Об уровнях оператора Шредингера с возмущенным нелокальным потенциалом Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Института математики и информатики. Ижевск. 2006.1^1 (35)

УДК 517.958:530.145.6

© М.С. Сметанина

[email protected]

ОБ УРОВНЯХ ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА С ВОЗМУЩЕННЫМ НЕЛОКАЛЬНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ

Ключевые слова: уравнение Шредингера, нелокальный потенциал, собственное значение, резонанс, асимптотика.

Abstract. We investigate the one-dimensional Schrodinger operator with a potential that is a sum of a local potential and a two-rank operator. We prove that this Schrodinger operator has the unique level in the neighborhood of zero. The asimptotic behaviour of this level is investigated.

1. Введение

Рассматривается одномерное уравнение Шредингера

+ = (1.1)

с нелокальным потенциалом

V = е W(x) + А(•, Ы Pi + А2(ы (1.2)

где е, Ai,A2 — вещественные параметры, W{x) — вещественная функция, удовлетворяющая оценке вида | W(x) Ce-a|x|, где а > 0 — некоторая константа. Предполагаем, что pi(x) и ^(x) линейно независимы и для них выполнены аналогичные неравенства |<pj (x) | ^ Ce-aj |x| , aj > 0 . В дальнейшем функции, удовлетворяющие неравенству такого вида, мы будем называть экспоненциально убывающими. Потенциалы вида (1.2) возникают, например, в теории псевдопотенциала [1].

98

Введем обозначения Щ = —d/dX , Hs = Щ + Vs, H = Ho+ +е W(x) + Vs , где Vs = Ai(•, ^1) + Лг(^2) ^2 • Обозначим через R(E) = (Щ — E)— и Rs(E = (Hs — E)-1 резольвенты операторов Hq и Hs . Ядро резольвенты Rq(E), как известно, имеет вид Go(x,y,k) = —(2ik)~l егк\х~у\, где к = л/Ё (разрез выбираем вдоль полуоси [0, то)). Через ст(А) [через aess(A)] обозначается спектр [ существенный спектр ] оператора A. В дальнейшем ядра резольвент R(k) и Rs(k), вообще говоря, продолжаем по параметру k в комплексную окрестность нуля, сохраняя для соответствующих интегральных операторов те же обозначения. Зафиксируем

£q € (0, min{ j,ai,a,2 }). (1.3)

Уровнем оператора будем называть его собственное значение или резонанс; при этом под резонансом k € C будем понимать такие k с Imk € [—£о,0) (или соответствующие E = k2 ) , для которых в классе функций ф{х) таких, что |ф{х) | ^ Ces° |x|, существует ненулевое решение уравнения ф(х) = — f Go(x, y, k) Vф(y) dy .

R

Заметим, что резонансы отвечают второму (нефизическому) ли-

k у/Ё. Условие

(1.3) обеспечивает существование рассматриваемых интегралов. (Условие малости ео физически допустимо, поскольку время жизни состояний микрочастиц, пропорциональное е-1, должно быть достаточно велико.)

Vs

чай сепарабельного потенциала) исследован в работе [2]. Случай n слагаемых для е = 0 рассматривался в недавней работе [3]. В настоящей работе исследуется асимптотика уровней при малом е и фиксированных Ai и A2 •

2. Исследование уровней оператора Шредингера

В дальнейшем пишем R вместо R(E) . Ниже приведено утверждение, сформулированное, но не доказанное в [4].

99

Лемма 2.1. Предположим, что

Д= (1 + Ai(R(E)pbpi)) (l + A2 (R0(E)p2,p2) ) —

—AiA2 (R0(E)pbp2) (R(E)p2,pi) ^ 0. Тогда для резольвенты Rs(E) справедлива формула

ф(х) = Rs( E)V{x) = R{x) —

^ (R()ip,ipi) (l+\2(RolP2,lP2))+^2(RolP,lP2) (Rq¥2,¥i) ^

(l+\i(R0<pi,<pi)) (1+A2(-Ro¥>2,¥>2))-AiA2(-Ro¥>i,¥>2) (-Ro¥>2,¥>i)

(l+Ai(Jloyi,yi))+Ai(Jloy,yi) (Друьуг) „ 1,

~ 2 (l+\l(Ro<pi,<pi))(l+b2(Ro<P2,<P2))-XlX2(Ro<Pl,<P2)(Ro<P2,<pi) ^ ' '

Доказательство. Уравнение (Hs — E) ф = p представимо в виде

(H0 — Е)ф = p — Ai^,pi)pi — A2^,p2)p2 . (2.2)

RE

ствует (то есть при Е [0, то) ), получаем эквивалентное интегральное уравнение

ф(х) = R0(E) p — Ai (ф, pi)R(E) pi — A2 (Ф, i) R(E) i - (2-3)

Заметим, что в (2.3)

ф(х) = p( х) — Cpi (х) — C2p2 (х), (2-4)

где Ci = (ф, pi), pi = Ai R0(E) i = Ro(E) i • Найдем неизвестные C и C • Подставляя выражение (2.4) для ф(х) в (2.3), получаем линейную систему

C = (p,pi) — Ci(pi,pi) — C2(p2,pi)

C p, p — C p , p — C p , p

.

следовательно, C¿ = , где

д

1 х L ÍS

1 + A2(R(E)p2,pi)

1 + A2 (Ro(E)p2,p2)

100

ЛхЫ =

Д2Ы =

А2(Яо(£)<£2><£1)

1 + А2(Я0(£)^2,Ы

Ах

Лемма доказана.

Введем обозначения bj = ^^ = 1,2,

^ = ^ ¡№(х)с1х, (2.6)

к 4 ;

аи = Ш I

к2

+ ( I / I \х ~ \pTpl (1х(1у+

к к2

+ / \fWipipidxdy ¡\х-у\(р2Щйхйу-

к2 к2

— § ^р^\(1х(1у f \х — у\\^(рЩ (1х(1у —

к к2

-/ лД¥(рЩ(1х<1у f \х-y\lp2Шdxdy)], (2 7)

к к2

= Тг1~ I ^^<1хйу+

В2

+ 4г ( | /(рг (1х\2 [ \х — у\\/\¥^рТр2 (1хс1у+

к к2

+ / л/\¥(рЩ(1х(1у J \х — y\|flЩdxdy—

ж2 к2

— / Lp\Щ(lxdy / \х — у\л/Ш<рЩ(1х(1у—

к к2

-/ ^УW(pЩdxdy / \х - у\tplЩdxdy) ], /28)

к к2 х ' '

С1 = I / Г - # I /^^2 dx |2+

101

/ \x-y\<piVw<pïVWdxdy

J \x-y\^2VW^VWdxdy \fVW<Pidx\-

-^Ж1 J \x-y\ip2VWTpïVWdxdy J ipiVWTpïVWdxdy-

-^IT J \x-y\<piVWip5VWdxdy f ipzVWipïVWdxdy.

R R

(2.9)

Теорема 2.1. Пусть А ф 0. Для всех достаточно малых е существует единственный уровень оператора H в окрестности нуля, для которого справедлива формула

k = £ {di +-—-) + 0(е2).

Доказательство. Существование уровня опе-H

тегрального уравнения:

ф(х) = -eR Ш(х)ф(х) +

(1+Ai (R()ipi ,</pi))(1+A2 (До ¥>2 ^г))-AI A2(-RO</PI ,¥2)(,Rq¥2,¥I)

(l+Ai(ii:o^b¥'i))(l+A2(i?o¥'2,¥'2))-AiA2(-Ro¥,b¥'2)(-Ro¥'2,¥'i) Умножим (2.10) на \/W(x) и перейдем к функциям ip(x) =

= \JW(x)ip(x) и <fii(x) = \JW(x)Lpi(x), тогда уравнение (2.10) примет вид

Ф) = -£vmïïMmvmy)v(y)+

+A 2e^M ^W{x)Rq (E) (У) • (2.11)

102

Справедливы равенства

у/ЩдЫЕ)у/Щу)<р(у) = +

= у/Ш) + К]_(к)<р, (2.12)

где К (к) и К (к) — операторы, аналитически зависящие от к в окрестности нуля (подробное доказательство см. в [1]). Выражение (2.11) с учетом (2.12) примет вид

ф) = - еК(к)<р +

+Х1£ (-#(¥> 1, \/Й0 + Ык)^ ) + +л2£ ^М у/Ш) + Кг(к)<р2 ). (2.13)

Операторнозначная функция

Ь(к) = Хг^К^фг + \2^К1(к)<р2 - К (к) (2.14)

является аналитической после умножения числителя и знаменателя на к2 . Введем новую неизвестную функцию В (ж) = = (1—еЬ(к))^(х) . При условии | е | < 1/||Ь(к) || существует обратный оператор (1 — еЬ{к))-1 . Используя (2.14), запишем уравнение (2.13) в виде

-ш <2-15>

Из этого уравнения видно, что ©(ж) = Су/\¥{х), где С — не-

к

х

к = §(( 1 - еЬ(к))~1у/Ш,

, Д 1((1-еЬ(к))-1в .- > Д 2((1-еЬ(к))-1в ,-

юз

Разложив оператор (1 — eL(k)) 1 по степей ям е, получим

k = iiiVW,Vw)-^ VW)-

"iff ^^(^VWj + Oie2), (2.16)

Для раскрытия неопределенностей вида в правой части (2.16) представим функцию Go(x,y,k) в виде

Go(x, У,к) = -& = -Ы _ + 0(к).

В дальнейшем используем обозначения (2.6)-(2.9). Имеем k2A = = kci + O(k2), k2Ai(p) = kau + O(k2) , = kai2 + Ok2) •

В итоге уравнение (2.16) принимает вид

Лie(au+O(fc))bl \2e{a12+O{k))b2 2\

fc = gdl+ 2г(с1 +0(fc)) + 2г(с1 +0(fc)) + °<£ )'

Положим А = d\+ Xiailb^+X2ai2b2 ^ ТОГда А; = Ае + О(е) + еО(к).

Таким образом, если F(k) = A+O(e), то k = Ae+O(e2) = eF(k). Существование и единственность решения этого уравнения в окрестности нуля вытекает из принципа сжимающих отображений, так как в силу малости е отображение eF(k) переводит круг S = {| k в себя, а вследствие аналитичности F(k) в

круге S имеем | eF'(k) q < 1. Таким образом, к отображению Fk

Список литературы

1. Хейне В., Коэн М., Уэйр Д. Теория псевдопотенциала. М.: Мир, 1973. 560 с.

2. Сметанина М. С. Об уравнении Шредингера с нелокальным потенциалом // Известия Ин-та матем. и информ. УдГУ. Ижевск, 2002. Вып. 3 (26). С. 99-114.

3. Сметанина М. С. Асимптотика уровней одномерного оператора Шредингера с нелокальным потенциалом // Известия Ин-та матем. и информ. УдГУ. Ижевск, 2005. Вып. 1 (31). С. 99-106.

4. Альбеверио С., Гестези Ф., Хеэг-Крон Р., Хольден X. Решаемые модели в квантовой механике. М.: Мир, 1991. 568 с.

104