CC BY
27
4. Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Оптико-электронные комплексы со встроенным ЭВМ» / Под ред. Зенкова Г.Н. - Л.: ИТМО, 1982.
Суслов Владимир Дмитриевич - СПб ОКБ «Электроавтоматика» имени П. А. Ефимова», зам. генерального директора, [email protected] Козис Дмитрий Владимирович - РАА «Спецтехника», директор, кандидат технических наук,
УДК 681.5.01
ОСОБЕННОСТИ ДВИЖЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА В ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ В УСЛОВИЯХ ОГРАНИЧЕННОЙ ТЯГИ ДВИГАТЕЛЯ Б.В. Видин, О.В. Ульянова
Исследуется нелинейная система дифференциальных уравнений, описывающая движение центра масс летательного аппарата в вертикальной плоскости при прямолинейной траектории. Получены оценки значений скорости и дальности в зависимости от ограничений на ресурс управления тягой двигателя. Ключевые слова: динамика летательного аппарата, ресурс управления, ограничения.
Введение
Движение центра масс летательного аппарата в скоростной системе координат в вертикальной плоскости на прямолинейном участке траектории после выбора направления описывается [1 ] системой уравнений
dV р C pV2 S . 9
m-= P cos a - C х-S - mg sin 9 ,
dt x 2
d9 dh . „ dx „ dm
— = 0 , — = V sin 9 , — = V cos 9 , -= -q, q > 0 ,
dt dt dt dt
где m - масса летательного аппарата; V - длина вектора скорости; 9 - угол наклона траектории, 9 = const; а - угол атаки, а = const; h - высота полета; x - дальность полета; q - секундный расход массы топлива; P - тяга двигателя, P < K; K - ресурс управления (величина, ограничивающая тягу двигателя, изменение тяги двигателей возможно в пределах строго ограниченного интервала, обусловленного количеством топлива (используется нижняя граница данного интервала), S - площадь крыльев летательного аппарата (ЛА), p(h) - плотность атмосферы, зависящая от высоты полета,
Г \ -h/
p(h) = Ce /R, R - радиус Земли, Cx - коэффициент лобового сопротивления, Cy - коэффициент подъемной силы, при этом
dCx п dCy —x > 0; —¿-> 0 да да
В качестве управляющей функции выбирается тяга двигателя P(t). Ставится задача найти P(t) так, чтобы решение системы (1) удовлетворяло начальным условиям t = t0 : V = Vq, h = h0, x = X0, m = m0, P = P0 (2)
и конечным условиям t = t': h = hk, x = xk, m = mk, где t' - заранее неизвестный момент времени.
Предлагаемый подход к решению
Совокупность функций V (( ) h(t ), x(t ), m(t ), P(t ) будем называть решением зада-
dx
чи (1), (2). Разделив все уравнения системы (1) на — = V cos 0 , приходим к системе
dt
dV 1
dx mV cos 0
( PV2 ^
Pcosa _ Cx 2 S _ mgsin0
(3)
dh _ ^^^ dt _ 1 dm _ - q
dx ' dx V cos 0 ' dx V cos 0
Требуется найти P(t) так, чтобы решение системы (3) удовлетворяло начальным условиям:
x _ x0 : V _ Vo, h _ h0, m _ m0, P _ Po (4)
и конечным условиям x _ xk, h _ hk, m _ mk . Совокупность функций V(x) h(x), m(x), P(x) будем называть решением задачи (3), (4). Так как в соответствии с исходными данными 0 _ const, необходимо найти функцию h(x):
xk
h(x) _ tg 0 J dx .
xo
Продифференцируем обе части первого уравнения системы (3):
dV i Í V 2 ^
d^ _-1- P cos а - Cx pV S - mg sin 0 _ f (V,h,m,P),
dx m V cos01 2 I
V У
d 2V
dx2 dV dx dh dx dm dx dP dx' откуда получаем производную тяги по дальности d2V df dV df dh df dm
где
dP _ dx2 dV dx dh dx dm dx dx f
dP
df _ 1 \ P cos a CxpS + g sin 0
dV cos 0 v d£ CxpVS Ce~h/R dh 2m cos 0 R
V2m 2m V2
f _ 1 (_ P cos a + CxpVS ^ dm m2 cos0 V
V 2 I
df _ cos a dP mV cos 0
Таким образом, приходим к системе уравнений d2V df dV df dh df dm
dP dx2 dV dx dh dx dm dx dx df_
dP
q
dh ^ 9 dt 1 dm dx ' dx Vcos9' dx Vcos9
с учетом начальных условий x = xq, t = tQ,h = ho,m = mQ,P = Pq на траектории [xq,xk].
d9 V 2
Поскольку 9 = const, -J9- = 0, то P sin a + Cy S - mg co s9 = 0. Задавая ограничения на m : m1 < m < m2, получим ограничения на V :
C,
pV2
S = mg cos 9-P sin a ,
V2 =■
2
CyPS
(mgcos 9 - P sin a) .
2
Обозначив V = V , получим V <-2-(m2g cos 9 - K sin а) = V2 ,
V >■
Cy pS 2
Cy pS
myg cos 9 = Vi
У1 < V < У2 ; VI = ^ VI , К2 = д/ К2 ; V < V < У2, где V1 и V2 - минимальное и максимальное значение по скорости соответственно. Получим оценку на конечное значение дальности:
dV dV
dx dx dV
X=X o X o
Xk dV ,
+ J -dx,
dx
dx
X=X 0 m0V0cos 9
í V 2 > Pq cos a - Cx 0 0 S - mQg sin 9
2
X
kdV
Vi < V < V2 , V = V0 + J — dx,
X0
dx
и выберем Vq : Vi < Vq < V2,
Xk
'k dV
Vi - V0 < J — dx < V2 - V0 ,
X0
dx
X
k dV ^ Xk dV j Xk Xk d 2V ^ 2 J -dx = J -dx + J J —— dx
X o
dx
X o
dx
X o X o dx
2
2
dV d V 2 dV
Vi - Vq -J — dx < — (xk - xq )2 <V2 - Vq - J—dx
dx
dx
2
dx
Введем обозначения:
Xk dV -Vi - Vq - J -Vdx = Pi
X o X
dx
k dV -V2 - Vq - J -V-X =P2, Pi <
X Q
dx
d 2V dx2
<P 2,
i
ßl _ ßl , ß2 _ ß2 (xk - xo )2' (xk - xo )2
dP
dx
< K (k - x o ), K _ max
dP
dx
в области, где фазовые координаты удовлетворяют ограничениям. С учетом дополнительных соотношений [2]
-¥r
p(h) = <Ze / , р! <p(h)<Р2 , -h2/ -h\/ Pl = Ce 'R , р2 = Ce ' R , аналогично могут быть получены оценки
dV dh dm
Yl <~T<Y2, Y3 <~T<Y4, Y5 <~T<Y6 dx dx dx
81 <f <5 2, 5з <f <64, 65 <f <56, 57 <f <58 dV dh dm dP
тогда
K =Р2±!2^2±^4±УА , K(xk -x0)<K, xk -x0 <K
5 7 K
Заключение
При выполнении полученного ограничения управление летательным аппаратом удовлетворяет условию P < K. Таким образом, для описанного движения ЛА получены оценки на значения скорости и дальности, при которых управляющая функция удовлетворяет заданным ограничениям.
Предлагаемая модель движения летательного аппарата может быть использована при разработке программного обеспечения пилотажно-навигационных комплексов, на которые возложены задачи управления полетом в условиях ограниченного ресурса управления, с отработкой на этапе предварительных стендовых испытаний.
Литература
1. Красовский А.А. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. - М.: Наука, 1973. - 523 с.
2. Остославский И.В., Стражева И.В. Динамика полетов. Траектории летательных аппаратов. - М.: Машиностроение, 1969. - 354 с.
Видин Борис Викторович - СПб ОКБ «Электроавтоматика» имени П. А. Ефимова», зам.
главного конструктора, кандидат технических наук, профессор, [email protected]
Ульянова Ольга Владимировна - СПб ОКБ «Электроавтоматика» имени П. А. Ефимова», инженер, [email protected]
