ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ИНЖЕНЕРНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ДЕЙСТВИЙ СПАСАТЕЛЬНЫХ ФОРМИРОВАНИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.8

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ИНЖЕНЕРНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ДЕЙСТВИЙ СПАСАТЕЛЬНЫХ ФОРМИРОВАНИЙ

В.А. Седнев, доктор технических наук, профессор, заслуженный работник высшей школы Российской Федерации. Академия ГПС МЧС России. А.В. Седнев.

Московский государственный технический университет

им. Н.Э. Баумана (национальный исследовательский университет);

Институт машиноведения им. А.А. Благонравова

Российской академии наук

Рассмотрены классификация математических моделей, принципы и этапы их разработки и реализации, особенности разработки математических моделей применительно к действиям спасательных формирований, к их инженерному обеспечению в целом и выполнению его отдельных задач.

Ключевые слова: инженерное обеспечение действий, математическая модель, спасательные формирования, управление

FUNDAMENTALS OF MATHEMATICAL MODELING OF ENGINEERING SUPPORT OF ACTIONS RESCUE UNITS

V.A. Sednev. Academy of State fire service of EMERCOM of Russia.

A.V. Sednev. Moscow state technical university them N.E. Bauman (national research university); Institute of engineering A.A. Blagonravova Russian academy of sciences

Classification of mathematical models, principles and stages of their development and implementation, especially the development of mathematical models applied to the actions of rescue teams, their engineering in General and the performance of its individual tasks.

Keywords: engineering support of actions, mathematical model, rescue formations, management

Методы исследования процессов и явлений

Для исследования процессов и явлений используются различные методы, среди которых наиболее применимыми можно считать [1-3]:

- экспериментальный - суть его состоит в проведении исследований на объекте исследования либо на его реальной физической модели - это испытание инженерных средств, их макетов, учения и др.;

- логико-аналитический метод - суть его состоит в изучении объекта на основе качественного анализа изучаемых процессов и явлений с применением на отдельных этапах математических расчетов и соотношений;

- математического моделирования - суть его составляет взаимосвязь: модель -алгоритм - программа. Цель моделирования - прогнозирование хода и исхода реальных процессов и выработка решений и действий, направленных на достижение поставленных целей наиболее рациональными методами.

Особую значимость это имеет при моделировании действий спасательных формирований и, как составной их части, инженерного обеспечения.

132

Под математической моделью действий спасательных формирований понимается система математических зависимостей и логических правил, позволяющих описывать их существенные процессы, прогнозировать их ход и исход, оценивать эффективность вариантов решений.

Определение содержит основные цели математического моделирования действий спасательных формирований, то есть выполнения ими определенных задач. Поэтому в математической модели должны присутствовать параметры, характеризующие ход действий спасательных формирований, выполнения задач, позволяющие судить об успешности достижения поставленных целей. Такими параметрами могут являться: возможный темп перемещения, потери, время выполнения задач и др.

В математической модели должны присутствовать также данные или параметры, которые можно изменять до и в ходе действий спасательных формирований с целью выбора наиболее целесообразных решений: силы и средства, распределение их по задачам, параметры управления, характеризующие принимаемые решения при подготовке и в ходе выполнения задач, сроки выполнения задач и др. Такие параметры называют управляющими параметрами. Задача моделирования состоит в том, чтобы определить значения этих параметров, при которых обеспечивается максимальное достижение целей.

Математические модели могут содержать показатели, которые не зависят от должностных лиц, принимающих решения, но их необходимо учитывать: местность, время года, нормативные данные и др. Примерами математических моделей могут быть: математическая модель действий спасательных формирований, математическая модель инженерного обеспечения действий, математическая модель выполнения задачи инженерного обеспечения.

Существенной характеристикой математической модели является то, что она описывает процесс во времени, что позволяет получить данные как для описания хода процесса, так и для получения его конечных результатов. Например, при моделировании процесса переправы через водную преграду могут быть получены данные не только о её времени, но и о количестве переправленных людей, техники к заданному моменту времени.

Реализация математической модели осуществляется путем решения расчетных задач. Автоматизированные средства обработки информации позволяют решать задачи, суть которых сводится к сбору, обработке и выдаче информации. Такие задачи получили название информационных задач. Информационные задачи часто используются для подготовки данных для математических моделей и задач. Математическая модель может быть представлена как последовательность (алгоритм) преобразования исходных данных в результаты решения. При этом, как правило, исходные данные подразделяются [1] на переменные и постоянные или условно-постоянные (рис. 1).

И с х од н ы е д а н н ы е:

Рис. 1. Схематическое представление математической модели

133

К первым относятся величины, учитывающие условия обстановки: время года, погоду, состав подразделений и т.п.; ко вторым - данные об организационно-штатной структуре, возможностях подразделений, о местности и др.

Распространены математические модели, когда переменные исходные данные вводятся в начале решения задачи и в ходе моделирования, в зависимости от промежуточных результатов (рис. 2). Пунктирная линия показывает возможность перехода на начальный или промежуточный этап моделирования.

Рис. 2. Представление диалоговой модели

Математическая модель должна формулироваться и разрабатываться при определенных ограничениях и допущениях, которые должны определяться, главным образом, на этапах разработки, постановки и формализации процесса. Простейшие модели инженерного обеспечения, в которых рассматриваемые величины можно считать постоянными в течение определенного интервала времени (одно из допущений), часто можно строить на соотношениях вида:

2 = ч ■ ^ (1)

где Q - объем задачи инженерного обеспечения; q - норматив (скорость, производительность, интенсивность) при выполнении задачи определенным составом сил; I - время выполнения задачи.

Например, если рассмотреть задачу подготовки пути подразделением как циклический процесс «движение - восстановление», то время выполнения задачи может быть определено по формуле:

"12

Т = Е ( V + -), (2)

И У, 8,

где ¡/ - протяженность /-го участка пути; V/ - скорость движения на / участке; Qi - объем задачи на / объекте; gi - возможности подразделения при выполнении задачи на / объекте. Тогда средний темп выполнения задачи:

134

2

уСР =

г=1

т

Это простейшая модель, и в ней не учитываются существенные факторы: отказы техники; детализация работ и др. Величины, входящие в формулы (1), (2), полагаются постоянными. В более детальных моделях может учитываться вероятность снижения возможностей подразделений при выполнении задачи во времени в результате потерь от какого-либо воздействия.

Рассмотрим вариант, когда в соотношении (1) возможности подразделений по выполнению задачи зависят от времени q = ).

Тогда объем выполняемой задачи Q за время Т.

N

Q = 2 ^ ^ =| Ч(* ,

1=1 0

то есть получаем более сложную модель, в которой можно учесть изменение возможностей подразделений по выполнению задачи во времени.

Если требуется определить время Т, за которое будет выполнена задача в объеме Q, то необходимо решить уравнение вида:

т

Q= | д(х)&, (3)

относительно неизвестной величины Т.

Рассмотрим пример: пусть возможности подразделения меняются во времени в соответствии с соотношением вида:

дЦ) = д0 е

-а(

где qo - начальное значение норматива по выполнению задачи; а - коэффициент, характеризующий интенсивность снижения производительности во времени.

Тогда объем задачи, выполняемый за время Т, в соответствии с формулой (3) будет определяться по соотношению:

т

а(Т) =\ д0 • е~аЧг = % - е~аТ). (4)

а

о а

При постоянной производительности, равной начальной, то есть qo.

Q(T) = qoT .

Модель, описываемая формулой (4), является более общей, чем (1), так как позволяет учесть изменение возможностей подразделения во времени. Если зависимость (4) решить относительно Т, можно получить формулу для определения времени выполнения задачи при заданном объеме Q:

Т = -—1п(1 - аО-).

а Чо

о

135

Широкое применение при моделировании процессов, протекающих во времени, находят дифференциальные уравнения, методы статистического моделирования (статистических испытаний), теории марковских цепей, уравнений динамики средних, методов линейного, нелинейного и динамического программирования и др.

Разнообразие математических моделей и задач вызвали необходимость создания их классификации. В настоящее время нет общепринятой классификации моделей, хотя имеется устоявшаяся терминология.

В общем плане математические модели могут быть классифицированы [1] по методам реализации, по применению, по целевому предназначению.

По методам реализации модели могут быть:

- аналитические, в которых основа - аналитические выражения;

- статистические, в которых основа - метод случайного выбора в соответствии с законами распределения случайных величин, параметрами случайных процессов;

- ситуационные, представляют в виде таблицы решений, соответствующих типовым ситуациям, подготовленных опытными специалистами.

По применению модели могут быть штабные, учебные и исследовательские, по целевому предназначению - расчетные (реализуют прогноз того, что может быть при каком-то одном способе действий, решении) и оптимизационные (обеспечивают возможность нахождения оптимального, наилучшего или наиболее рационального решения на основе принятого критерия).

При разработке математических моделей действий спасательных формирований, их инженерного обеспечения, моделей выполнения отдельных задач инженерного обеспечения необходимо пользоваться определенными принципами, требованиями или правилами. Основные из них:

- соответствие математической модели области применения и предназначению;

- учет положений системного подхода, предполагающего рассмотрение модели как части общей модели (системы);

- соответствие детализации информации масштабу модели;

- простота и критичность к исходным данным;

- возможность получения результатов решения при различных исходных данных и переменных исходных данных в сроки, определяемые обстановкой;

- достаточность выходной информации для принятия решения;

- оперативность - время получения конечных результатов для цикла решения не должно превышать допустимое;

- адекватность математической модели реальному процессу.

Разработку математической модели можно представить как поэтапную формализацию исследуемого явления, объекта, процесса (рис. 3):

- первый этап - уяснение целей задачи и уточнение информационной базы;

- второй этап - разработка постановки задачи. Сущность его состоит в определении следующих основных положений:

а) наименования задачи или модели;

б) структуры, содержания и формы выходной информации с определением расчетных величин модели (спасательный отряд, другие элементы организационно-штатной структуры, средство инженерного вооружения и др.);

в) структуры, содержания и формы входной информации;

г) соотношения между переменной и постоянной информацией;

д) критериев эффективности моделируемых процессов или задач;

е) принимаемых допущений и ограничений;

ж) требований к точности исходной информации и результатам.

136

Рис. 3. Этапы разработки и реализации математических моделей

При разработке постановки задачи необходимо изучить состояние вопроса и возможности разрабатываемой модели по сравнению с существующими. Постановка задачи не содержит завершенных математических соотношений, позволяющих моделировать исследуемый процесс;

- на третьем этапе осуществляется формализованное описание процесса, его схематизация, описание условий возможного развития процесса с учетом известных фундаментальных закономерностей и вариантов действий. Применительно к задачам инженерного обеспечения формализованные описания моделируемых процессов называют оперативно-тактическим алгоритмом;

- четвертый этап - отображение формализованного описания на языке математических понятий, величин, условий, соотношений. Этап математической формулировки задачи завершает первый уровень ее разработки - создание математической модели.

Математическая модель может быть выполнена в одном из двух вариантов: она представляет последовательность формул, по которым могут быть получены требуемые величины либо системы различных уравнений, в которые неизвестными входят искомые величины. С помощью таких соотношений учитываются и принятые в моделях ограничения.

При описании математической модели по первому варианту можно приступить сразу к шестому этапу - алгоритмизации задачи или модели, а для второго варианта необходимо выбрать метод решения (пятый этап) полученной системы соотношений и после этого приступать к алгоритмизации;

- шестой этап - алгоритмизация задачи - требует работы специалистов по алгоритмизации и привязки алгоритма к алгоритмическому языку;

- седьмой этап - программирование - обеспечивает формализацию рассматриваемого процесса на уровне конкретного алгоритмического языка;

- этапы 8 и 9 дают возможность убедиться в правильности математического описания процесса, при наличии - их устранения.

137

Завершающим этапом является внедрение модели или задачи.

Документация на математическую модель оформляется в соответствии с определенными правилами и, как правило, включает следующие части, оформляемые отдельными книгами: 1 - «Постановка задачи», 2 - «Математическая модель (алгоритм, методика) задачи», 3 - «Программа решения задачи и инструкция программисту-оператору по ее решению на ЭВМ», 4 - «Инструкция по использованию задачи».

Постановка задачи включает: общие сведения о задаче, основные требования к задаче, порядок решения задачи, входную и выходную информацию задачи, требования к конфигурации технических и программных средств и приложения.

Возрастание масштабов последствий чрезвычайных ситуаций и сложности задач, к решению которых должны быть готовы спасательные формирования, требует применения для обоснования принимаемых решений методов математического моделирования, обеспечивающих прогнозирование результатов планируемых действий.

Применение методов исследования операций для моделирования действий спасательных формирований может служить основой для совершенствования работы органов управления всех уровней и обоснования комплекса средств для обеспечения выполнения спасательных и аварийных работ.

Литература

1. Исследование операций: учеб. / Л.А. Егоров [и др.]; под ред. Б.Н. Юркова. М.: Военно-инженерная академия, 1990. 529 с.

2. Чуев Ю.В. Исследование операций в военном деле. М.: Воениздат, 1970. 256 с.

3. Седнев В.А., Седнев А.В. Оценка эффективности применения программно-аппаратных платформ // Проблемы безопасности и чрезвычайных ситуаций. 2019. № 6. С. 46-52.

References

1. Issledovanie operacij: ucheb. / L.A. Egorov [i dr.]; pod red. B.N. Yurkova. M.: Voenno-inzhenernaya akademiya, 1990. 529 s.

2. Chuev Yu.V. Issledovanie operacij v voennom dele. M.: Voenizdat, 1970. 256 s.

3. Sednev V.A., Sednev A.V. Ocenka effektivnosti primeneniya programmno-apparatnyh platform // Problemy bezopasnosti i chrezvychajnyh situacij. 2019. № 6. S. 46-52.

Материал поступил в редакцию 25 октября 2020 г.; принят к публикации 27 ноября 2020 г.

138