Асимптотические свойства решений автономной конечно-разностной системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.928.1

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ АВТОНОМНОЙ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНОЙ СИСТЕМЫ В. Н. Щенников, Р. Б. Лапшина

В статье рассматриваются свойства решений автономных конечно-разностных систем. Исследование базируется на использовании метода локализации положительного предельного множества с помощью функции Ляпунова.

В работах А. А. Шестакова [3] и Ю. И. Го-лечкова [1] доказано, что метод локализации предельного множества с помощью функций Ляпунова является эффективным методом исследования асимптотических свойств решений кусочно-разностных и функционально-дифференциальных систем динамических процессов.

Рассмотрим автономную конечно-разностную систему

х(к + 1) = /(х (к)),/ : Б ^ Rn, (1)

где х (к), / (х (к)) — элементы и-мерного

евклидова пространства Rn, Б — открытое множество в Rn.

Определение 1. Точка д е Б называется положительной предельной точкой решения ф(к, р) системы (1), если:

а) 3(^1 к+), ф(Щ,р) ^ д, к ^ к+;

б) положительным предельным множеством П (ф (к)) решения ф (к, р) системы

(1), проходящего через точку р, называется множество всех положительных предельных точек решения.

Определение 2. Функция V : D ^ Rn, Б с Rn называется скалярной функцией Ляпунова на множестве, если:

1) У(х) непрерывна по х е У;

2) ДУ (х) < 0 "х е У,

где ДУ(х) — первая разность функции

У(х) — определяется соотношением ДУ(х) = = У(/(х)) —У(х).

Определение 3. Множеством С-уровня У-1(с) скалярной функции Ляпунова У(х) для автономной системы (1) называется множество (возможно, пустое)

V-1 (с) ::= {х е У : V(х) = с}. (2)

Определение 4. Нуль-множеством Z (или нейтральным множеством) скалярной функции Ляпунова V(x) на множестве Y для системы (1) называется множество

Z ::= {x е Y : AV(x) = 0}.

Через E обозначим наибольшее инвариантное множество, содержащееся в Z. Рассмотрим функцию V(1) = (Vi, ..., Vr), отображающую пространство Rn в Rr. Первую разность DV(1)(x) для функции V(1) = = (Vi, ..., Vr) определим соотношением

DV(1)(x) = V(1)(f(x)) — V(1)(x).

Определение 5. Функция V(1) : Rn ^ Rr называется вектор-функцией Ляпунова первого типа на множестве Y для системы (1), если:

1) V(1)(x) непрерывна в Rn;

2) DV(1) (x) < 0 "x e Y.

Через £(1) обозначим наибольшее инвариантное множество, содержащееся в Z(1), где

Z(1) ::= {x е Y : AV(1) (x) е y} .

Пусть Y с Rn, V(2) : Rn ^ Rr, V = = max V(2)(x), V (2)(x) = У/2)(/(х)) -

- V (x) • u, где u = (1, ..., 1) — r-мерный единичный вектор.

V(2) = V(2) (f (x)) - V(2) (x), i = 1, 2, ..., r.

Определение 6. Функция V(2) : Rn ^ Rr, называется вектор-функцией Ляпунова второго типа на множестве Y для системы (1), если:

1) V(2)(x) непрерывна в Rn;

2) V(2) (x) < 0 "x e Y.

© Щенников В. Н., Лапшина Р. Б., 2012

Через Е(2) обозначим наибольшее инвариантное множество, содержащееся в 7(2), где

7(2) ::= {х е У : У(2) (х) = о}.

Теорема 1. Пусть

1) У(х) — скалярная функция Ляпунова на множестве У с О для системы (1);

2) ф(к, р) е У, где ф(к, р) есть решение системы (1).

Тогда решение ф(к, р) системы (1) или не ограничено при к > 0, или

Ф(к,р) — Е I V-1 (с), к — к+, (3)

где Е — наибольшее инвариантное множество, содержащееся во множестве 7:

7 ::= {х е У : ДУ (х) = 0}.

Доказательство. Если ф(к, р) не ограничено, то И(ф(к)) = 0 и утверждение теоремы 1 неверно. Если ф(к, р) ограничено при всех к ^ к+, тогда предельное множество О(ф) непусто, компактно, положительно инвариантно и является наименьшим замкнутым множеством, к которому приближаются решения, т. е. ф(к, р) ^ И(ф(к)) [3].

Множество И(ф(к)) инвариантно. Значит, И(ф(к)) с £\ Так как ф(к, р) ^ И(ф(к)), ф(к, р) при к ^ к+. Пусть д е И(ф(к)). Тогда ${к}, к — к+, ^(к,р) — д.

В силу непрерывности функции У(х) имеем У(ф(к)) ^ У(д) = с. А так как д е И(ф(к)) любое, то И(ф(к)) с У-1(с). Теорема доказана.

В условиях теоремы 1 неограниченное решение может существовать при условии, что У не ограничено и если

$ {ф (к1,р)} , ф (к1,р) е У ф (к1,р)

ДУ (ф (к,р)) ^ 0, I ^ да.

Теорема 2. Пусть:

1) У(1) : Л” ^ есть вектор-функция Ляпунова первого типа на множестве У с Л” для системы (1);

2) ф(к, р) ограниченное при к > 0 решение системы (1);

3) ф(к, р) е У "к е /+, "р е D, тогда

$с е Яг ф (к, р) — Е(1) I (V") (с) к - к*.

Доказательство. Пусть У(1) есть вектор-функция Ляпунова первого типа. Тогда каж-

дая составляющая У вектор-функции У(1) является скалярной функцией Ляпунова на множестве У. Если ф(к, р) есть решение, ограниченное при к е /+, содержащееся в У, то по теореме 1

ЗС; е Я ф (к, р) ^ Е(1) П (у(1)) 1 (с)

при к ^ к+, " { = 1, 2, г, т. е.

$ с е Яг ф (к, р) — Е(1) I (у(1) ) (с) к — к* при к ^ к+, где с =(с.[,..., сг), У(1) = (У!,...,

..., Уг). ( )

Замечание. Если У(1) — вектор-функция Ляпунова первого типа на множестве У для системы (1), то каждая составляющая У(1) вектор-функции У(1) есть скалярная функция Ляпунова на множестве У с соот-

гу(1) 7^(1) гр ^ Т/(1)

ветствующими и Ь> . Тогда ^ У^ яв-

г=1

ляется скалярной функцией Ляпунова системы (1) на множестве У, и множества Е(1), 7(1) соответствуют вектор-функции У(1). Если вместо вектор-функции Ляпунова первого типа взять вектор-функцию Ляпунова второго типа, то справедлива Теорема 3. Пусть:

1) У(1)(х) есть вектор-функция Ляпунова второго типа на множестве У с Л” для системы (1);

2) ф(к, р) — ограничено при решении системы (1);

3) ф (к, р) е У "к е /+, "р е О, тогда

$с е Я ф(к,р) — Е(2) I (у(2)) (с) к — к*.

Пример 1. Рассмотрим двумерную линейную конечно-разностную систему

х1 (к + 1) = ах1 (к) + Ьх2 (к);

Х2 (к + 1) = сх2 (к) + ^2 (к). (1)

Обозначим Д = а • й - с • Ь, 3 = а + й/

(Д + 1).

Пусть функция У(х^, х2) имеет вид:

У (Х1,Х2) = [Ьх2 - (а -5)Х1 ]2 +

+ [сх1 - (а - 5) Х2 ]2 + (1 - 52 )(х2 + Х22 ), тогда

ДУ (х1,х2) = У (ах1 + Ьх2,сх1 + йх2) -

- V (хь Х2 ) = - (1 - А2 )(1 - 52 )(х2 + х|).

Рассмотрим случай, когда 1 - 52 > 0, 1 - Д2 > 0. При выполнении условий (2) функция V(Xl, Х2) является определенно-положительной, а ДV(Xl, Х2) — определенно-отрицательной. Здесь Z = Е = {(0,0)}, следовательно, решение Х1 = Х2 = 0 системы (1) асимптотически устойчиво. Можно показать, что условия (2) являются и необходимыми для асимптотической устойчивости решений Х1 = = Х2 = 0.

Пример 2. Рассмотрим двумерную конечно-разностную систему

хг (к + 1) = ах2 (к) (1 + х2 (к)) ;

Х2 (к + 1) = Ьх1 (к) (1 + х2 (к)) .

Пусть V (Х1, Х2 ) = Х2 (^ + х| (^. Тогда

(3)

А У (Х1, Х2) =

!(1 + Х22 )

х2 +

■ (1 + х2 )

-1

Х22.

Случай 1. а2 <1, Ь2 < 1. Так как

АV (Х1, Х2 ) = (Ь2 - 1)х2 + (а2 - 1)х|, V есть

функция Ляпунова на Л2 для системы (3). Здесь 2 = Е = {(0,0)}, и, так как каждое решение ограничено, по теореме 1 каждое решение стремится к началу при k ^ &+. Далее видим, что начало — глобальная точка притяжения. Отсюда следует, что в этом случае начало асимптотически устойчиво в целом. Случай 2. а2 < 1, Ь2 < 1, а2 + Ь2 < 2.

Можно считать, что а2 < 1, Ь2 = 1, ив этом случае V есть функция Ляпунова на Л2.

АV < (а2 - 1) х| и 2 = {(Х1, Х2 ) : Х2 = 0}.

Так как Е = {(0,0)}, значит, начало асимптотически устойчиво в целом.

Случай 3. а2 = Ь2 = 1. V опять является функцией Ляпунова, все решения по прежнему ограничены. Здесь 2 = Е есть объединение двух координатных осей. По теореме 1 существует такое с, что каждое решение стремится к множеству {(с,0),(0,с),(-с,0),(0,-с)}, являющемуся пересечением 2 с окружностью

х2 + х| = с2. Имеют место два подслучая:

(1) аЬ = 1. Тогда

/ (с, 0) = (0, Ьс),

/ (f (с, 0)) = f (0, Ьс) = (аЬс, 0) = (с, 0).

Так как предельное множество инвариантно связно, решение стремится к одному из этих периодических движений — началу или периодическому движению с периодом 2.

(2) аЬ = 1. Здесь

/ (с, 0) = (0, Ьс), / (/ (с,°)) = / (0,Ьс) = (-с,°), / (-с, 0) = (0, -Ьс),

/ (/ (с, 0)) = / (0, -Ьс) = (-аЬс, 0) = (с, 0).

Если с Ф 0, то имеем периодическое движение с периодом 4. Как и в первом подслу-чае, каждое решение стремится к началу или к одному из таких периодических движений с периодом 4.

Случай 4.

> 1, Ь2 > 1. Пусть В5 =

= В(0,5)::= {(х1, х2) : х2 + х| < 52} . Для х ■

В5

и достаточно малого 5 имеем:

ДV =

!(1 + 52 )-1

х2 +

а

(1+52 Г

х2 > 0,

где ДV есть функция Ляпунова на В5 при достаточно малых 5 и Е = Z ={(0,0)},. Исключая начало, нет решений, начинающихся в В5 и стремящихся к началу изнутри В5 (расстояние от начала возрастает), и из /(х!,х2) = (0,0) следует, что Х-1 = Х2 = 0. Поэтому по теореме 1 каждое такое решение должно покидать В5 (неустойчивость), и так как нет нетривиальных решений, достигающих начало за конечное время, не существует нетривиальных решений, приближающихся к началу при достаточно малых 5.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Голечков Ю. И. О локализации предельного множества движений в неавтономной системе / Ю. И. Голечков // Вопросы устойчивости и колебаний в механике железнодорожного транспорта : сб. науч. тр. / под ред. А. А. Шестакова. М., 1981. С. 86 89.

2. Лапшина Р. Б. Об асимптотических свойствах решений неавтономной разностной системы в

случае ограниченности в среднем правой части / Р. Б. Лапшина // Применение современных математических методов к вопросам механики подвижного состава железнодорожного транспорта : сб. науч. тр. М., 1980. Вып. 109. С. 59 64.

3. Шестаков А. А. Прямой метод Ляпунова как метод локализации функциями Ляпунова предельных множеств неавтономных динамических процессов / А. А. Шестаков // Функции Ляпунова и их применение. Новосибирск, 1987.

Поступила 07.03.2012.

УДК 517.926

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ОТНОСИТЕЛЬНО ЧАСТИ ПЕРЕМЕННЫХ В. И. Никонов

Предложен подход к исследованию частичной устойчивости линейных стационарных систем относительно части переменных.

Пусть поведение объекта описывается линейной стационарной динамической системой вида:

х = А*х, (1)

где х є Яп, А* — постоянная действительная матрица размера п х п. Исследуется устойчивость системы (1) относительно заданной части координат фазового вектора х. Для определенности пусть требуется исследовать устойчивость относительно первых т координат. Таким образом, 1 < т < п. С учетом этого фазовый вектор х представим в виде:

х = (У, z )Т,

где у є Ят, г є Яр, р > 0, т + р = п, Т — знак транспонирования. Тогда система (1) принимает вид:

у = Ау + Вг,

г = Су + Dz, (2)

где А, В, С, D — матрицы соответствующих размеров.

Как известно, устойчивость системы (1) относительно всех координат фазового вектора х зависит от собственных значений матрицы А и их кратностей.

Определение 1. Многочлен ф(1) = Iі + £—1

+ У1І + • • ■ + у£ будем называть правым

(левым) минимальным аннулирующим многочленом вектор-строки (вектор-столбца) x относительно линейного оператора D, если вектор-строки (вектор-столбцы) x, xD, ..., xDs-1 (x, Dx, ..., Ds-1x) линейно независимы и выполняется условие:

xDs + g1xDs-1 + l + у sx =

= 0(Dsx + yD-1x + + у sx = 0),

которое может быть записано в виде xj(D) = 0(j(D)x = 0).

Лемма. Пусть

j1(1) = 1s1 + а^1-1 + + as1

и

j2 (l) = l2 + bil 2 + ^ + bs2 — взаимно простые левые минимальные аннулирующие многочлены векторов b1 и b2 относительно оператора D, s — степень минимального многочлена оператора D и S1 + s2 К s,

тогда векторы b1, ^D, ..., ^D 1 , b2, b2D, ...,

b2D 2 линейно независимы.

Теорема 1. Пусть s — наименьшее положительное целое число, такое, что rang(Ks-1) = = rang(Ks), тогда линейная система (2) у-устойчива тогда и только тогда, когда

© Никонов В. И., 2012