Об устойчивости линейных стационарных динамических систем относительно части переменных Текст научной статьи по специальности «Математика»

случае ограниченности в среднем правой части / Р. Б. Лапшина // Применение современных математических методов к вопросам механики подвижного состава железнодорожного транспорта : сб. науч. тр. М., 1980. Вып. 109. С. 59 64.

3. Шестаков А. А. Прямой метод Ляпунова как метод локализации функциями Ляпунова предельных множеств неавтономных динамических процессов / А. А. Шестаков // Функции Ляпунова и их применение. Новосибирск, 1987.

Поступила 07.03.2012.

УДК 517.926

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ОТНОСИТЕЛЬНО ЧАСТИ ПЕРЕМЕННЫХ

В. И. Никонов

Предложен подход к исследованию частичной устойчивости линейных стационарных систем относительно части переменных.

Пусть поведение объекта описывается линейной стационарной динамической системой вида:

х = А*х, (1)

где х е Я", А» — постоянная действительная матрица размера п х п. Исследуется устойчивость системы (1) относительно заданной части координат фазового вектора х. Для определенности пусть требуется исследовать устойчивость относительно первых т координат. Таким образом, 1 < т < п. С учетом этого фазовый вектор х представим в виде:

х = (у, z )Т,

где у е Ят, г е Яр, р > 0, т + р = п, Т — знак транспонирования. Тогда система (1) принимает вид:

у = Ау + Вг,

г = Су + Dz, (2)

где А, В, С, D — матрицы соответствующих размеров.

Как известно, устойчивость системы (1) относительно всех координат фазового вектора х зависит от собственных значений матрицы А и их кратностей.

Определение 1. Многочлен ф(1) = I5 + + у {к + ■ • ■ + у5 будем называть правым

(левым) минимальным аннулирующим многочленом вектор-строки (вектор-столбца) х относительно линейного оператора D, если вектор-строки (вектор-столбцы) х, xD, ..., xDs-1 (х, Dx, ..., Ds-1x) линейно независимы и выполняется условие:

xDs + JíxDs—1 + • ■ • + у 5х = = 9(Dsx + уiDs—1х + •■• + у ^ = 9), которое может быть записано в виде хуф) = 9(уФ)х = 9). Лемма. Пусть

ф1(1) = ^ + а^1-1 + •■• + а^

и

Ф2(1) = I"2 + ■•■ +Р^2 -

взаимно простые левые минимальные аннулирующие многочлены векторов Ъ и ^ относительно оператора D, s — степень минимального многочлена оператора D и 5 + ^ < тогда векторы Ъ^ Ъ^, ..., blD 1 , Ъ2, Ъ2D, ..., Ъ^ 2 линейно независимы. Теорема 1. Пусть s — наименьшее положительное целое число, такое, что гапд(К ,^1) = = гапд(К5), тогда линейная система (2) у-устойчива тогда и только тогда, когда

© Никонов В. И., 2012

устойчиво матричное линейное дифференци- (5+1) ) (5)

альное уравнение Т+ (Т5-1 - Т^а)у +

¥5у(5+1) + (¥5-1 - ¥5А)у(5) + 5-2 5-1 5 У

+ (¥5-2 5-1А 5ВС)у(5-1) +

+ (¥5-3 - ¥5-2а - ¥5-1Ъс - ¥5ЪВс) х х у(5-2) + • ■ • + (¥0 - ¥1а - ¥2Ъс-----

+ ('Ч5-3 - ¥5-2А - ¥5-1 ВС -Ч5ВГ>0 х -^ЪВ^у - (¥0а + ¥1Ъс + ¥2ЪВс + ■■■ +

ху(5-2) + • • • + (Чо - - Ч2ВС----------+ ¥5ЪВ5-1с)у = 0.

-^ВВ^Оу - (¥0А + ¥1ВС + + ¥2ВВС + • + ¥5ВД5-1С)у = 0,

Матрица К имеет вид К5

' Ь bD

bDs

где ¥ = (¥0 ¥1 •■• ¥5) — фундаментальная матрица решений линейной системы

уК5 = 0- рица размера (з + 1) х р. Так как по усло-

Замечание. Если з = р, то исследование вию гапд(Кз) = з, фундаментальная матрица

у-устойчивости системы (2) сводится к ис- линейной системы

следованию устойчивости матричного линей- ^к = 0 (5)

ного дифференциального уравнения вида: 3 ( )

содержит всего одно ненулевое решение. Так, ¥ у(Р+1) + (¥ 1 - ¥ А)у(р) + если ф(1) = I3 + у1-1 + ... + уз — левый мир р р нимальный аннулирующий многочлен векто-+ (¥р-2 - ¥р-1А - ¥рВС)у(р-1) + ра Ъ, то очевидно, что вектор ¥ = (уз уз-1 ...

... У1 1) является решением системы (5). Та-

+ р-3 р-2А р-1Вс рВВС) х ким образом, задача у-устойчивости системы

(р_2) ( . „с ( дифференциальных уравнений сводится к

х у + + 0 - - ¥2ВС - исследованию устойчиво стилинейного диф-

- ¥рВВр-2С)у - (¥0 А + ¥1ВС + ференциального уравнения

+ ¥2ВВС + • + ¥рВВр-1С)у = 0, у(5+1) + (у1 - а)у(5) + (у2 - у1а - Ъс)у(5-1) +

Так, например, если з = р = 3, уравнение + (у3 - у2а - у1Ъс - ЪВс)у + ••■

(4) запишется в виде: + (у^ - у^-1а - у5-2Ъс - • - у1ЪД5-1с -

У3у(4) + ( - А)у(3) + - ЪВ5-2с)у - (у 5а + у^Ъс + у5^ЪОс + • +

+ (Т1 - А - У3ВС)у + + у1ЪД5-2с + ЪВ5-1с)у = 0.

+ (^0 - ^1А - ^2ВС - ^3ВВС)У - 2. р = 1. В этом случае система (2) име-

- (¥0 А + УфС + ^2ВБС + ВВ2С)у = 0. ет вид:

у = Ау + Ъг,

Рассмотрим несколько частных случаев.

1. т = 1, гапд(К5_1) = гапд(К5) = з. В дан- г = су + dг,

ном случае з — степень левого минималь- где у е Кт, г е К, А, Ъ, с, й — матрицы со-

ного аннулирующего многочлена вектора Ъ ответствующих размеров. Очевидно, что в

относительно матрицы В. Исследуемая си- данном случае з = 1, так как матрщы К0 и

стема (2) имеет вид: К1 имеют следующий вид:

у = ау + Ъг, К0 = (Ь) - т х 1, К = í Ь 1 - 2т х 1,

г = су + Вг, \Ьй)

где у е К, г е Кр, а, Ъ, с, В — матрицы со- гапд(К0) = гапд(К1) = 1.

ответствующих размеров. Таким образом, уравнение (4) запишет-

При этом уравнение (3) принимает вид: ся в виде:

+ (^ - А)у - (^А + Т2Ьс)у = 0,

где Т = — матрица размера т х

х (2т - 1).

3. Если Т = (Т0 ... — фунда-

ментальная матрица решений линейной системы

= 0, гапд(К5-1) = гапд(К5),

причем — неособая матрица размера т х т, то для асимптотической у-устойчивости системы (2) необходимо и достаточно, чтобы был устойчивым матричный многочлен

Т5Л5 + (Т5_1 - Т5А)Л5-1 + + (Т5_2 _ Т5_1А _ Т5ВС)Л5_2 +

+ (Т5_3 _ Т^_2А - Т^_1ВС - Т^ВОС) х

5 3 (6) хЛ5-3 + •■• + (Т1 -Т2А -Т3ВС - •■• -

- Т5ВО5_3С)Л - (Т1А + Т2ВС +

+ Т3ВОС + •■• + Т5ВО5_2С) = 0.

Но, как известно [2], всякое решение матричного уравнения (6) является решением скалярного уравнения

| Т+ (Т5_1 - Т5А)15-1 + + (Т5_2 - Т5_1А - Т5ВС)15_2 + + (Т5-3 _ Т5_2 А - Т^_1ВС - Т^ВОС) х х15_3 + •■• + (Т1 -Т2 А -Т3ВС - •■• -_3С)1 - (Т1А + Т2ВС + + Т3ВОС + •■• +Т5ВО5_2С)|= 0,

которое представляет собой многочлен т х 5-го порядка.

Проиллюстрируем все вышесказанное на числовых примерах.

Пример 1 [1]. Пусть уравнение возмущенного движения имеет вид:

у = -у + ¿1 - 2^2,¿1 = 4у + 21, ¿2 = 2у + 21 _ 22. В данном случае т = 1, р = 2,

«=-1,ь=(1, с=(5, ^=(; °

матрицы К и К имеют вид:

1 -2 > -1 2

гапд(Ко) = гапд(К1) = 1, 5 = 1.

Ко = (1 -2), K =

Линейная система YK1 = 0 имеет вид:

- У2 = 0 -2y + 2^2 = 0, фундаментальная матрица решений которой есть Y = (1 1), следовательно, Y1 = 1,

Y2 = 1, тогда уравнение Y2// + (Y1 - Y2a)y -

-(Y1a + Y2bc)y = 0 имеет вид y + 2y + y = 0. Так как многочлен c(l) = l2 + 21 + 1 является гурвицевым, делаем вывод, что система является асимптотически ^-устойчивой.

Пример 2. Пусть исследуется у-устойчи-вость системы:

y1 = -У1 + /2 + 2z1 + 22 + ^

y2 = У - 3У2 + 21 + ^

Z&1 = У1 + 3z1 - З22 + 223,

z&2 = У1 + /2 - 21 + 522 - 223,

23 = 3У2 - 21 + 322-

Таким образом, исходные матрицы имеют вид:

A

-1 1 1 -3

B =

2 1 1 101

'1 0 > ( 3 -3 2 1

C = 1 1 , D = -1 5 -2

V0 3У V-1 3 0 ,

Матрицы Ki имеют вид:

К0 = B, К

2 1 4 2

1 1

гапд(Ко) = гапд(К1) = 2.

Фундаментальная матрица решений линейной системы ТК^ = 0 имеет вид:

Y = (Yo Y ), Yo

-2 0

0

Y.

' 1 0 л , 0 1,

Таким образом, анализ ^-устойчивости исходной системы сводится к исследованию устойчивости линейного матричного дифференциального уравнения

+ (Т1 - А)у - (Т1А + Т2ВС)у = 0, которое в данном случае принимает вид:

1 0 0 1

-1 -1 -1 1

5 2 -1 9

1 0 0 1

I2 +

-1 -1 -1 1

5 2 -1 9

которое, очевидно, эквивалентно линеинои системе дифференциальных уравнении четвертого порядка, что полностью согласуется с результатами [3]. Далее составим характеристическое уравнение

которое имеет вид:

14 - 1612 + 31 + 47 = 0.

Его корни: 1 к 3,2684, 1 к 2,1834, 1 к 3,6449, 1 к -1,8069, откуда следует за-

ключение об у-неустоИчивости системы. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

В

1. и. 2. 3.

В. и. 2010.

Воротников В. И. Устойчивость динамических систем по отношению к части переменных Воротников. М. : Наука, 1991. 288 с.

Гантмахер Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. М. : Наука, Никонов В. И. Об устойчивости линеИных систем относительно // Вестн. Мордов. ун-та. Сер. Физико-математические С. 62 65.

Никонов № 4.

1967. 576 с.

части переменных науки [Саранск].

Поступила 14.03.2012.

УДК 517.9:531.26

О ТЕОРЕМАХ ПРИТЯЖЕНИЯ

ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ

Р. Б. Лапшина

Доказаны аналоги теорем о притяжении [1 4] для функционально-дифференциальных уравнении, уточняющие результаты работ [3 4].

Рассмотрим функционально-дифференциальное уравнение вида

X (г) = /(х), / : X ^ Я", X с С. (1)

Будем предполагать, что / есть непрерывная функция из X в Яп, отображающая ограниченные множества из X в ограниченные множества из С. Эти предположения будут выполнены, если функция / локально Липшиц-непрерывна на X.

Примем следующие обозначения:

1) ФВ-уравнение — функционально-дифференциальное уравнение;

2) С — пространство непрерывных функции ф : [—г, 0] ^ Яп с нормои

Н = 9тах01 к (е)1; (2)

3) х : [—г, 0] ^ Яп такая, что

хЬ (0) = х (Ь + 0), -г < 0 < 0, 0 < Ь < а.

Очевидно, что х1. е С — ограничение функции на [Ь — г, Ь].

Определение 1. Функция Х1 : [—г, а] ^ Яп называется решением ФВ-уравнения (1), если для некоторого а > 0 функция х удовлетворяет (1) для всех Ь е [0, а).

Определение 2. Решением х(Ь, ф) на-чальнои задачи ФВ-уравнения

х' (г) = / (хг), хо = ф е С (4)

называется непрерывная функция х(Ь), определенная в интервале [—г, а], такая, что

х(Ь) = ф(Ь) "Ь е [-г,0], (5)

ф(Ь) е X с С, (6)

и удовлетворяющая ФВ-уравнению (4) для всех 0 < t < а.

© Лапшина Р. Б., 2012