Робастное субоптимальное управление линейными объектами с эталонной моделью Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.7

Е. Р. Галяув, И. Б. Фуртат

РОБАСТНОЕ СУБОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ОБЪЕКТАМИ С ЭТАЛОННОЙ МОДЕЛЬЮ

Введение

Практически в любой инженерной задаче по конструированию системы управления присутствуют неопределенные и неконтролируемые факторы, наличие которых обусловлено неточностью наших знаний об объектах управления и действующих на них внешних возмущениях. Современный этап развития теории автоматического управления характеризуется поиском такого алгоритма управления, который обеспечит либо полную инвариантность системы произвольным неизвестным возмущениям, либо минимальную к ним чувствительность. Подобные задачи решаются в ряде работ, например в [1]. Некоторые способы динамической компенсации ограниченных возмущений рассмотрены в [2-4].

Кроме того, актуальной задачей является выбор среди множества стабилизирующих регуляторов такого, который оптимален с точки зрения некоторого критерия, характеризующего качество управления. Для решения этой проблемы предложено множество подходов [1, 5, 6]. Одним из основных, для полностью определенных систем, является задача о линейноквадратичном регуляторе, возникающая при описании систем в пространстве состояний и выборе управления в форме обратной связи по состоянию, которое минимизирует заданный функционал качества [6].

Для систем по выходу и с неконтролируемыми возмущениями оптимальная задача заменяется субоптимальной. Наиболее распространенным ее решением является метод Н¥ -оптимизации, который заключается в построении стабилизирующего регулятора для систем с возмущениями. Стандартом решения задач Н¥ -оптимизации в настоящее время является «2-Риккати» подход [7]. В рамках этого метода искомый оптимальный регулятор определяется на основе решения двух многомерных уравнений Лурье - Риккати для восстановления вектора состояния и оптимального управления в смысле минимума Н¥ -нормы замкнутой системы. Регуляторы, синтезированные с использованием этого критерия оптимальности, обеспечивают устойчивость замкнутой системы и минимальную чувствительность к возмущениям. В [1] для задачи синтеза оптимального регулятора управляющее воздействие предложено разложить на две составляющие: оптимальное управление, получаемое для номинальной системы (при отсутствии внешних возмущений), которое позволяет минимизировать заданный функционал качества, и компоненту, компенсирующую неопределенности системы управления. В [8] предложена схема построения субоптимальной децентрализованной системы робастного управления, при котором система управления становится инвариантной с точностью до е к неизмеряе-мым ограниченным внешним и внутренним параметрическим возмущениям. Метод решения робастной квазиоптимальной задачи для линейного нестационарного объекта предложен в [9].

Однако проблема выбора регулятора, обеспечивающего робастную устойчивость замкнутой системы и, кроме того, гарантирующего некоторое желаемое значение показателя качества при всех возможных неопределенностях, по-прежнему остается актуальной.

В предложенной работе решается субоптимальная задача слежения за эталонным сигналом с эталонной моделью последовательного типа. Целью управления является минимизация интегрального критерия качества с бесконечной верхней границей с малой погрешностью отклонения от номинального значения. Синтез системы оптимального управления основан на результатах работы [1]. Компенсация неопределенностей в объекте базируется на подходе, предложенном в [2]. Приведенный результат моделирования иллюстрирует работоспособность системы.

Постановка задачи

Рассмотрим объект управления, динамические процессы в котором описываются уравнением в векторно-матричной форме:

х^) = Лх^) + Bu ^) + Df ^), у^) = Lx(t), (1)

где х(^ е Яп - вектор состояния; у^) е Я - управляемый выход объекта; и(^) е Я - управляющее воздействие; f (t) е Я - внешнее возмущающее воздействие; Л, В и D - неизвестные числовые матрицы соответствующих порядков; L = [1,0,..., 0].

Задано уравнение эталонной модели

хт () = Лтхт ^) + ВтГ() , Ут () = ^т () , (2)

где хт ^) е Яп , ут ^) е Я , г^) е Я - ограниченное задающее воздействие; Лт - гурвицева матрица, Вт = [0; 0;...; 6].

Предположения. 1. Неизвестные постоянные коэффициенты матриц Л, В и D зависят от некоторого вектора неизвестных параметров £ е X, где X - известное ограниченное множество. 2. Пара (Л, В) - управляема, а пара (Л, L) - наблюдаема. 3. Выполнены условия структурного согласования: Л = Лт + ВтсТ, В = Вт + Втх и D = Втк, где Лт , Вт - произвольные известные номинальные матрицы соответствующих порядков, с е Яп - вектор неизвестных параметров; хе Я+, к е Я - неизвестные коэффициенты. 4. Измерению доступен выходной сигнал у^) и управляющее воздействие и(;). 5. Известны начальные условия х(0) объекта управления (1). 6. Неконтролируемое внешнее воздействие f ^) и эталонный сигнал ут ^) - ограниченные функции времени.

Для решения задачи субоптимального управления неопределенным объектом (1) функцию и(;) представим в виде суммы сигналов и0(^) и ик ^): функция и0(^) необходима для минимизации заданного целевого функционала качества, ик ^) компенсирует неопределенности объекта [1].

Таким образом, целью управления является синтез алгоритмической структуры управляющего устройства, обеспечивающей минимизацию критерия качества

¥

з = | [(у^) - ут (О)2 д+и0 ^) ^)] л (3)

0

с малой погрешностью отклонения от номинального значения, где д е Я, ^ е Я - положительные коэффициенты, выбираемые разработчиком.

Метод решения

Подставив второе уравнение (2) в функционал (3), получим

3 = } [(хЦ) - хт ^))Т М(х() - хт ^)) + и02 () ^)] Л . (4)

0

Здесь матрица М = д^ L .

Преобразуем систему (1), принимая во внимание предположение 3, к виду

х(0 = Лтх(0 + Вти (0 + Втф(х, и, 0, у(0 = Lx(t), (5)

где ф(х, и, t) = сТ х^) + хи^) + kf ^).

Составим уравнение для ошибки ф) = х^) - хт ^):

V^) = Л,^(0 + Вти^) + Втф1(х, и, t), ) = Lф) , (6)

в котором ф1 (х, и, t) = ф(х, и, t) - г^) .

Выделим номинальный объект

Vн (0 = Лт<;н ^) + Вти0 ^) , вн ^) = LVн ^) , (7)

полученный из (6), при отсутствии возмущения ф1(х, и, ^ и рассмотрим для него критерий качества

¥

з = | Ьо1) д + ико ^)] л. (8)

0

Решим для уравнений (7) задачу оптимального управления с минимизацией критерия качества (8). Согласно методу динамического программирования [7], для системы (7) оптимальный закон управления, минимизирующий (8), выберем в форме

^(0 = -^ н (), (9)

1 Т Т

где К0 = — ВтН ; матрица Н = Н > 0 является решением матричного уравнения Лурье - Рик-

w

кати ЛТтН + НЛт - 1НВтВТтН = -М . w

Добавим и вычтем и() () в системе (6) и перепишем ее в виде

V(t) = + ВтЫк (t) + Втф2(х, и, 0, в(0 = Lv(t) . (10)

Здесь Л0 = Лт - ВтК0 ; ф2(х,и, t) = ф1(х, и, t) + К^^); ик ^) - сигнал, необходимый для компенсации параметрических и функциональных неопределенностей.

Введем вспомогательный контур

V V (0 = ЛoVv (0 + Втик (t), ву (0 = Lvv (t) (11)

и, учитывая (10), (11), составим уравнение рассогласования ) = V(t) - Vv(t) :

X(t) = ЛХ(1) + Втф2(х, и, t), e(t) = L£(t). (12)

Запишем (12) в форме «вход-выход»:

б(р)е^) = Я (рфх, и,

где 2(Р), Я(р) - полиномы порядков п, т соответственно; р = Л/Л - оператор

дифференцирования.

Для компенсации функции ф2(х, и, !), содержащей в себе параметрические и функциональные возмущения, зададим сигнал ик (!) в виде

ик ^) = -“7Р7e(t) = -ф2(х, и, t). (13)

Я( р)

Принимая во внимание то, что вектор состояния х(1) и его производные недоступны измерению, закон управления сформируем следующим образом:

ик ^) = -■?ТРГ^) = -ф2(х, и, t), (14)

Я( р)

где Ф2 (х, и, t), е^) - оценки функций Ф2 (х, и, t) и e(t) соответственно.

Для реализации уравнения (14) введем наблюдатель [10]:

£(0 = О0Х(0 + Fo(e(t) -e(t)), е(0 = LX(t). (15)

Здесь G0 =

0 1п-1

0 0

=

А

тп

; числа /1,...,/п выбираются так, чтобы мат-

рица О = G0 - FL была гурвицевой; L = [1,0,..., 0]; Ет = [/1,..., /п ]; т - малое положительное число; 1п-1 - единичная матрица порядка (п - 1) X (п - 1).

Введем векторы 0Т (!) = [е(0, е'(0, £"(!),., е(п-1) (t)] и г(0 = Г-1 ((ХС!) - 0(0) ,

Г-1 = diag{mп-1, ., т, 1} . С учетом (15) составим уравнение для нормированных отклонений г(1) [2]:

Г^) =1 Оц(1 ) + Ъг(п)(0, А^ ) = е(1 ) -е^) = т(п-1)Lh(t),

т

ЪТ =[0, 0, ..., 1].

Преобразуем последнее уравнение в эквивалентное относительно первой компоненты Г^) вектора л(1 ):

г(t) =1 Ог(0+ъг'(t), а(1) = т(п 1)г1(1)=т(п ^г(0, т

(16)

где г(1 )е Яп ; Ът =[1, 0, ..., 0]. Эти уравнения эквивалентны относительно переменных Г1 ^) = Г (t), т. к. они являются различными векторно-матричными формами записи одного

уравнения

V

%(0 = г(n)(t).

У

Подставим уравнения (14), (15) и (16) в (10). В результате получим

V(t) = )+Ътп"V А(1 ), в(t) = Lv(t),

(17)

где V(t) е Яп ; А(1) = [Г^Щ^),..,^^)]; g - вектор, составленный из коэффициентов полинома Q0 (1).

Утверждение. Пусть выполнены условия предположений. Тогда существует число т0 > 0, такое, что при т<Ц0 для системы управления (11), (14)-(17) обеспечивается малое отклонение фазовых переменных (7) и (17).

Доказательство. Введем новую переменную ю(1) , равную разности векторов состояния (17) и (7), в результате, с учетом (16), запишем систему уравнений:

й(1 ) = Л0ю(0 + Ът п 1 gт А(1);

1^11 ^) = О п(1 ) + т 2Ъ г'(t),

(18)

где т = ^2 = т.

Выберем функцию Ляпунова в виде

V = юТ ^)Nю(0 + цТ (1)Рц(1) ,

ТТ

где матрицы N = N > 0 и Р = Р > 0 рассчитываются из уравнений

NЛ0 + Л^ = -21п , РО + ОтР = -21п ,

1п - единичная матрица порядка п X п .

Тогда, учитывая (18), при т 2 = 0 получим

(19)

(20)

V = - 2ют Ц) 1П ю(0 - 2ПТ (() 1ПП(г).

Таким образом, согласно лемме [11], в (18) имеем асимптотически устойчивую систему по переменным ю(0 и п(^), поскольку матрицы А0 и О - гурвицевы. Тогда из уравнений (18)

и условий леммы [11] для некоторого то > 0 в'(^) и Д(^) - ограниченные функции,

т. е. % > Бир)|, у > Бир|Д^)|. С учетом вышесказанного, уравнений (7), (15) и предположения 6,

t г

очевидно, что векторы х(0 и 2,^) ограничены.

Рассмотрим теперь уравнение

ф2(х, и, 0 = стх(0 + ти(t) + &/Х0 + К0х(0 - г(0 = стх(0 + т(и0(0 + ык(t)) + к#(t) + К0x(t) - г(0 .

Разрешим его относительно ик ^), принимая во внимание (13):

1 т

ик ^) =----- (с Х^) + т ио (t) + к#-^) + Кох^) - г(t)).

т +1

Тогда, в силу доказанного выше, предположений 3, 6 и ограниченности г^), управление ик ^) - величина ограниченная. Таким образом, все сигналы в замкнутой системе (18) ограничены.

Однако сохранение области диссипативности не гарантирует асимптотической устойчивости сингулярно-возмущенной системе (18).

Вычислим полную производную от функции (19) на траекториях системы (18), принимая во внимание матричные уравнения (20), при т-1 = т2 = то :

V = - 2|^)|2 - —)|2 + 2?т ^)ЫЪт0-1^ Д(t) + 2ПТ (t)РЪ е (t). (21)

т 0

Воспользуемся оценками

2юТ (^тт1 -\Д (о < т I-1| Щ2 |ю(о|2 + т0-1 |Д(t)|2 < т 0-1| ^ъ| 2 |ю(0|2 + т1-1у2,

2ц (Оръє'(о^ —П(0\РЪ\ + т2К(0|2<—Мръ +т0с2. т0 т0

Подставив полученные оценки в (21), получаем

V < - |ю(о|2 -— I n(t )|2 - |ш(г )|2 (1 -тП-11Щ2 )-— I n(t)|2 т о т 0

( 1 I -|2 ^

1 —И ръ\ т о

+т 0(тГ3у2 +с2). (22)

Очевидно, что всегда существует число то, обеспечивающее положительность чисел в скобках. Тогда, в силу структуры функции Ляпунова (19), ее производную (22) можно оценить как

V <-av+т?(тП-3у2 +%2),

где а = шт<----------------------1-;-1->; 1 ш;п(-) - минимальное собственное число соответствующей

[1 шт

(N у т о1 ш1п(Р) г

матрицы.

Решив последнее неравенство, получим

V < е_а V (0) + (1 - е_а t) ^°(тп -3у2 +%2).

а

Отсюда следует, что Пт V <—(тП 3У2 +%2)- Значит, |е(г)| <4у <т0л|— (тП 3у2 +%2)

га V а

при г ® ¥ . Таким образом, выбором числа Ц0 можно добиться сколь угодно малого отклонения

фазовых переменных первых уравнений (7) и (17). Кроме того, очевидно, что уменьшением

числа ц 0 можно минимизировать погрешность значения интегрального критерия качества (3).

Пример. Рассмотрим объект управления вида

“0 1 0 " "0" "0"

х(г) = 0 0 1 х(г) + 0 и(г) + 0

_°1 «2 «3 _ Ь й

/ (О, у(г) = Ьх(г):

(23)

где Ь = [1, 0, 0]. Класс неопределенности х задан неравенствами: |аг| < 40 , I = 1, 3 , 1 < Ь < 10, |й| < 10 , /(г)| < 10 . Предполагается, что доступен измерению выходной сигнал у(г) и известны

начальные условия х(0) = [1 1 К.

Эталонная модель (2) задана уравнением

1 0 0 " 0"

Хт (г) = 0 0 1 Хт (0 + 0

1 1 6 - 7 - 4 1 3 1

г (г).

Цель управления - минимизация функционала качества (3) при д = 4 и w = 3 . Номинальный объект управления (7) описывается матричным дифференциальным уравнением

" 0 1 0 " "0"

V н (г) = 0 0 1 Сн (г) + 0

- 6 - 7 - 4 3

«0(0, ен (г) = Ь Сн (г).

(24)

1

Решением уравнения Лурье - Риккати ЛтН + НЛт------------НВтВтН = -М является матрица

w

3,6883 1,6107 0,3094'

И = 1,6107 0,9821 0,2198

0,3094 0,2198 0,0539

Зададим вспомогательный контур (11):

V V (0 = Ло Vv (г) + Вт«к (г), еу(г) = Ьс,^)

0 1 0

001 ■6,9282 - 7,6593 - 4,1616 Составим уравнение рассогласования Х(0 = с(0 - См (г):

&&(г) = Ас4(г) + ВтЛ(х, и, г), е(г) = Д(г).

“0 1 0

0 0 1

0 0 0

Тогда закон управления (14) определится в виде

где Л0 Лт ВтК0

Построим наблюдатель (15), в котором О0) =

, ^Т = [-15, - 75,-125], т = 0,01

ик (0 = -(р3 + 4,1616р2 + 7,6593р + 6,9282)£(0 .

На рис. 1, 2 приведены графики переходных процессов по ошибке слежения е(^) и выходу номинального объекта ен (^) при следующих значениях параметров в системе (23): а = 2, а2 = 1, а3 = 4, Ь = 5 , ё = 2, т = 0,01, /^) = 3 + 2б1и1,5^ , г(^) = 1 + 2бш ^.

<0

1,5

1

0,5

0

-0,5

10

30

і, с

Рис. 1. Переходный процесс по ошибке слежения е({)

Єн(і)

Рис. 2. Переходный процесс по выходу номинального объекта ен ({)

Значение интегрального критерия качества (3) для объекта (23) равно 3р = 9,019, для номинального объекта (24) критерий (8) принимает значение 3н = 9,0039. Абсолютная погрешность отклонения этих значений составляет 0,0151.

Заключение

Предложена простая схема решения задачи робастного субоптимального управления с эталонной моделью для параметрически и функционально неопределенного линейного объекта. Для управления таким объектом достаточно знать множество значений его параметров и начальные условия. Приведенный алгоритм позволяет минимизировать интегральный критерий качества (3) в условиях априорной неопределенности и действии внешних возмущений с малым отклонением от значения критерия для номинального объекта (8). Идея формирования управляющего воздействия системы оптимального управления базируется на работе [1], где управляющий сигнал предложено разложить на две составляющие: оптимальное управление, позволяющее минимизировать заданный функционал качества, и компоненту, компенсирующую неопределенности системы управления. Компенсация параметрической и функциональной неопределенностей основана на подходе [2].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Буков В. Н. Вложение систем. Аналитический подход к анализу и синтезу матричных систем. - Калуга: Изд-во науч. лит. Н. Ф. Бочкаревой, 2006. - 720 с.

2. Цыкунов А. М. Алгоритмы робастного управления с компенсацией ограниченных возмущений // Автоматика и телемеханика. - 2007. - № 7. - С. 103-115.

3. Цыкунов А. М. Алгоритмы робастного управления линейными динамическими объектами по выходу // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2008. - № 8. - С. 7-12.

4. Бобцов А. А., Пыркин А. А. Компенсация гармонического возмущения в условиях запаздывания по управлению // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 2008. - № 4. - С. 19-23.

5. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. - М.: Наука, 2002. - 303 с.

6. Сиван Р., КвакернаахХ. Линейные оптимальные системы управления. - М.: Мир, 1977. - 653 с.

7. Методы классической и современной теории автоматического управления. Теория оптимизации

автоматического управления / под ред. К. А. Пупкова и Н. Д. Егупова. - М.: Изд-во МГТУ

им. Н. Э. Баумана, 2004. - Т. 4. - 744 с.

8. Цыкунов А. М. Субоптимальное децентрализованное робастное управление линейным объектом // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. Сер.: Управление, вычислительная техника и информатика. - 2010. -№ 1. - С. 78-88.

9. Фуртат И. Б. Робастное субоптимальное управление линейными нестационарными объектами по выходу // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2009. - № 7. - С. 7-12.

10. Atassi A. N., Khalil H. K. Separation principle for the stabilization of class of nonlinear systems // IEEE Trans. Automat. Control. - 1999. - Vol. 44, N 9. - P. 1672-1687.

11. Брусин В. А. Об одном классе сингулярно-возмущенных адаптивных систем // Автоматика и телемеханика. - 1995. - № 4. - С. 119-127.

Статья поступила в редакцию 14.05.2010

ROBUST SUBOPTIMAL CONTROL OF LINEAR OBJECTS WITH A REFERENCE MODEL

E. R. Galyauv, I. B. Furtat

The problem of suboptimal tracking for a reference signal parametrically and functionally by an uncertain linear object is solved in the paper. It is supposed that only scalar input and output of the object can be measured. The purpose of control is to sub-minimize the integral with an infinite top limit from square-law function dependent on a tracking error and a control signal. The received algorithm is simple and does not require difficult analytical calculations of parameters of a control system. The serviceability of the received algorithms is illustrated on numerical examples.

Key words: robust suboptimal control, external disturbance, integrated criterion of quality, observer, reference model, Lyapunov function.