Об устойчивости линейных систем относительно части переменных Текст научной статьи по специальности «Математика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Driver R. D. Existence and Stability of a Delay - Differential System / R. D. Driver. - Arch. Rational Mech. Anal. - 1962. - Vol. 10. - P. 401-426.

2. La Salle J. P. Stability theory for Ordinary Differential Equations / J. P. La Salle // Differential Equations. - 1968. - № 4. - P. 57-65.

3. Yoshizawa T. Asymptotic behavivor of solution of a system of differential equations / T. Yoshizawa // Contrib. to Differential Equations - 1963. - № 1. - P. 317-387.

Поступила 01.11.10.

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ОТНОСИТЕЛЬНО ЧАСТИ ПЕРЕМЕННЫХ

В. И. Никонов

%

Даны условия устойчивости относительно части переменных линейных автономных систем дифференциальных уравнений, линейных дискретных систем и линейных систем с отклоняющимся аргументом.

1. Системы линейных дифференци-

альных уравнении

Пусть поведение объекта описывается системой дифференциальных уравнений вида

dx ~dt

A*x(t),

(1)

где х € , А Е ДпХп

К настоящему времени получены критерии устойчивости по заданной части координат фазового вектора линейной автономной системы вида (1) [1; 3]. Следует отметить, что этими результатами уже нельзя воспользоваться если предположить, что матрица А* системы (1) известна с определенной степенью точности, например, интервальная. Можно сказать, что эти методы чувствительны к изменениям коэффициентов матрицы системы.

В данной работе предлагается геометрический подход, позволяющий в некоторых случаях исследовать робастную устойчивость системы (1) по отношению к части переменных.

Предположим, что исследуется устойчивость по первой координате фазового вектора

х системы (1). Обозначим первую координату фазового вектора через у, а остальные компоненты составят вектор г. В связи с этим систему (1) представим в виде

dy dt

dz ~dt

ay -f bTz,

(2)

cy -j- Dz,

iti — 1

гдеу £ Я,г € Яп~\а € Я,Ъ в Дп_1,с€ Я1

В е я(п~1)х(п-:1),Т - знак операции транспонирования.

Предположим, что многочлен

<т(А) = А5 4- 71 А3-1 + • • • + 7,-1 А + 7з,

где 0 < 5 < п — 1 является минимальным аннулирующим многочленом вектора ЬТ относительно линейного оператора, заданного матрицей Б. Тогда справедливо соотношение

Ь1 Ds 4- 7ibTDs_1 4-

4- ъ~гЬ £> + ъЬ

+

(3)

0.

Следует отметить, что в этом случае век-

© В. И. Никонов, 2010

торы ЬТУЬТИ, ...,ЬТБ3 1 образуют базис инвариантного циклического подпространства в

Я"-1 [2].

Покажем, каким же образом устойчивость переменной у связана с этим подпространством.

Продифференцируем первое уравнение системы (2) по переменной £ в силу второго уравнения этой системы, получим

е1у а^+Ьтсу + ЬтПг.

сЙ2

М

(4)

Аналогично второе дифференцирование уравнения (4) дает

Тогда на 5 — 1 и 5-м шаге получаем соответственно уравнения

дХ

,73 — 1, 2Лй 13—3

* У Л У+ЪТБса

<Гу У , 7т

а-г——— 4- о с

У

(И*-1

<и*~2

(И*-3

+

Н-----ЬтИ3~2су + 6Т£>3_Ч

^У А*у , гТ _<13~1у , ,Тг,^3~2У

а

&

¿Ь

+... + ЪтВ*~хсу + 6' £>'*.

Таким образом, справедливо соотноше1ше

<1*+1у ^ в,3 у ¿у аЗу ,

+ 71-ГТ Н-----Ь-7*— =

¿ь

8-1

ль

а

8-2

+ 71 (а^+ЕЬ^с

, й-2"'

2/

¿=о

+ ...+

+ -I- Ьта/ ) 4- 7*ау+

+ (ЬтИв + 1хЪтВ8-1 + • • • + ЪЬТ) г.

Наконец, учитьюая (3), приходим к линейно му однородному дифференциальному урав

нению

(13+1У , ,<13у

+ (71 +

А

-5-1

т ~у

-Ь(72-а71-6 с)"^7-Г

(7« ~ а7«-1 - Ьтс7з_2 -

+ ••• +

(5)

аь

(а-у3 Ьтсу3-1 + ЬтИсгу3-2 Ч-----Ь

+6т^5"2С71 + Ь7 £>5_1с)г/ = 0.

Следовательно, вопрос об устойчивости системы (2) по переменной у сводится к исследованию устойчивости нулевого решения уравнения (5). Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Если б степень мипималь-

/ 11

кого аннулирующего многочлена вектора Ь относительно линейного оператора, заданного матрицей Б, то для того чтобы система (2) была у-устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы нулевое решение уравнения (5) было устойчивым.

Теорема 2. В предположениях теоремы 1 для того, чтобы система (2) была асимптотически у-устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы многочлен

Р3(Л) = Л5+1 + (71 - а) АЧ

т _ ^

+(72 - ал -Ь с) А + (7а - а7з-1-

Т тле — 1

9 Ф »

Ь С7з_2

тГ

о и С7х

Ът03-2с)\

(а'ув + &ТС73_1 +

Г)суз—2 + ••- + Ьт03~2суг + 6' £>3_1с) = 0

был устойчивым.

Следствие 1. 5 = п — 1, то си-

стема (2) приводима к дифференциальному уравнению п-го порядка относительно переменной у. В этом случае характеристическое уравнение системы (2) совпадает с характеристическим уравнением дифференциального уравнения (5), а следовательно, у-устойчивость системы (2) возможна лишь в случае устойчивости системы по всем координатам фазового вектора х.

Следствие 2. Если в = к < п — 1, то в системе (1) можно выделить подсистему к-го порядка относительно переменной у и некоторых дополнительных переменных.

Т т~\ 3 1

Серия «Физико-математические науки»

63

При этом интегрирование системы (1) сводится к последовательному интегрированию двух подсистем порядка к и п — к, соответственно.

Замечание 1. Постоянные 71, ...,7$, присутствующие в уравнении (5), можно выразить через числовые коэффициенты системы (2). Для этого достаточно умножить скаляр-но (3) справа последовательно на векторы

6, ..., (£>т)5_16 и решить полученную

систему линейных уравнений относительно

7х 5• • • >7з •

Замечание 2. Если требуется исследовать устойчивость фазового вектора системы (1) по нескольким переменным, то для этого последовательно представляем систему (1) в виде (2), где у - другая интересующая нас переменная, и используем теорему 1.

2. Системы линейных разностных уравнений

Рассмотрим линейную разностную систему вида

x(t+ 1) = A*x(t),

(6)

где х Е Яп, А - постоянная матрица соответствующих размеров. Так же будем предполагать, что исследуется на устойчивость первая координата фазового вектора х. В связи с чем представим систему (6) в виде

y(t+l) = ay(t)+bTz{t), z(t + 1) = cy{t) + Dz(t).

(7)

Пусть минимальный аннулирующий многочлен вектора Ьт имеет вид (3).

Проведем аналогичные рассуждения и в данном случае. Из первого уравнения системы (6) следует

у ^ + 2) = ау{Ь 4-1) + + 1),

откуда в силу второго уравнения этой системы имеем

+ 2) = ау{Ь + 1) + Ьтсу(Ь) 4- bтDz{t).

Таким образом, на 5-м шаге (я - степень минимального многочлена (3)) приходим к уравнению

у(Ь + 5 + 1) = ау{г 4- 5) 4- Ьт су(Ь + 5 - 1) 4-

+ ... + ЬтПв~1су(г) + ЬтОаг.

Следовательно, справедливо равенство

у& + 8 + 1)+ 71 у{г 4- а) 4----4- +ъу(* + 1) •=

= ау(г + з) 4- £ ЪтР*су{Ь + 3-3- 1)4-

+71Л + * - 1) + (8)

4-Е Ьт01су(1 + з-з-2)) + -- +

з=о

+75-1 (ау(г + 1) 4- ЬтсуЦ)) 4- 4-7,ауф4-

4(Ьт£>5 4- 71 ЬтП*-г 4- • • • 4- 7#&*>(0-

Таким образом, приходим к уравнению у{Ь 4- в 4-1) = (71 ~ о)у{Ь 4- 5)4-4-(72 - »71 )у(Ь + 5 - 1) Н-----к

+(7з - »7*-1 - Ьтсуs-2

» • *

bTDs-3cy 1 - bTDa~2c)y(t + 1)

(егу8 + 6Tc7a_i + bTD<r/s-2 Ч-----1-

(2)

+6Т^"2С71 4-6' = 0.

Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема 3. 5 степень минималь-

гр

ного аннулирующего многочлена вектора Ь относительно линейного оператора, заданного матрицей И, то для того чтобы система (6) была у-устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы нулевое решение уравнения (9) было устойчивым.

3. Системы линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом

Данный подход применим и к исследованию у-устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.

Исследуем у-устойчивость системы вида

Т ns-l

dx(t) dt

A*x(t — т),

(з)

где х Е jRn, т = const, А* - постоянная матрица соответствующих размеров. Представим систему (3) в виде

dy(t) dt

dz(t) dt

ay(t — т) 4- bTz(t — r),

(4)

cy(t - t) + Dz(t - t).

Далее, дифференцируя первое уравнение системы (11), получим

йгу{Ь) _ йу{Ь - г) .Т(1г(Ь-т)

а-:--н о —

<И2

<и

<а

откуда следует, что справедливо соотношение

(12у(Ь + т) _а<1у{1) ьТая{ь)

<И2

Л

<а

>

которое в силу второго уравнения системы (10) приводит к уравнению

<*2У« + т) _а<т+ътсу(1-т)+ътпг(г-т).

<и2

йЬ

Проведя аналогичные рассуждения к полученному уравнению, имеем

¿Зу(1 + 2т) _ _<12у{1 + г) , ,т ¿у{1)

(О2

а

(И2

+ У с

<а

+

+ Ь1 Бсу^Ь -т) + ЬтВ1 г(Ь - т).

Таким образом, на 5 — 1-м и 5-м шагах получаем, соответственно, уравнения

+ (5 - 1)т) _ Г^+ММ,

а . г-

<1Ь

А5-1

+Ъг с

тд.3-2у{Ь + {з-Ъ)т)

(И3~2

4-6т03~1су(г - т) + ЬтО"гг(Ь - г), <13+1у{1 + 8т) _ й9у{1 + '(д-1)т) ,

(2 7" |

<и

+ЬТ с-

3-1

2/(* + (д - 2)т) (И3-1

+----Ь

„(+ЬтО°су(г - т) + - т).

Если предположить, что й - степень минимального аннулирующего многочлена вектора Ьт относительно линейного оператора за-данного матрицей то приходим к уравнению

+ + (71 _ а) ^+(5-1)г)|

Л-

+ (72

а7х

Ьтс) х

х ¿'-У* + (Д - 2)т)

• « »

А'-1

+

+{7» - Л7з-1

• •

6Г^-3С71

(12)

С)

А

(а7з + Ь С7в_1 Н-----Ь

Следовательно, вопрос ^-устойчивости системы (10) сводится к исследованию устойчивости нулевого решения уравнения (12). Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 4. Если 5 степень минимального аннулирующего многочлена вектора ЬТ относительно линейного оператора, заданного матрицей И, то для того чтобы система (10) была у-устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы нулевое решение уравнения (12) было устойчивым.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК

1. Воротников В. И. Устойчивость динамических систем по отношению к части переменных / В. И. Воротников. - М. : Наука, 1991. - 288 с.

2. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. - М. : Наука, 1967. - 576 с.

3. Чудинов К. М. Критерий устойчивости по части переменных автономной системы дифференциальных уравнений / К. М. Чудинов // Изв. высш. учеб. заведений. Математика. - 2003. - К® 4 (491). - С. 67-72.

Поступила 05.10.10.

Серия «Физико-математические науки»

65