх нам известны, вообще говоря, только вне некоторого шара B(x,R) радиуса R, где R - некоторое положительное (возможно очень большое) число, то есть на множестве Рх \ В(х, R).
Имеет место следующая
Теорема 1. Пусть V = {Рх = Qx\J{x} : х Е An, п > 2} - несвязный асимптотически С-линейчатый порядок, инвариантный относительно действия, группы параллельных переносов. Тогда его можно расширить до С-линейчатого связного порядка.
Доказательство. Рассмотрим следующее семейство множеств, построенное для некоторой фиксированной точки е Е Ап:
У = Lite*: * е ад,}, У = (J{Z?: г е ад,}, ... . Ц = Удг1 : г € ад,,},
Здесь Т* - это множество, получающееся из параллельным переносом rez, переводящим точку е в точку г. Очевидно, что найдется такое k0 Е N такое, что р(е,дТ^°) >• R, так как р(е,дТ\’I) = 2d > 0, где d = p(e,dQe) (под
р(е, А) понимаем обычное евклидово расстояние от точки до множества, то сеть р(е, А) = ml{p{e,x) : х Е А}),
Если наш исходный порядок £-линейчатый, то теорема верна, так как используя конструкцию, предложенную в [2], то сеть переходя от семейства множеств V = {Рх} к семейству множеств Г = {Т}•. где
Г, = f]{Q- : xeOQ,\.
получаем уже связный С-линейчатый порядок.
Предположим теперь, что V не является ^-линейчатым порядком, то сеть в множестве Ре f)B(e, R) найдется точка zq Е dQe такая, что часть луча (zq, zi) С Со, Со || С, z0 ф z\, лежит в extPe = An \ (Ре{]Ре ), Так как р(е, dTko) >• R, то множество Тко попадает в Qe\ В(е, R), то есть в заведомо £-линейчатую часть множества Р„. Поэтому и множество Щ С К); болоо того, в <Э,ДВ(е, R)
содержится весь цилиндр
T = [J{CW : юе'/;Н
Здесь и далее С„. - луч, параллельный С и исходящий из точки w , Отсюда следует, что для любой точки д 6 (zo, z\) множество Tefe С Qe\B(e,R).
Если теперь / - любой порядковый автоморфизм из Aut(P)e, то
/(Ц) = : Т е BQ,}) = UW/M ■ /(г) е ЭДе} = Lite- :е = Т1.
Аналогично l ) = Tpzy k = 1,2,,,, Следовательно, если для некоторой точки Z Е Ап \ (Ре{]Рф) Ткф С Qe, ТО ДЛЯ любого / е Aut(V)e ИМССМ
ДЦ") = ДУ, с Q
Итак, на данный момент нами доказано следующее: если щ любая точка из dQe, в которой нарушается лннейчатость порядка V, то есть {щдд) С CUo, но (щ, щ) с extPe, ТО Tko С Qe ДЛЯ U Е (щ, щ) И \J{f(Tu°) : / е Aut(V)e} С Qe-Далее, строим множество
I’e = { а : а Е extPe, Ту0 С Qe}.
Очевидно, что для любого / Е Aut{V)e f(Pe) = Ре- Следует отметить, что в Ре могут попасть и точки wq, находящиеся, самое большое, в множестве Ср, где Ср - конус, равный и параллельный Се, р Е СД, р(дСе, дСр) = р(дСе, дТко). Однако в любом случае семейство V = {/ }• состоит из £-линейчатых множеств. Построим по семейству множеств V семейство множеств К, = {Кх}, где
1У, = Г\(Pz : a: G О Г, j-.
По построению видно, что Кх £-линейчатые множества, причем Кх С Срх, где Срх = т(Ср), т - параллельный перенос, переводящий точку е в точку х. Покажем, что Кх С Сх,х Е . 1". Достаточно показать, что Ке С Се. Предположим
противное, пусть найдется точка wq G Ке, wq G Ср \ Се. Тогда либо wq G С~, либо Wo еСр\ (Се U С~).
Пусть Wq G СД Возьмем произвольную точку Vq G Ре и рассмотрим прямую А„0, го G А„0, параллельную лучу £те, проходящему через точки е и гс0- Очевидно, что эта прямая пересечет конус дСр в некоторой точке щ (напоминаем, что Се - конус е острой вершиной, то сеть не содержит прямой). Обозначим через v\ такую точку прямой А„0, что p{ui,v\) = inf{p(ui,r) : v G A„0 f)Pe}-
Если теперь т - это такой параллельный перенос, что г( щ ) = е, то, очевидно, множество дРх, где х = т(е), содержит точку е, но не содержит точки wq. Поэтому и множество Ке = f~) {Pz : е G dPz} не содержит точки wq. Случай wq G Ср\(Се (J С~) исключается аналогичными рассуждениями. Поэтому всегда имеем /\', с . Кх с Сх.
Если семейство множеств К = {К}• не задает порядка в Ап, то по нему можно построить новое семейство множеств К = {Кх}, также £-линейчатое, но которое уже будет задавать связный £-линейчатый порядок. Действительно, справедлива следующая лемма [2].
Лемма 1. (А.К.Гуц) Пусть Пе некоторое неограниченное множество, содержащее точку е, лежащее внутри выпуклого замкнутого конуса Ке с острой вершиной е. Тогда если / : .1" Щ .1" гомсом,орфизм, сохраняющий семейство {Пж : х G Ап}, то есть /(ПД = П/(ж) для, любой точки х G Ап, то существует множество П'е, содержащее точку е и лежащее внутри конуса Ке, такое, что В'е задает порядок в Ап и более того, /(ПД = где х G Ап произвольная
точка, то есть / является, порядковым W-автоморфизмом. ■
Таким образом, мы расширили наш несвязный порядок V = {Рх} до С-линейчатого связного порядка К = {Кх}. Теорема доказана, ■
Следствие 1. Изучение асимптотически С-линейчатого порядка V = {Рх} в Ап можно свести, к изучению конического порядка Ad = {Мх}, причем, если V гранично однородный, порядок и Cef]Qe Ф 0, то Мх = Сх для, любого х G Ап.
Доказательство. Рассмотрим семейство множеств К = {Кх}, построенное по асимптотически С линейчатому порядку Р = {Рх} в доказательстве предыдущей теоремы. Предположим, что К, не является конусом. Рассмотрим тогда следующее семейство множеств м = {мд, где Мх = Cont(Kx,x) (напоминаем, что Cont(Mx,x) - это контингенция множества Мх в точке х, то есть конус, составленный из пределов лучей, выходящих из точки х и проходящих через точки у G Мх, при стремлении у к х). Справедливы следующие теоремы, доказанные А,Д,Александровым [6].
Теорема 2. (А.Д.Александров) Пусть V = {Рх} задает предпорядок в Ап,
п > 2. и Р, = Cont(Pe,e). Тогда, (1) Ее С Ре и Ее - замкнутый конус; (2) если, Ре замкнутое множество такое, что для, любой точки у G Ре Рф f) Ре - ограничено, то Ее конус с острой верш,иной, совпадающий с объединением S всех направленных кривых, исходящих из точки е. я
Теорема 3. (А.Д. Александров) Пусть / : .1" -У Ап, гг > 2, непрерывный V-
автоморфизм и V = {Рх} - замкнутый предпорядок, для, которого множество р- П Рх ограничено для любой точки у Е Рх, тогда f{Ex) = Ef др где Ее = Cont(Pe,e) для, любой точки х Е Ап. я
Из этих теорем следует, что в нашем случае семейство Л4 = {МД задает конический порядок в Ап, причем AutP С AutAi.
Предположим теперь, что V = {Рх} - гранично однородный порядок, но Се\ Л/, ф 0, Очевидно, что существует точка г Е i)Q, такая, что z Е Се\ Л/, (иначе Qe С Л/, и Се = Л/,. так как Се - наименьший замкнутый конус, содержащий Qe).
Поскольку Ме содержит луч Се и Cef)Qe ф $, Cf)dQe = {^о}; т0 так как любой / Е Aut(V)e сохраняет и Л/, и dQe, то не найдется / Е Au,t(P)e такого, что f(zo = z), что противоречит граничной однородности порядка, ■
Следствие 2. Пусть выполняется одно и,з следующих условий:
(1) V - гранично однородным, асимптотически С линейчатый с
РеПЯеФ 0;
(2) V - гранично однородным, асимптотически (С\е, Е^е)-линейчатый (то
есть асимптотически линейчатый по отношению к двум различным лучам Е\е Е\е-, Е*2е О Се),
(3) V асимптотически максимально линейчатый и int(Qe) Ф 0.
Тогда, если для, некоторой, точки х$ Е ext(Pe) множество
@еха — {f(x0) : / Е Aut(V)e}
содержит гиперплоскость Г с выколотой точкой е, то Au,t(P)e - группа Лоренца, а Се - эллиптический, конус.
Доказательство. Из теоремы, доказанной выше, и следствия 1 следует, что во всех трех случаях семейство Л4 состоит из внешних конусов Сх множеств I’,.; наличие же в орбите некоторой точки т0 £ ext(Pe) гиперплоскости Г означает, что Се не может быть ни квазицилиндром [1], ни строго выпуклым конусом, отличным от эллиптического, так как последние не являются гранично однородными, ■
Литература
1. Гуц А.К. Аксиоматическая теория относительности // Успехи математических наук. 1982. Т.37, вып.2. N 3. С.52.
2. Гуц А.К. Изотопные отображения несвязно упорядоченного евклидова пространства А Сиб. мат. журнал. 1980. Т.21, С.85.
3. Александров А.Д.Отображения упорядоченных пространств // Труды МИАН. 1972. Т.128. С.3-21.
