Асимптотика уровней одномерного оператора Шредингера с нелокальным потенциалом Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958:530.145.6

© М.С. Сметанина

[email protected]

АСИМПТОТИКА УРОВНЕЙ ОДНОМЕРНОГО ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА С НЕЛОКАЛЬНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ

Ключевые слова: уравнение Шредингера, нелокальный потенциал, собственное значение, резонанс, асимптотика

Abstract. We investigate the one-dimensional Schrödinger operator with the potential that is the sum of n separable potentials. There are n levels (eigenvalues or resonances) of this Schrödinger operator. We study the asymptotic behaviour of levels in the case n=2.

1. Введение

Рассматривается одномерное уравнение Шредингера

-d^/dx2 + Уф = Еф, (1.1)

где потенциал У представляет собой оператор конечного ранга:

П

v=EAi( •,<#) щ. (1.2)

i=l

Здесь Ai € R - параметры, ipi - линейно независимые и экспоненциально убывающие функции: | <^i(x) |^ Cie-ai|x|, где Ci, ai = const, причем ai >0 (i = 1,2,..., n). Потенциалы У такого вида часто используются в физике (см., например, [1]).

Пусть И = —d2/dx2 - оператор Шредингера для свободной частицы. Обозначим через R(E) = (И—Е)-1, R(E) = (И—Е)-1

резольвенты операторов Но и Н . Положим к = \[Ё (разрез выбираем вдоль полуоси [0, + то) ). Как известно, ядро Ео(Е) имеет вид С(х,у,к) = —2гк)—егк|х-у| . Спектр оператора А обозначим через а(А) . Если ф(х) ■ ф(х) € Ь1 (М), то через (ф, ф) будет

обозначаться интеграл / ф(х)(р(х)с1х.

к

В работе доказывается существование уровней (т.е. собственных значений или резонансов; см. определение ниже) оператора Н для малых V. В случае п = 2 получена асимптотика этих уровней (случай п = 1 изучался в работе [2]).

2. Исследование уровней в случае п=2

Уравнение Шредингера (1.1) согласно (1.2) имеет вид

П

Нф = -(12ф!(1х2 + Е АДф, фг) фг = Еф. (2.1)

г=1

Для Е € [0,+ТО и ф € Ь2(М) имеем эквивалентное интегральное уравнение

П

ф = - Е АД ф, фг) Щ{Е)фг. (2.2)

г

Для исследования резонансов уравнение (2.2) будет также рассматриваться на втором листе римановой поверхности функции к = у/Ё, Е

С(х,у,Е) (т.е. С(х,у,к) с к = у/Ё). Соответствующие реше-

фх

для того чтобы включить их в рассмотрение, рассмотрим класс

фх

ф ■ фг € Ь1 (М), ¿ = 1,2,..., п. (2.3)

Будем говорить, что к € С (или соответствующее Е = к2 ) явля-

Н

ние ф(х) уравнения (2.2) в классе функций (2.3). Пусть ф(х)

- вещественно-аналитическая функция, определенная в окрестности нуля такая, что ф(0) = 0 . Предполагаем, что Аг = ф(еа1), ог >0, г = 1,2,...,п, где е достаточно мало. Тогда, разлагая ф{х) в ряд Тейлора, получаем Аг = Аге°1 + о(еа*), где Аг = сог^ ф 0, ог > 0, г = 1,2,...,п. Для простоты выкладок всюду в последующих доказательствах полагаем

Аг = Агеа1, ¿ = 1,2, ...,п, (2.4)

хотя все рассуждения справедливы в общем случае.

В силу экспоненциального убывания функций фг{х) функции

Ьц(к) = / егк1х~у1(рг(х)^(у)с1хс1у

к2

- аналитические в некоторой комплексной окрестности нуля.

Теорема 2.1. Предположим, что в случае стх = о выполнено условие

(#Ьц(0) - #МО))2 - АгА2 I МО) |2 ф 0, (2-5)

а в случае о > О - условие

МО) Ф 0. (2.6)

е

Н

тика: в случае о = О

кг,2 = £а ( ^Ьц(0) + ^Ь22(0)±

±\!(#М°) - #&22(0))2 - АгА2 I МО) |2 ) + 0(е2П, а в случае о > О

*1,2 = ± !) + о(ет“{"ь2^}).

Доказательство. Из уравнения (2.2) видно, что ф = С\ф\ + С2ф2 , где Ci = const, фг = — АгЩ(Е)фг, i =

,

фф

—d/dX — E из В1Ф1 + В2Ф2 = 0 вытекает, что В1Ф1 + Б2ф2 = 0, откуда B B = 0 , так как ф и ф2 линейно независимые функции), получаем линейную однородную систему уравнений СС

| С = —AiCi(R(E)<^, фг) — \2С2{Щ{Е)ф2,ф1) ^

I С2 = —^C(R(E^| ф) — А2С2^о(Е)ф2, Ф2)

Система (2.7) имеет ненулевое решение в том и только в том случае, если

E

1 + Ai(ro(e)<£i, фг) А2^о(Е)ф2, фг)

^№(ЕФ)Ы 1 + ^(^(ЕФ,ф2)

= о.

Н

лентно существованию ненулевых решений следующего уравнения (переходим для удобства к величине к = \[Ё):

1 + *&Ъп(к) + г-^Ъ22(к) - ^Ьи(к)Ь22(к) + ^Ъ12(к)Ъ21(к) = 0.

Обозначая

А(к) = ^Ьп(к) + ^Ь22(к), В(к) = ^(Ь12(к)Ь21(к)-Ьп(к)Ь22(к)), получаем уравнение

к2 - А{к)к + Б(к) = 0. (2.8)

Уравнение (2.8) можно переписать в виде двух уравнений

А(к)±у/АЦк)-4В(к)

К ~ 2

ИЛИ

к = П )2( к), (2.9)

„ A(k)±JA*(k)-4B(k) лт ft>

где гi,2{к) =------у—2---------• Уравнения (2.9) являются урав-

нениями на неподвижную точку. Будем их решать с помощью принципа сжимающих отображений, рассматривая в качестве метрического пространства замкнутый круг S = {| к |^ 5} комплексной плоскости, где 5 > 0 настолько мало, что функции bij(к) аналитичны в несколько большем круге.

Докажем, что при достаточно малых е функция F,2(к) пе-S

^1,2 = | (^bn(k) + ^1ь22(к)±

Ч( - Л2£1Ь22(к))2 - AiA2£^bi2(k)b2l(k) ).

(2.10)

В случае о = 02 = о выражение (2.10) принимает вид Fi,2(k) = £i{^bn(k) + ^b22(k)±

±\/ ( &22Й))2 - AiA2bi2(k)b2l(k) ).

Для всех к € S имеем | F,2(к) 1^ С | еа |^ 5 (при достаточно еС ние. В случае о > О получаем

Fi,2(k) = ^ ( AieZ°'2bn(k) + f b22(k)± ±\!iA^P1bii(k) - ^b22(k)f - AiA2£^bi2(k)b2l(k) ),

откуда | F,2 (к) |^ С | еа'2 |^ 5 для к € S и малых е, что и требовалось.

Условие сжимаемости отображений F,2(к) выполнено, если существуют производные F 2 (к) и в круге S справедлива оценка | F{,2 (к) |^ q < 1.

е

одному условию

(^Ьц(О) - О))2 - А1А2£^Ь12(ЩЬ21(Щ =

= А2(0)-4Б(0) фО,

из которого следует дифференцируемость корня л/А2(к) —4В(к) в окрестности нуля и, таким образом, существование производных F 2(k) вблизи нуля. Очевидно, для k € S в случае о\ = = о2 = о имеем | F[2(k) |^ C | еа |^ q < 1, а в случае oi > о2 справедливо | F[ 2(k |^ C | |^ q < 1 (подробную оценку см.

в [2]). Таким образом, принцип сжимающих отображений приме-

F k F k

F k F k неподвижной точке.

Для нахождения асимптотики уровней рассмотрим, как и выше, два случая. Пусть сначала о = о2 = о. За нулевое прибли-

k

Первым приближением является

к1 = E1;2(k°) = F1;2( 0) = f (#М 0) + f 622(0)±

V(#М°) “ #622(0))2 - УМ2 | 612(0) |2 ) = 0(ест).

В силу известной формулы для погрешности справедливо

k = kl + O(q) | kl — k0 1 = kl + O( ,

что и доказывает утверждение в случае ог = о2 ■

Когда о > о2 , первое приближение имеет вид

k1 = E1;2(k°) = F,2(0) = ^b22(0)±^b22(0)+0(e^) = 0(ea>).

Как и выше, k = k1 + I k1 — k0 1 = k1 + O(£2CT) ■

3. Исследование уровней в общем случае

Аналогично предыдущему разделу будем рассматривать уравнение (2.2) с продолженной по к = \[Ё на второй лист римановой поверхности функцией С{х,у,к) . Здесь и далее считаем, что выполнено условие (2.4), причем 01 > 0 - целое число.

Теорема 3.1. Существует, ровно п уровней оператора Шредингера Н, которые представляют, собой аналитические функции от аргумента е в окрест,пост,и нуля, за исключением, возможно, конечного числа точек, в которых уровни сливаются. Вблизи пуля эти функции раскладываются в сходящиеся ряды Пюизо.

Доказательство. Согласно (2.2) имеем ф = С1ф1 + С2Ф2 + ■ ■ ■ + Спфп)

где С = со!^, фi = —А^о(Е)ф^, г = 1,2, ■■■ ,п. Подставляя это выражение в (2.2) и пользуясь линейной независимостью функций ф\, ■ ■ ■ ,фи (доказательство проводится как и в случае п

носительно С\, ■ ■ ■ ,Си:

и

Е С {6' + АД Ro(E)фi, <ф-)) = 0, = !,■■■ ,п,

i=l

где 6^ - символ Кронекера. Эта система имеет ненулевое решение в том и только в том случае, если

Д(Е) = (6' + АД ЫЕЫ, <ф')) = ^

Перейдя к к = \[Ё и умножая каждую строчку данного определителя па 2гк , получим равенство

Р(к,е) =

2гк — А1Ьц(к) ■ ■■ —АиЬи1 (к)

—А1&12(к) ■■■ -АиЪп2 (к)

— А1Ъ1п( к) ■ ■ ■ 2гк — Ап Ъпп(к)

■■

В силу (2.4) уравнение (3.1) имеет вид

п

Р(к,е) = (2гк)п — Е а,'(к,е)(2гк)п-' = 0, (3^2)

'

а' к, е ,

а' к, Р к, е

окрестности нуля, причем Р(0,0) = 0, но Р(к,0) = (2гк)п ф 0. Следовательно, к уравнению (3.2) применима подготовительная теорема Вейерштрасса [3, гл. 2], из которой следует, что уравне-п к к' е

2 = 1, ■ ■ ■ ,п, являющихся уровнями, которые, согласно теореме Пюизо [4, теорема XII.2], раскладываются в ряды Пюизо. Кроме

к' е

их слияния, которые удовлетворяют уравнению /(е) = 0, где / ф 0 - некоторая аналитическая функция в окрестности нуля. По теореме единственности в окрестности нуля может быть лишь конечное число пулей функции / .

Список литературы

1. Демков Ю. Н., Островский В.Н. Метод потенциалов нулевого радиуса в атомной физике. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1975. 240 с.

2. Сметанина М.С. Об уравнении Шредингера с нелокальным потенциалом // Известия Ин-та матем. и информ. УдГУ. Ижевск, 2002. N3(26). С. 99-114.

3. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Ч. 2. Функции нескольких переменных. М.: Наука, 1976. 400 с.

4. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.4. Анализ операторов. М.: Мир, 1982. 432 с.

Аннотация.

Исследуется одномерный оператор Шредингера с потенциалом, представляющим собой сумму п сепарабельных потенциалов. Доказано сущетвование п уровней (собственных значений или резонансов) такого оператора Шредингера. Изучается асимптотика уровней в случае п=2.