Аддитивные задачи с почти равными слагаемыми Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2014, том 57, №2_

МАТЕМАТИКА

УДК 511.325

Член-корреспондент АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмонов

АДДИТИВНЫЕ ЗАДАЧИ С ПОЧТИ РАВНЫМИ СЛАГАЕМЫМИ

Институт математики им. АДжураева АН Республики Таджикистан

В работе исследуется поведение коротких тригонометрических сумм Вейля вида

а 1

Т(а, х, у) = ^ в(ашп), а =—ьЛ, (а, д) = 1, q <т, \Л\<—,

х-у<т<х д д

их приложения при выводе асимптотических формул в аддитивных задачах с почти равными слагаемыми.

Ключевые слова: короткая тригонометрическая сумма Г.Вейля - аддитивные задачи - почти равные слагаемые - асимптотическая формула.

После создания метода тригонометрических сумм и метода оценок тригонометрических сумм с простыми числами И.М.Виноградова основным аппаратом в аддитивной теории чисел стала оценка тригонометрических сумм. И.М.Виноградов также первым начал изучать тригонометрические суммы, переменное суммирование которых принимает значения из коротких интервалов, возникающих при решении аддитивных задач с почти равными слагаемыми. Он [1] впервые для линейной тригонометрической суммы с простыми числами, переменное суммирование которой принимает значение из коротких интервалов, то есть сумм вида:

а 1

Б (а; х, у) = ^ А(п)в(ап), а = —ь Л, \Л\<—, 1 < д <т,

х-у<п<х Ч Ч^

используя свой метод оценок сумм с простыми числами, доказал нетривиальную оценку при

ехр(с(1п1шс)2) д х', у>х~ъ+е. Английский математик C.B.Haselgrove [2] получил нетривиальную оценку суммы Б(а, х, у), д — произвольное, у > хв, в = 63 + £ и доказал тернарную проблему Гольдбаха с почти равными слагаемыми, то есть показал, что диофантово уравнение

N = Р1 + Р2 + Рз

разрешимо при условии

N - N0 < р < N + Кв, г = 1,2,3. 3 3

Адрес для корреспонденции: Рахмонов Зарулло Хусенович. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Айни, 299/4, Институт математики АН РТ. E-mail: [email protected].

Это была первая решенная аддитивная задача с почти равными слагаемыми и наилучший результат в этой задаче принадлежит Jia Chao-hua [3] с показателем в = — + s. R.C.Vaughan [4], изучая суммы Г.Вейля вида

a 1

T(a,x) = j e{am" j, а = — + Л,q <т, (a,q) = 1, \Л\<—,

m< x q

воспользовавшись оценкой

sb (— q) = je

k=1

принадлежащей Хуа Ло-гену [5], доказал:

ctk + bk M/+F/1 \

q

Т(а, х) = х^ ¡е (Л + О (д^) |Л|< ^

Короткой тригонометрической суммой Вейля называется сумма вида

а 1

Т (а, х, у) = ^ е{ашп), а =—+ Л, (а, д) = 1, д <г, |Л| <—.

х—у<т< х д дг

Поведение этих сумм изучено в работах [6,7], и их основным результатом является:

п-2 п-1 1

Теорема 1. Пусть г > 2п(п — 1)хп у, тогда при {пЛхп } <-1 имеет место формула

Т (а, х, у) = ^^ Т (Л; х, у) + О(д "П,

д

а при {пЛхп—} >-1 имеет место оценка

_1 _1 _1 \Т(а,х,у)\<^д "\пд+тт(уд",Л"х "д ").

2<к<п

п-2 1

Следствие 1.1. Пусть г > 2п(п — 1)хп у, | Л |<-1—-¡-, тогда имеет место соотношение

2пдхп

Т (а, х, у) = у Б (а, д)у(Л; х, у) + О(д1+£),

д

0,5 Г , ч п\

/(Л; х, у) = ¡ е I Л( х—|+уг) Ж.

—0,5 V ^ У

п-2 1 1

Следствие 1.2. Пусть г > 2п(п — 1)хп у, -1—— <| Л ^ —, тогда имеет место оценка

2пдхп 1 дг

1_1 { _i 1_1 1_1 Т(а,х,у) <sc д " \пд + min\ уд ",х kgk

2 <k<n

Следствия 1.1 и 1.2 являются обобщением результатов Р.Вона [5] для коротких тригонометрических сумм Г.Вейля Т{а, х, у).

T.Estermann [8] доказал асимптотическую формулу для числа решений уравнения

Р + р2 + т2 = N,

(1)

где р , р2 — простые числа, т — натуральное число. В работе [9] эта задача исследована с более жёсткими условиями, а именно, когда слагаемые почти равны, и выведена асимптотическая формула для числа решений (1) с условиями

N

< Н ; I = 1,2,

т2 -

N

< Н; Н > N3, ^ = 1пN.

Оценки суммы Т(а; х, у), полученные в теореме 1, позволяют вывести асимптотическую формулу для более редкой последовательности с почти равными слагаемыми, то есть когда в уравнении (1) квадрат натурального т заменяется на его куб [10,11].

Теорема 2. Пусть N — достаточно большое натуральное число, 1(И,Н) — число представлений N суммою двух простых чисел р , р2 и куба натурального т с условиями

N р,- т

< Н, I = 1,2,

3

т -

N

< Н,

р(N, р) — число решений сравнения к3 = N(твёр). Тогда при Н > N10 справедлива асимптотическая формула:

3—Н 2

I (N, Н) = /г— „ + О

Г Н2 >

2

, —=п

1 +

р V

р( N, Р) (р -1)2

Л

Следствие 2.1. Существует такое N, что каждое натуральное число N > N представи-мо в виде суммы двух простых чисел р , р и куба натурального т с условиями

N

р -N

< N 10, I = 1,2,

т -

ё

<

3/3 9^3

+1.

Доказательство теоремы 2 проводится круговым методом аналогично доказательству основной теоремы работы [9] с использованием следующей теоремы об оценке суммы Т(а; х, у) в множестве точек второго класса, которая доказывается методом Г.Вейля.

Теорема 3. Пусть х > х0, у < х , а - действительное число,

Т (а; х, у)= ^ в(ат3),

х-у<т<х

а--

а

Ч

<—, (а, Ч) = 1. Ч

Тогда справедлива оценка

(_1 _1 1 _3 1 1 \ 3

*+у 81п8 <7 +.У 8д81п8д1(1п у)\

Тригонометрические суммы Т(а, х, у) при п = 3,4 ранее были исследованы в работах [12,13] и были приложены при выводе асимптотической формулы в проблеме Варинга с почти равными слагаемыми для кубов и четвертых степеней соответственно в работах [14,15].

Теорема 4. Для числа 3(Ы, Н) представлений N суммою девяти кубов чисел xi, г = 1,9 с

условиями

х —

(I)

< Н, при Н > N10+Р справедлива асимптотическая формула:

3 (N, Н) =

В&( N )Н8

N

2/3

+ О

Н8

N2/3!8

Вз =

259723-^3 2240 '

где @(N) - особый ряд, сумма которого превосходит некоторое положительное постоянное.

Следствие 1. Существует такое N, что каждое натуральное число N > N представимо в виде суммы девяти кубов почти равных чисел Х1:

х —

N

< N 3 30+Р

г = 1,2,..., 9.

Теорема 5. Для числа 3(N,Н) представлений N суммою 17 четвёртых степеней чисел х1

г = 1,2,..., 17 с условиями

ла:

хг —( N /17 )3

3 (N, Н) =

< Н, при Н > N54+Р справедлива асимптотическая форму-

в &( N) Н16

В4 =

N3/4

455518671766086477

+ О

С Н16 ^ ч N 3/41п16 N У

• ^Т3 « 45568,35,

83691159552000

где ©(N) — особый ряд, сумма которого превосходит некоторое положительное постоянное.

Следствие 5.1. Существует такое N, что каждое натуральное число N > N представимо в виде суммы 17 четвертых степеней почти равных чисел xi:

х—

< N1

г = 1,2,.,17.

Теоремы 4 и 5 доказываются круговым методом с использованием следующего неравенства

}| T (a; x, у)

2

<ку2~к+е, 1 <к<п,

являющегося обобщением соответствующего неравенства Хуа Ло-гена для суммы T(a; x, у) .

Поступило 15.01.2014 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Виноградов И.М. Избранные труды. - М.: Изд-во АН СССР, 1952.

2. Haselgrove C.B. Some theorems in the analitic theory of number. - J.London Math.Soc., 1951, №26, pp. 273-277.

3. Jia Chao-hua Three primes theorem in a short interval (VII). - Acta Mathematica Sinica, New Series 1994, v.10, №4, pp.1585-1602.

4. Vaughan R.C. Some remarks in Weyl sums. - Colloquia Mathematica Societatss Janos. Bolyai v. 34, Budapest, 1981, pp 1585-1602.

5. Hua L.K. On an exponential sums. - J. Chinese Math. Soc., 1940, №2, pp 301-312.

6. Рахмонов З.Х., Озодбекова Н.Б. Оценка коротких тригонометрических сумм Г.Вейля - ДАН РТ, 2011, т. 54, №4, с. 257-264.

7. Рахмонов З.Х. Короткие тригонометрические суммы Г.Вейля - Учёные записки Орловского университета, серия естественные, технические и медицинские науки, 6, часть 2, с. 194-203.

8. Estermann T. Proof that Every Large integer is the Sum of Two Primes and a Square. - Proc. London Math. Soc., 1937, s.2-42(1), pp. 501-516.

9. Рахмонов З.Х. Тернарная задача Эстермана с почти равными слагаемыми. - Мат.заметки, 2003, т.74, вып. 4, с. 564-572.

10. Рахмонов З.Х., Фозилова Д.М. Об одной тернарной задаче с почти равными слагаемыми. - ДАН РТ, 2012, т. 55, №6, с. 433-440.

11. Рахмонов З.Х. Кубическая задача Эстермана с почти равными слагаемымию - Мат.заметки, 2014, т. 95, вып. 3, с. 445-456.

12. Рахмонов З.Х., Мирзоабдугафуров К.И. Об оценках коротких тригонометрических сумм Г.Вейля -ДАН РТ, 2008, т.51, №1, с. 5-15.

13. Рахмонов З.Х., Азамов А.З., Мирзоабдугафуров К.И. Оценка коротких тригонометрических сумм Г.Вейля четвертой степени - ДАН РТ, 2010, т.53, №10, с.737 - 744.

14. Рахмонов З.Х., Мирзоабдугафуров К.И. Проблема Варинга для кубов с почти равными слагаемыми - ДАН РТ, 2008, т.51, №2, с.83-86.

15. Рахмонов З.Х., Азамов А.З. Асимптотическая формула в проблеме Варинга для четвертых степеней с почти равными слагаемыми - ДАН РТ, 2011, т.54, №3, c. 34-42.

ЗД.Рахдоонов

МАСЪАЛА^ОИ АДДИТИВЙ БО ЧАМЪШАВАНДА^ОИ ЦАРИБ БАРОБАР

Институтиматематикаи ба номи А.Цураеви Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон

Дар кор рафтори суммаи кутохд тригонометрии Вейл намуди

a 1

T(a, x, y) = j e(am"), a = —ьЛ, (a, q) = 1, q <t, \Л\<—,

x-y<m<x q qt

ва татбики онх,о барои гирифтани формулаи асимптота дар масъалах,ои аддитивй бо чамъшавандах,ои кариб баробар тахдик карда шудааст.

Калима^ои калиди: суммаи кутоуи тригонометрии Вейл - масъалаи аддитивй - цамъшаванда^ои цариб баробар - формулаи асимптотй.

Z.Kh.Rakhmonov

ADDITIVE PROBLEMS WITH ALMOST EQUAL SUMMANDS

A.Dzhuraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan We study the behavior of short Weyl's exponential sums of the form

a 1

T (a, x, y) = j e(am"), a = —ьЛ, (a, q) = 1, q <t, \Л\<—,

x-y<m<x q qt

and their applications for deriving an asymptotic formula in additive problems with almost equal summands. Key words: Short Weyl 's exponential sums - additive problem - almost equal summands - Asymptotic formula.