Об уравнении Шредингера с нелокальным потенциалом Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958:530.145.6

© М. С. Сметанина

[email protected]

ОБ УРАВНЕНИИ ШРЕДИНГЕРА С НЕЛОКАЛЬНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ

Ключевые слова: уравнение Шредингера, нелокальный потенциал, собственное значение, резонанс, асимптотика

{ { 1 : ,

Abstract. We consider the Schrodinger operator of the. form H = —d2/dx2 + V acting in L2(R) where V = еИ/(з?) + Л(-, фо)фо is non-local potential. It is proved, that the unique level (i. e. eigenvalue or resonance of the operator H ) exists for V = A(-,0o)0o for all sufficiently small A. We investigate the asymptotic behaviour of level for a small Л. We prove that there are no levels for V = eW(x) + Х(-,фо)фо for аД sufficiently small e, if А ф 0.

Введение

Рассматривается одномерное уравнение Шредингера

-d^/dx2 + = Еф (1.1)

с нелокальным потенциалом

V = sW(x) + А(-, фо)фо, ' (1.2)

' IV ,/ ЧГ У] ■ V . ’ • • 1 ‘ •

где W(x) — вещественная функция («локальный потенциал»), удовлетворяющая оценке вида |И^(х)| ^ Се~аIх!, где С — некоторая константа, а > 0, а фо(х) — некоторая функция, для которой выполнено аналогичное неравенство |</>о(я)| ^ Се~а\х\,

+оо

а > 0, причем J фо(х) dx ф 0. Как известно, решения уравне-

— оо

ния Шредингера (1.1) описывают состояния электрона с заданной энергией Е.

Одномерный оператор У$ — \{-,Фо)Фо в физической литературе называется сепарабельным потенциалом [1], а потенциалы вида (1-2) используются физиками, например, в теории псевдопотенциала [2]. Физически интересными являются решения уравнения (1.1) не только класса Ь2(Ш), описывающие так называемые локализованные состояния, соответствующие собственным значениям Е Е Ы, но и экспоненциально возрастающие решения, отвечающие квазистационарным (распадающимся) состояниям, соответствующим «резонансам», которые определены ниже.

Положим Но = — с£2/оЬ2, тогда Я = Но+е]У(х)-\-У3. Обозначим через Ло{Е) = (Н0 - Е)~1 резольвенту оператора Я0. Как известно, ядро Д0(Я) имеет вид б'(Х) у, к) — -{21к)~1егк\х~у\, где к = \[Ё (разрез выбираем вдоль полуоси [0, оо)). Будем говорить, что к 6 С (или соответствующее Е — к2) является резонансом оператора Я, если существует решение интегрального уравнения

ф(х) = -1/2гк [ 0{х,у)к)Уф(у)(1у,

Jк

удовлетворяющее неравенствам

С1ехтр(Р\х\) ^ \Ф{х)\^ С2ехр(7|ж|), Сх,С2 > 0, 0 </3 ^ 7 < а

(ср. [3]). Заметим, что резонансы отвечают к с 1т к < 0 или второму листу римановой поверхности для функции л/Ё. Заметим также, что данное определение эквивалентно для локальных потенциалов обычному определению резонанса [3] как полюса резольвенты Я{Е) = (Я - -Е1)-1; это следует из леммы 1 [4] и аналитической теоремы Фредгольма [5].

Уровнем оператора Я в дальнейшем будем называть его собственное значение или резонанс. Спектр оператора А обозначим через о (А). Для А = 0 и малых е уравнение (1.1) исследовалось Б.Саймоном [6], а для малого оператора специального вида в качестве потенциала — в недавней работе [7] (см. ниже замечание после теоремы 2). В обеих работах изучалось поведение только собственных значений.

В настоящей работе исследуется поведение уровней при малых £ ИЛИ Л.

1. Исследование уровней в случае V = А(-,</>о)0о

В данном разделе рассматривается случай £ = 0 и малого А £ II. Уравнение Шредингера

Нф = — в?/<1х2 + А(ф, фо)фо = Еф

запишем в виде (Но — Е)ф = — \(ф,фо)фо. Как известно, а (Но) = [0,оо). Для Е £ [0,оо) получим, применяя к обеим частям равенства оператор Н0(Е), эквивалентное интегральное уравнение (для ф £ Ь2(К))

Ф(х) = (\f2ik) [ егк\х~у\ф)фо)фо(у)(1у, (1.3)

./а

которое затем продолжаем по Е = к2 также на второй лист. Заметим, что Е = к2 является уровнем в том и только в том случае, если существует ненулевое решение уравнения (1.3).

Лемма 1.1. Пусть \к\ ^ 8 < а. Величина Е = к2 ф О является уровнем оператора Н тогда и только тогда, когда к является решением алгебраического уравнения

к — (А/2г) [ егк\х~у\фо(у)фо(х)(1хс1у. (1.4)

Доказательство. Умножим (1.3) справа на фо(х) и возьмем интеграл по переменной х от обеих частей уравнения:

(Ф,Фо) = 1к2 егк\х^Фо(у)Фо(х)(1х(1у.

(Выражение (ф,фо) в случае, если ф £ Ь2(К), понимаем как |н ф(х)фо(х)с1х.) Сократив полученное выражение на (ф, ф0) / О

(если (ф,фо) = 0, то из (1.3) следует, что ф(х) = 0 — решение, которое иас не устраивает), получим

1 = гтг \ егк\х~у\фо(у)фо[х)Ах6,у,

2гк Уаг

: ’ * л ■

что совпадает с (1.4).

Функция

Р[к) = (Л/2г) [ егк\х~у\фо(у)фо(х)с1х(1у ./л2

в круге \к\ < 8, где 8 < а — произвольное, является аналитической, поскольку при дифференцировании по параметру к возникает абсолютно сходящийся интеграл (см. оценку ниже в доказательстве теоремы 1.1).

Теорема 1.1 (ср. [6], раздел XIII, п. 17). Пусть 8 < а. Тогда для всех достаточно малых А в круге {|&| <5} существу-

ет единственный уровень Е = к2, причем справедлива формула

к = (А/2г)| [ фо(х)с1х\2-\-JR

+ (А2/4г) [ \х - y\фo(y)фo(x)dxdy\ [ фo(x)dx\2 + о(А2). (1.5)

Доказательство. Уравнение (1.4) является ура.-внением вида к = Р(к), т. е. уравнением на неподвижную точку. Будем его решать с помощью принципа сжимающих отображений, рассматривая в качестве метрического пространства замкнутый круг \к\ ^ 6 в комплексной плоскости.

Докажем, что при достаточно малых А функция Е(к) переводит круг \к\ ^ 8 в себя. Имеем

|^(*0| ^ (А/2) [ еММ^\ф0(у)\\фоШхс1у $

Л12

к

«С (АС/2)( [ е^е-^йх)2 <С АС/[а - 5)2 < <5.

./я

Условие сжимаемости отображения выполнено, если существует производная Р'{к) и в круге |/г| ^ <5 справедлива оценка

|*Ч*)| «С д < 1. (1.6)

Существование производной вытекает из абсолютной сходимости интеграла, полученного при формальном дифференцировании по параметру к функции Р(к). Оценив Р'(к), мы получим оценку и для </. Имеем

\Р'{к) \ = |(Л/2г) [ г\х - у|ег^ж_^о(у)</>о(я)с^сгу| ^

^ (|А|/2)( [ е|/с||х| ■ е^||у||х</>о(у)</>оМ1^у+

3 К2

+ [ - е\к\\х\\уфо(у)фо(х)\с1х(1у) ^

Jк 2

^ |(Л/2г)( [ Се(5~а№\х\<1х \ СеУ~а)Щу+

Зъ JR

+ [ Се(*-а№\у\<1х [ Се^-а^Лу) ^

7 и. У л

^ 4|Л|С2/(а - £)3 = </ < 1 (1.7)

для достаточно малых Л. Из принципа сжимающих отображений следует, что отображение Р{к) имеет одну и только одну неподвижную точку. Для отыскания приближенного решения к — /^(/с) применяем формулу для последовательных приближений кп : кп — FnA;o■ Данную формулу используем для п = 2, а в качестве нулевого приближения берем ко = 0. Имеем

кх = Р(к0) = (А/2г) [ фо(у)фо(х)<1х(1у.

.т2

к2 = (Х/2г) [ егк1 \х~у\фо(у)фо(х)с1х(1у.

./я2

Разложив экспоненту по формуле Тейлора в окрестности нуля, получим для некоторого в € [0, &1] С {\к\ <С 5} равенство

к2 = (Л/2г) X

X [ (1 + гкх\х -у\ + ~(ж - у)2егв\х~у\)фо(у)фо(х)(1х(1у =

./я2 2

= (А/2г) / фо(у)фо(х)йх<1у+(\г/4ъ) \х - у\ф0{у)ф0{х)с1хс1ух

JR2 ./я2

X / фо(у)фо(х)<1х(1уо(\2) =

./я2

- (А/2г)| / <£0(я)сЬ|2 + (Л/4г) / |ж - у|<£0(у)<£0(я)сМу • X У Я Л12

х| [ фо(х)(1х\2 + о(А2)

7я

(интеграл

(А/2г) [ ~р-(® - у)2ег0\х~у\фо(у)фо(х)(1х(1у

3 Я2 2

оцениваем, пользуясь неравенством |Агх| ^ 2С2|А|/сг2 и рассуждениями, примененными при оценке интеграла в предыдущих выкладках, так что к\ = О (А)).

Погрешность для А?2 находим по известной общей формуле

бг2

для погрешности \к2 — к*\ ^ --------1/сх|, где к* —точное решение.

Имеем, используя (1.7),

= </2(1 + 0(9)) = А2-^6^ + о(А2).

Таким образом,

,,, - 2|А|С\>2 16С4 , „2,,

lfc2 - * I < -^(А + °(А )) =

= I'M3 2+ °(а3) = °(л2)-

1 1 а2(а - S)6 v '

Отсюда

к* = (Л/2г)| [ cf>o{x)dx\2 + (А2/4г) [ \х - х

JR .7R2

х| / 0о(ж)^ж|2 + о(А2).

Jr.

Следствие 1.1. Имеет место формула

Е= — А2/4| J 4>Q(x)dx\4 + о(А2).

R

Теорема 1.2. Б условиях теоремы 1, если А < О, то Е — к2 является собственным значением, а если А > 0, то резонансом.

Доказательство. Из интегрального уравнения (1.3) нетрудно усмотреть, что поведение функции ф(х) полностью определяется интегралом I(x) = JR etk\x~y\<f>0(y)dy. Докажем, что в случае Im к < 0 и \к\ < 5 < а интеграл 1{х) экспоненциально убывает, а случае Im к > 0 экспоненциально возрастает. Имеем для х 4-со

l(x)=j е^-^фо (y)dy+ f е-^х~у)фо(1l)dy =

J{y^.x} J{y>x}

^ikx

/00 roo

e-ik40{y)dy - eik* / e-ik»<t>o(y)dy+

-CO J X

roo

+e-ik* / eik4o(y)dy. (1.8)

оо гоо

е~ікуФо(у)<іу\ ^ С’е-1шк х / е]тк-уе~ау<1у =

= Се~^тк'х/(а - 1т к)е<-1тк-а'>х = С\е~ах.

Аналогично оценивается и последнее слагаемое в (1.8). Итак, экспоненциальное убывание (возрастание) 1{х) определяется выражением вида Сегкх, т.е. знаком 1т к. В свою очередь знак 1тк, в силу равенства (1.5), определяется знаком Л. Аналогично рассматривается случай х -> —оо.

Замечание 1.1. В недавней работе [7] рассматривается одномерный оператор Шредингера с оператором достаточно общего вида в качестве потенциала. В случае фо с компактным носителем и вещественного Е асимптотическая формула (1.5) вытекает из результатов [7]. Однако автор данной работы не исследует резонансы и асимптотику решений уравнения Шредингера.

2. Исследование уровней в случае еУУ(х) 4- Л(-, Фо)Фо Теперь рассмотрим уравнение Шредингера вида

-сРф/д^х2 + е\¥(х)ф 4- А(ф, фо)фо — Еф,

где А е И — фиксированное число, £ 6 И — малый параметр. Перешишем данное уравнение в виде

Заметим, что при прибавлении к самосопряженному оператору компактного самосопряженного (в частности, конечномерного) оператора , существенный спектр не меняется [6]. Таким образом, спектр оператора Но 4- У3 представляет собой объединение [0, 4-00) и собственных значений конечной кратности.

(Но + У3)ф-Еф=.-є\Кф.

(2.1)

Обозначим через Я3(Е) = ((Но + — Е)~1 резольвенту опе-

ратора Но + У$. В данном разделе видоизменен подход к изучению резонансов: используем вместо интегрального уравнения с ядром оператора Яо(Е) интегральное уравнение с ядром Я3(Е), что, как нетрудно показать, эквивалентно. Применяя оператор Н3{Е) в точках Е из резольвентного множества к обеим частям (2.1), получим эквивалентное для ф Є Ь2(К) равенство

Найдем выражение для резольвенты 113(Е). (Формула для резольвенты без доказательства приведена в [3, прил. В], однако даем ее вывод, чтобы показать его применимость также для оператора Я5(Е), полученного продолжением по Е резольвенты па второй лист.) Для заданной правой части ф £ £2(Л| решим уравнение (Но — Е)ф = ф — А(ф, Фо)Фо- Применяя к обеим частям равенства оператор Яо{Е), который существует в тех точках, в которых существует Яз(Е)} получим

ф(х) = -єЯ8{Е)УУ{х)ф.

(2.2)

ф(х) = 11о(Е)ф - А(ф, ф0)Н0(Е)ф0. (2.3)

Умножая данное равенство скалярно на ф0, получаем {ф,фа) = (До(Е)ф,фо) - \(ф,фо)(Яо(Е)фо,Фа),

откуда

Подставляя полученное выражение в (2.3), находим

Яо(Е)фо.

Уравнение (2.2) примет вид:

ф(х) = -єЯ0{Е)\¥ф +

По определению существование уровня эквивалентно существованию нулевого решения данного интегрального уравнения (Е — к2 рассматриваем в том числе и на втором листе).

Перейдем в уравнении (2.4) от функции ф к новой неизвестной функции ф(х) = (х)ф(х) (ср; [8]), а в качестве функции

фо аналогично будем использовать функцию вида л/\Уфо. После этого уравнение, определяющее уровни оператора II, запишется в виде:

Ф(х) = -еУЇЇН0(Є)УШф +.......Фо) х

\(^Н0(к2)у/ЇУф0< Фо) + 1

хуДУ Ііо(к2)\/Ї¥фо, (2.5)

где к Є С.

Теорема 2.1. Пусть А ф 0, тогда для (к, є) из некоторой окрестности точки (0,0) Є С х И оператор IIо+єЖ-Ь Х(',фо)фо уровней не имеет.

Доказательство. Пусть \к\ < 8. Для ядра

----- рік\х—у\ __

оператора \/ЇУІ10(Е)уЛ¥ф справедлива оценка

с ік\х___у |

^ (1/21*1) [ Се-^-25^іх [ Се-^-^^у < +00 лі Уя

для достаточно малых 5. Следовательно, для данных <5 оператор л/ЖД0(£)\/Ж<?> является компактным. Преобразуем выражение

у/ЇЇІІо(Е)у/ЇЇф = -^ЇЇ І в'-*-У] ~ 1уДУф{у)(1у-

Уы 2 гк

-(^Ш/2Ис) I у/Щу)ФШу- (2-6)

.Ун

Обозначим

л/ШжТ С е'к\х-у\ - 1 ______

К(к)ф=------—— ------ -----у/УУ(у)ф(у)(1у\

К (к) является аналитической функцией со значениями в пространстве операторов, действующих в Ь2(К) (при к ф 0 аналитичность вытекает из аналитичности куДУК0{к2)лД¥ — см. ниже; а особенность в нуле устранима).

Докажем теперь аналитичность операторнозначной функции к\/\УНо(к2)л/УУ для достаточно малых 6. Для этого достаточно доказать, что ядро оператора аналитически зависит от к как £2(К2)-значная функция или что имеет место сходимость н Ь2(К2) :

^Щ^ег(к+Ак)\х-у\ ^цг(у) ~ у/Щх)е1к\х~У\уГЩу)

—

-у/шЩу/¥Щ(Цх - у\ук\*-у\ о,

г. е. существует производная.

Воспользуемся теоремой Лебега о предельном переходе. Проворим ограниченность подынтегральной функции некоторой суммируемой функцией. Оценим

С Д 1с | у —- 'у | -1

I \1У(х)1У(у)е*к^\• I--^- - Цх - у\\Чх<1у ^

/* 2 /\ 102 — у | -I

^ / \УУ(х)]У(у)\е25^х^у^\-------г\х-у\^х,Лу.

2 Д/с

Рассмотрим отдельно

АЬк\х-у\ _ 1 г

I----XI-------*1* ~ УII ^ 11/А^’ / Ах - у\ • ег^х~у^г|+

А/е J[OAk]

+1* - у\ < + М + Ы <

< (1 + 1*1 + |у|)е^1*1+1»1) ^ Се^М+М,

где [О, ДЬ] — отрезок в С и 8\ > 8 произвольно.

Отсюда

/ №(х№{у)\е25Цх1+^С2е251№+^(1хс1у < +ОС

.т2

для достаточно малых 5,51.

Осталось проверить поточечную сходимость

у/[УЩе^к+Ак)\х~у\-^^) - ^{х)е^х-У\у/]У(у)

_

~^(х)л/Щу){\х - у\е^х~у\ -* О

при Ак —» 0.

По теореме Лагранжа

лАк\х-у\

——--Цх - у\ = г\х - у\ег |а; 3/1 - г\х - у|,

где 9 некоторая точка из отрезка [0, ДА:] на комплексной плоскости. Если Ак —> 0, то очевидно, что 0-4 0. Получаем

Пт у/\¥{х)у/\У(у)е{к\х~уи\х - у\{е^х~у1 - 1) = 0.

а-ю

Таким образом, доказана аналитическая зависимость операторов

ку/ШВ.0[к2)у/Ш от к.

Рассмотрим теперь оператор К(к) в круге {\к\ < 5}. Его ядро имеет вид:

,егк\х-у\ _ ^

у/Ш^кСДх у к) у/уЩ - у^ШЩкв(х^ у к) и=0) уЛЩ

к

Из этого представления видно, что К (к) — операторы, аналитически зависящие от к, поскольку аналитичность ку/УУО(х,у,к)л/\У доказана выше.

Вернемся к выражению (2.6), его можно представить в виде:

2)^Шф=-~(ф,7Ш) + К(к)ф. (2.7)

Аналогично имеем

у/ШЕ0(к2)7№ф=-^-(ф,^/№) +К1(к)ф, (2.8)

где

у/ш Г е1к\х-у\ _ 1 ——

К\{к)ф = -~^г- ^---л/\¥ф(у)(1у.

Равенство (2.5) примет вид:

( х г ~/Ш\ т/п\л I Хе('/№Ко(к2)л/УУф) фо)

Пж) = ^) -еК(к)ф+------—------=е-----------х

2гк \{л/УУК0(к2)^ф0, ф0) + 1

х(-^(Фо,'№) + К1{к)ф0). (2.9)

Введем обозначение

=0 _ А(1/Й7Л0(*2)\/Й?^о,^о) + 1

Операторнозначная фукция £(&) является аналитической по А: в окрестности нуля; это следует из доказанного выше после умножения числителя и знаменателя на к.

Соотношение (2.9) запишется в виде:

ф{х) = + .....МУУДо (^Ф,Фо) х

П> 2гИ^’У )+Л(^ад^0,« + 1

или

(1 -еЦк))ф

\(у/ШЯв[кг)л/Шф0,фа) + \

(2.10)

Перейдем к новой неизвестной функции 9 = :(1 — еЬ{к))ф. При условии \е\ < 1/\\Ь(к)\\: которое выполнено для достаточно малых е, существует обратный оператор (1 — еЬ(к))-1. Таким образом, из (2.10) получаем

Из этого уравнения видно, что 9 = Сл/\У(х), где С — некоторая константа, не зависящая от к. Подставив в (2.11) выражение для 9(х) , получим после сокращения

нелинейное алгебраическое уравнение относительно к. Очевидно, что существование уровня Е = к2 эквивалентно существованию решения данного алгебраического уравнения.

Обозначим правую часть уравнения (2.12) через ,Р(<£:, Л:), тогда оно примет вид:

е(х) =

- е£Щ)-Ч Фо)

\/П'{фо,'М). (2.11)

2гк(\(у/ШЛ0(к2)^ф0,ф0) + 1)

к = |-((1 - еЬ(к))~1'/№, у/Ш) Ае(УУКД0(<:г)ч/Щ1 - еЦк))-1^),фо).

(Фо,^)~ (2.12)

2г(\(у/\¥Но(к2)\/Шфо, фо) + 1)

к = Р(е,к).

(2.13)

(Функцию F(£,/с) продолжаем по е в комплексную плоскость.)

,Л,окажем аналитичность функции F по переменной к в круге {\к\ < <5} и по переменной е в окрестности нуля в С. Оператор-иозначная функция (1 — еЬ(к))~1 раскладывается в равномерно сходящийся степенной ряд по степеням еЬ{к) и таким образом, но теореме Вейерштрасса [9], определяет аналитическую функцию переменных &,£. (Как известно, см., например, [10], основные теоремы комплексного анализа легко переносятся на случай некторнозначных функций). Далее, операторнозначные функции к.уДУ1{0{к2)у/IV и К (к) являются аналитическими по к, как Гн,шо доказано выше. По теореме Хартогса [9] функция Р(е,к) иналитична по совокупности переменных.

Уравнение (2.13) будем исследовать с помощью теоремы о не-ниной функции. Рассмотрим функцию /(£, к) = к — Р(е, к), аналитическую по к, г. Из вида функций / и Р вытекает равен-I г во /(0,0) = 0. Найдем

= (1-^(6, *))|(0,0)=1.

Предположим, что А ф 0; по теореме о неявной функции |!)| равенство /(£, к) = 0 имеет место тогда и только тогда, когда к = к(£), где к(£) — некоторая аналитическая функция от £ в окрестности нуля. С другой стороны, точки вида (' , 0) удовлетворяют уравнению /(£, к) = 0 для всех достаточно малых £ :

/М) = о - Р(е,0) = ( ~7((1 - еЦк)Г1ъ/¥,Щ+

II

+ИкК{к)(1 - еЩ))_1 (т/\У), ф0)х у СН(\(-\^{фо, л/ЙК) + -иыиШо, Фо) + Ы))-\фо, 'М))\к=0 =

(1 чццовательно, к{£) = 0, так что уровней в окрестности нуля

МИГ.

Следствие 2.1. Имеем равенство сг(Н) = [0, сю) для всех достаточно малых г.

Замечание 2.1. В случае п -мерного оператора

та

К = £>;(•>&)&

г=1

данный результат получить не удается, поскольку в выражении для /(£, 0) получается не нуль, а неопределенность вида

Список литературы

1. Демков Ю. Н., Островский В. Н. Метод потенциалов нулевого радиуса в атомной физике. JL: Изд-во Ленинград, ун-та, 1975.

240 с.

2. Хейне В., Коэн М., Уэйр Д. Теория псевдопотенциала. М.: Мир, ШЗ. 560 с.

3. Альбеверио С., Гестези Ф., Хеэг-Крон Р., Хольден X. Решаемые модели в квантовой хмеханике. М.: Мир, 1991. 568 с.

4. Чубурин Ю.П. О попадании собственного значения (резонанса) оператора Шредингера на границу зоны // Теор. и мат. физика. 2001. Т. 126,№ 2. С. 196-205.

5. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. 360 с.

6. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 4. Анализ операторов. М.: Мир, 1982. 432 с.

7. GadyPshin R. On local perturbations of Shrodinger operator in axis. Preprint in the Texas Math Physics archive. 2002. № 02-65.

8. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 3. Теория рассеяния. М.: Мир, 1982. 448 с.

9. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Ч. 2. Функции нескольких переменных. М.: Наука, 1976. 400 с.

10. Эдвардс Р. Функциональный анализ. М.: Мир, 1969. 1072 с.