Применение вероятностных методов к исследованию одного типа экзотических опционов в диффузионной модели (B,S)-финансового рынка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика и механика. Физика

УДК 519.865

ПРИМЕНЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕТОДОВ К ИССЛЕДОВАНИЮ ОДНОГО ТИПА ЭКЗОТИЧЕСКИХ ОПЦИОНОВ В ДИФФУЗИОННОЙ МОДЕЛИ (^-ФИНАНСОВОГО РЫНКА

А.В. Аникина, Н.С. Демин*, С.В. Рожкова

Томский политехнический университет *Томский государственный университет E-mail: [email protected]

Приводится решение задачи оптимального хеджирования для Европейских опционов купли и продажи экзотического типа, когда возможные выплаты по опционам ограничиваются заданной величиной. Получены формулы, определяющие стоимости опционов, а также эволюцию во времени портфелей и капиталов, т. е. хеджирующие стратегии и соответствующие им капиталы. Исследованы некоторые свойства решений.

Введение

В случае стандартных опционов купли и продажи выплата по опциону может быть достаточно большой, что представляет существенный риск для инвестора [1-4]. Первый способ ограничения этого риска заключается в рассмотрении опционов, когда платежное обязательство выполняется с вероятностью меньшей единицы [5, 6]. Второй способ заключается в решении задачи относительно платежных функций, которые предусматривают выплаты, не превышающие заданную величину, и которые относятся к классу так называемых экзотических опционов [7]. В обзорной работе [8], написанной на основе иностранной научной периодики, отмечается достаточно широкое хождение на финансовых рынках экзотических опционов и вместе с тем отсутствие развитой теории для них. В данной работе для диффузионной модели [3, 4] -рынка ценных бумаг и платежных функций указанного типа приводится решение задачи оптимального хеджирования в случае опционов купли и продажи с фиксированным временем исполнения (опционов Европейского типа).

1. Постановка задачи

Рассмотрение задачи проводится на стандартном вероятностном пространстве (Q,ff,F=(f,f)i>0,P)

[3]. На финансовом рынке обращаются рисковые и безрисковые активы, текущие цены которых St и B, в течение интервала времени te [0, T] определяются уравнениями [1-4]

dSt = St (pdt + adWt ), dBt = rBtdt, (1.1)

где Wt - винеровский процесс, ст>0, r>0, S0>0, B0>0, решение которых имеет вид

(( CT2 4\

St(P) = SoexPI —

t +aW

В = В0ехр{М}. (1.2)

Считаем, что текущее значение капитала инвестора X, определяется в виде [1-4]

X, =р,В, + уД, , е [0,Т], (1.3)

где щ=(Р„у1) есть пара - измеримых процессов, составляющая портфель ценных бумаг инвестора. Цель управления портфелем - достижения равенства ХТ=/Т(3Т), где Хт - капитал, 3Т - цена рискового актива в момент времени Т, когда опцион предъявляется к исполнению, Д.) - платежная функция. В данной работе для опционов купли и продажи платежные функции имеют соответственно вид [3, 4, 7, 8]

/ Дт ) = ш1и{(Б - К,)+, К2}, (1.4)

/(Бт) = ш1и{(К, - Бт )+, К2}, (1.5)

где К>0 - оговариваемая в момент заключения контракта цена реализации рискового актива в момент исполнения Т, а К2>0 - величина, ограничивающая выплату по опциону, причем для опциона продажи К2<К Суть платежных функций (1.4), (1.5) заключается в следующем. Опцион купли предъявляется к исполнению, если 5Т>К1. При этом владелец опциона получает доход, равный Sт-K1, если 8Т-К1<К2, и равный К2 в противном случае. Опцион продажи предъявляется к исполнению, если 8Т<К{. При этом владелец опциона полу-

чает доход, равный К;-^, если К1-^Т<К2, и равный К2 в противном случае.

2. Опцион купли

Далее всюду Е - математическое ожидание, И{а,о2} - гауссовское распределение с параметрами а и О, Ф(у) - функция Лапласа, т. е.

ч х2

У 1

Ф(у) = I Ф(х)£х, ф(х) = ^= е 2.

-« \12п

Теорема 1. Пусть ^(0, 4С(/), ЬЦ({) и Ь2С(/) определены формулами

1п(К,/Б,) -I г -О |(Т -,)

а, (,) =-----------------------------, (2.1)

о

а 2С (,) =

1п((К, + К2)/Б,)-|г-О |(Т-,)

о

. (2.2)

1п(К,/б,)-|г + °г |(Т-,)

6,С<о=-----------м

¿2С (,) =-

1п(( К, + К 2)/ Б,) -|г + — | (Т - ,)

о

. (2.4)

Тогда рациональная стоимость опциона купли СТ определяется формулой

Ст = Бо[Ф ФС) -Ф(Й1С)] -

-КхегТ [фФС) - ФЬ)] + К2е-гТ ф(-£С ), (2.5)

а портфель лС={уС,РС} и капитал ХС соответственно формулами

гС = Ф(ЬС (,)) -Ф(ЬС (,)), (2.6)

вС = -Ке-<Т-^ф^ (,)) -ф((,))] +

В,

+ ^е-г(Т-)Ф(£С (,)), (2.7)

В

х, = б, [Ф^ С (,)) -Ф(£С (,))] -

- К,е-г (Т-' )[Ф(£С (,)) -Ф(£С (,))] +

+К2е~г(Т-,)Ф(£С (,)), (2.8)

где Ь1С=Ь1С( /), Ь2С=Ь2С( /), йС=йС( /), 4С=4С( ,) при ,=0.

Доказательство. Согласно [4]

Лчй^Е^^г))^, где процесс ¿¡(г) определяется уравнением (1.1) и формулой (1.2) с заменой ¡лна г. Так как /С’(£Т)=тт{(£Т-К1)+,К2}, а №-N{0;/}, то делая очевидные замены переменных последовательно с учетом (2.1) - (2.4) получаем, что

РтС-, (Б) = -

да

X | ш1п

Бе

42л

-— |(Т -, )+огчТ-Г

- к,

42л

£С (<)

Бе

хе 2 а2 =

-—|(Т -, )+огТ-,

\

- к,

е 2 £г +

\

+ -2= I К2е 2 =

у 2л

42л

Бе

Г (Т-,)

—+ог^Т-,-—(Т -,)

е

—

£С (,)

, ^2 (,) 2 , да 2

-7=^ I е 2 +-р=К2 I е 2 =

"'¡2л £?(,) -\12л

42л

Бе

<Т-,)

Iе

аС (,)

£2-

- к, (Ф(ё2С (,)) - ф(£С (,)))+К2ф(-а, (,)) =

ЬС (,) У2

гБеГ(Т-') I е 2 £у-

42л ‘

- К, (Ф(ё2С (,)) - ф(£" (,))) + к 2 Ф(-£2 (,)) =

= Б,ег (Т - Чф« (,)) -ф(£С (,))) -

- к,(ф (аС (,)) -ф( а, (,)))+К2ф(-а, (,)). (2.9) Согласно общей теории [3, 4]

X, = е-г (Т-')

?т -, (Б,) 'Т (Б о) = е-Г(Т-,) д'т-, (¿О

Ст = е-гТ'т (Бо),

у, = е

дя

(Б,),

в' ВТ

'т-, (Б,) - Б, д'д^)(Б,)

дя

(2.10)

(2.11)

(2.12)

(2.13)

Таким образом (2.5) - (2.8) следуют из (2.9) -(2.13). Теорема доказана.

3. Опцион продажи

Теорема 2. Пусть йр({), 4Р(/), Ьр(,) и Ь2Р(,) определены формулами

1п(К,/Б,) -I г -°^ |(Т-,)

< (,) =------------ ------------------------, (3.1)

О

4т -,

г

2

г

а 2 (,)=-

1п(( К, - К 2)/Б,) -|г - — | (Т - ,)

О

4Т - ,

ьр (,)=-

1п(К,/Б,)-|г+ — |(Т-,)

о

4Т - ,

ьр (,) =

1п((К, - К2)/Б,) -^г + ^2 | (Т - ,) о4Т - ,

(3.2)

(3.3)

(3.4)

В,

+В е -г (Т-,) Ф (ЬР (,)), В,

ХР =-Б, [Ф(ЬР (,)) -Ф(ЬР (,))] +

(3.7)

+К,е-г(Т-,)[Ф(ЬР (,)) -Ф(ЬР (,))] +

+К2 е-г (Т-,)Ф(ЬР (,)), (3.8)

где ьр=ьру), ь2р=ь2р(/), ар=ар(1), 4р=4р(/) при /=0.

Доказательство. Так как /р(£т)=тт{(£т-К1)+,К2}, то аналогично выводу (2.9)

(Б,) =

!

42л

да

х I шт

К, - Б,е

г-°- |(Т -,)+СТ2^Г-7

хе 2 йх =

ар (,)

42л

ар (,)

К, - Б,е

г-°2" |(Т-,)+Оху/Т -,

А

е 2 аг +

ар ( ,) г2

+ -2= I К2е 2 £х =

V —да

Бе

г (Т-,)

ар (,) г

л/2П , 42л

I

—+о^Т-,-—(Т -,)

а2Р (,)

, а, (,) -г2 , а2 О ^

^-/2=K1 I е 2 & ^-72=К2 I е 2 £х =

ар (,) \/2п

1 а\ (

1 БегТ-« I

ар (,) (г-РуТ-1 )2

42л

аг +

а2Р (,)

+к, (Ф(ар (,)) - ф( ар (,)))+К2Ф( ар (,)) =

..2

\

42л

Б,ег(Т-) I е 2 ау +

Тогда рациональная стоимость опциона продажи РТ определяется формулой

Рт =-Бо[Ф(ЬР) -Ф(ЬР)] +

+К,е-гТ [Ф (ЬР) - Ф (ЬР)] + Кге-Т Ф (Ь"), (3.5)

а портфель лр={ур,вр} и капитал Хр соответственно формулами

гР =-[Ф(ЬР (,)) -Ф(ЬР (,))], (3.6)

вР = К е~гТ -) [фЬ (,)) - ф(ЬР (,))] +

ь2 (,)

+к, (Ф(ар (,)) - Ф(ар (,)))+к 2Ф(ар (,)) =

= -Б,ег (Т-, )(ф(ар (,)) -ф(ар (,))) +

+к, (Ф(ар (,)) - Ф(ар (,)))+К2Ф(ар (,)). (3.9)

Подстановка (3.9) в (2.10) - (2.13) приводит к (3.5) - (3.8). Теорема доказана.

4. Анализ решения

Теорема 3. Имеют место паритетные соотношения:

Рт = Ст + Бо[Ф(Ьр2) -Ф(Ь2С)] --К,е-гТФ(ЬР) -Ф(Ь,)] + К2е-'Т Ф(Ь" ) -Ф(ЬС )], (4.1)

уР = у, +ф(ьр (,)) -ф(ьС (,)), (4.2)

вР = вС + КВ~е Г)[ф(4 (,))-ф(аР (,))] +

В,

+Ве-г(Т-,)[ф(а, (,)) -ф(-4 (,))], (4.3)

В,

хр = х,С + б, [ф(ар (,)) - ф£ (,))] --к,е-г (Т-, )[ф(а Р (,)) -ф(4(,))] +

+К2е-г (Т-, )[ф(а р (,)) - Ф(-аС (,))]. (4.4)

Доказательство следует непосредственно из соотношений Теорем 1 и 2 с учетом свойства функции Лапласа Ф(^)+Ф(-у)=1.

Замечание. Поскольку в случае опциона продажи К2<К1, то паритетные соотношения справедливы при этом условии.

Теорема 4. Пусть СТ, у,С, вС, ХС есть пределы СТ, уС, вС, ХС при K2tда. Пусть РТ, ур, вр, Хр есть пределы Рт, ур, вр, Хр при K2tK1. Тогда

СТ = БоФ(-ЬС) - К,е-гТФ (- аС), (4.5)

у^ =Ф<-ЬlC (,)), (4.6)

(4.7)

вС =-Вег(Т-,)Ф(-аС (,)),

В,

ХС = Б,Ф(-ЬС(,))-К,е-гV-)ф(-аС (,)), (4.8)

Рт = -БоФ(ЬР) + К,е -гТФ(аР), (4.9)

уР =-Ф(ЬР (,)),

(4.10)

2

2

г

2

е

ßP = K e-T -)Ф(df (t)),

Bt

Xf = -St Ф<ьр <t))+Ke - T-t)o<df <t)), f = CT - S0 + KLe~rT,

Y =rF - L ßf =ß+:

?P _ »c , KLn -r <T -t)

(4.11)

(4.12)

(4.13)

(4.14)

(4.15)

(4.16)

kc = e-rT Ф<-аС) +

CT

VT

So

v Kj + K2

0<b2C) - e-rTф<d C)

kf = e-rT Ф <df ) +

rVT

e ~rrФ<d f ) -

So

Kj - K2

ф<ьр)

(4.19)

(4.20)

ic =■

So

CT

VT

ФФС) ф<к)

к, + к 2

k,

-e-rT[Ф(d2C) - Ф<dC)]-= [ф(df) - ф<dC)], (4.21)

=■

S

г VT

ctJT'

ф<К) ф<ьр)'

к, - к 2 k,

-e -rT [Ф <d f) -Ф (df)] --

г VT

[ф^2р)-ф<df)], (4.22)

Г = Ф^) - Ф^)------------[ф^) ф)] +

ctv T

e~rT

+-^= [<Kj + K2^<dC) - Кф<<)], (4.23)

So^ T

г=фю - ф#) -—t [ф <ьр) - ф<ь:)]+

„-rT

[<Kj -кг)ф<й[) -Кф<й()]. (4.24)

хр = ХС - Б, + К,е-г ).

Данные результаты следуют непосредственно из соотношений Теорем 1-3 в результате указанных предельных переходов и представляют собой полное решение задач хеджирования стандартных Европейских опционов купли и продажи [4, 9]. Формула (4.5) известна как формула Блэка-Шоул-са [1, 3, 4].

Сравним стоимости экзотических опционов купли и продажи со стандартными Европейскими опционами.

Теорема 5. Пусть ДСТ=СТ-СТ, Дрт=рт-рт. Тогда ДСТ = Б0Ф(-Ь2С) - (К, + К2)е■гТФ (- аС), (4.17)

ДРТ = -Б0Ф(Ь2Р) + (К, - К2)е-^Ф(ар). (4.18)

Формулы (4.17), (4.18) следуют непосредственно из (2.5), (3.5), (4.5), (4.9).

Теорема 6. Коэффициенты чувствительности

кС=йСт/йКъ кр=йрт/йКъ ¿с=^С/к ср=^рт/^к1,

^С=йСт/й80, ^р=йрт/й80, характеризующие изменение стоимостей опционов, соответственно по параметрам К2, К1, ¿0, определяются формулами

So^VT

Доказательство производится дифференцированием (2.5), (3.5) по соответствующим параметрам.

Теорема 7. Асимптотические свойства рациональной стоимости экзотических опционов, а также портфелей и капиталов, которые им соответствуют, заключаются в следующем:

1. lim CT = S^(b2C) + K2e-rTФ<^);

Kjio

lim CT = o; lim CT = o; lim CT = CT ;

KLn 1 K2io 1 к 2ii 1 1

lim CT = o; lim CT = K2e-T.

So io 1 So 1 2

2. lim Pt = -S^(bLC) + KLe-TФ(d1C) = f;

K 2 iKj

lim PT = o; lim PT = K,e~rT; lim PT = K2e~rT;

K2 io 1 KL 1 2 S oio 1

lim fT = o.

So H

Доказательство сформулированных результатов проводится непосредственно с использованием свойств функции Лапласа: limФ(х)=1; lim Ф(х)=0; Ф(х)=1-Ф(-х); Ф(х) - непрерывна справа по х.

5. Заключение

1. Исследования показывают, что ACj>0, APT>0, т. е. стоимости стандартных опционов выше стоимости экзотических опционов. Данное свойство объясняется тем, что для владельца опциона получение более высокого дохода возможно в случае стандартного, нежели экзотического опциона, выплаты по которому ограничены, а за возможность получения более высокого дохода следует больше платить.

2. Исследования показывают, что кс>0, если S0erT>Kl+K2, и К>0, если S0erT>Kl-K2. Таким образом, стоимости опционов купли и продажи являются возрастающими функциями параметра K2 при выполнении указанных условий. Экономический смысл этого свойства заключается в следующем. С ростом параметра К2 у владельца опциона увеличивается возможность получения большей прибыли, за возможность получения которой необходимо больше заплатить, поэтому цена опциона и возрастает.

3. Экономический смысл предельных свойств стоимостей опционов (Теорема 7) очевиден.

rT

-rT

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities // J. of Political Economy. - 1973. - May/Jun. - P. 637-657.

2. Merton R. Theory of rational option pricing // Bell J. Economics and Management Science. - 1973. - V. 4. - P. 141-183.

3. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. - М.: ФАЗИС, 1998. - 1010 с.

4. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д.О., Мельников А.В. К теории расчетов опционов Европейского и Американского типов. Непрерывное время // Теория вероятностей и ее применения. - 1994. - Т. 39. - № 1. - С. 80-129.

5. Новиков А.А. Хеджирование опционов с заданной вероятностью // Теория вероятностей и её применения. - 1998. - Т. 43. - № 1. - С. 152-161.

6. Follmer H., Len K.P Quantile hedging // Finance and Stochastic. -1999. - V. 3. - № 3. - P. 251-273.

7. Rubinstein M. Exotic options // Finance working paper. - 1991. -№ 220. - Inst. of Business and Economic research. University of California. Berkley.

8. Кожин К. Все об экзотических опционах // Рынок ценных бумаг. - 2002. - № 15. - С. 53-57; № 16. - С. 60-64; № 17. -С. 68-73.

9. Демин Н.С., Лазатникова А.В. Исследование портфеля, капитала и стоимости опциона в случае стандартного Европейского опциона продажи с непрерывным временем // Вестник ТГУ. Приложение. - 2002. - №1(1). - С. 147-149.

Поступила 16.10.2006 г.

УДК 519.865

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЦИОНА КУПЛИ В СЛУЧАЕ ХЕДЖИРОВАНИЯ С ЗАДАННОЙ ВЕРОЯТНОСТЬЮ

Н.С. Демин, А.И. Трунов

Томский государственный университет E-mail: [email protected]

Получены формулы, определяющие стоимость опциона, а также эволюцию во времени портфеля и капитала для Европейского опциона купли в случае хеджирования с заданной вероятностью (квантильного хеджирования) при непрерывном времени и диффузионной модели (B, S)-финансового рынка. Исследуются некоторые свойства решения.

1. Введение

2. Постановка задачи

Используемые на рынках финансовые инструменты становятся более разнообразными и порождают довольно изощренные потоки платежей. Ситуация усложняется тем, что изменение процентных ставок и доходностей на рынках стохастические, а математические модели этих изменений -случайные процессы. Поэтому такая основная задача участников финансовых рынков, как определение цен финансовых инструментов, может быть решена только с привлечением вероятностных методов. При этом построение математической модели финансового рынка и анализ процессов, которые там происходят, требуют использования математических методов на достаточно высоком уровне. В связи с этим большую популярность приобрела финансовая математика, основным объектом исследования которой являются различные модели рынка ценных бумаг [1, 2]. В данной работе проводится исследование неклассической задачи теории опционов - задачи хеджирования с заданной вероятностью выполнения платежного обязательства, для случая опциона купли, когда в отличие от стационарных опционов платежное обязательство выполняется не с вероятностью единица, а с вероятностью меньшей единицы, что более соответствует реалиям финансового рынка.

Рассмотрим модель финансового рынка, как пары активов: безрискового (банковский счет) В и рискового (акции) ¿, представляемых своими ценами В1 и , ,е [0, Т]. В этом случае говорят о (В, $) - рынке с непрерывным временем [1, 2]. Активы В и £ будем называть основными активами или основными ценными бумагами. Относительно банковского счета В предполагается, что В=(В,)(>0 - детерминированная функция, подчиняющаяся уравнению йВ=гВ $, т. е. В=В0ег1, В0>0, г>0 где г - процентная ставка (банковский процент). Для описания эволюции стоимости акции 5=(^),>0 будем предполагать, что рассмотрение задачи происходит на винеровском стохастическом базисе (0,/^=(//)(>0,Р) [1, 3].

Введение в рассмотрение винеровского процесса обусловлено ролью случайного ингредиента, который определяет «хаотическую» структуру в реально наблюдаемых флуктуациях цен акций. В этой связи П. Самуэльсоном была предложена модель «геометрического», или «экономического», броуновского движения £=(£,) ,>0, согласно которой £ является случайным процессом с

St = S0 exp

а

/Л~~2 '{ + aW‘

(1)