Об уровнях одномерного дискретного оператора Шредингера с убывающим потенциалом Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958:530.145.6

© Л.Е. Морозова, Ю.П. Чубурин

[email protected]

ОБ УРОВНЯХ ОДНОМЕРНОГО ДИСКРЕТНОГО ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА С УБЫВАЮЩИМ ПОТЕНЦИАЛОМ

Ключевые слова: дискретное уравнение Шредингера, собственное значение, резонанс, асимптотика.

Abstract. We consider a one-dimensional discrete Schrodinger operator with a decreasing small potential. The existence of the unique level (eigenvalue or resonanse) near the boundary points ±2 of the essential spectrum is proved. We investigate the asymptotic behaviour of these levels.

Введение

Рассмотрим дискретный (разностный) оператор Шредингера Щ (см. [1]), действующий в 12(Z) по формуле

Щ[x{n)}nez = {x(n + l)+ x(n - l)}nez•

Оператор Щ является ограниченным и самосопряженным, а его спектр равен (см. [2], а также доказательство теоремы 1.1 ниже) а(Щ) = — ,2].

Положим H = Щ + V, где V = {V(n)}nez G l^(Z) действует в 12{Ъ) то формуле V{x(n)}n^ = {V(n)x(n)}n^• Предполагаем, что V ф 0 и V(n) принимает только вещественные значения,

V

ным оператором (потенциалом).

Операторы H указанного вида активно изучаются математиками (см., например, [1;3] и имеющиеся там ссылки). Они берут

свое происхождение из физики (по этому поводу см. [4], а также [5] об операторе Харпера).

В дальнейшем предполагаем, что функция У (и) удовлетворяет оценке |У(и)| ^ Се-“|п|, где а > О, и € Z. Будем далее пользоваться обозначением И£ = Щ + еУ, где е > 0 — (малый) параметр.

В данной работе доказано, что при малых е вблизи точек ±2 — границы существенного спектра — существует ровно один уровень (собственное значение или резонанс); также исследована асимптотика этих уровней при е ^ 0. Аналогичная задача для собственного значения и ^непрерывного© оператора Шредингера + еУ{х) с У(х) € С°° ранее исследовалась Саймоном [6].

1. Функция Грина

Ядро (являющееся матрицей) {С(и,ш,Е)}п,т£х резольвенты

Щ(Е) = (Щ — Е)— оператора Щ, возможно, продолженное по

параметру Е на второй лист (см. ниже), будем для краткости называть функцией Грина.

Теорема 1.1. Имеет место формула

С(п,т,Е) = С(п-т,Е) = ^е^е2-^1 ^

где Е € С \ [—2,2], а разрез для корня выбирается вдоль отрицательной полуоси.

Доказательство. Докажем вначале равенство

(И — Е)С(и,Е) = 6п,о, (1.2)

где ёп,т - символ Кронекера. Очевидно, что последовательности вида х(п) = С(^п с

д = ШША (!.3)

удовлетворяют однородному уравнению (И—Е)ж(и) = 0. Таким

и.

ты должно убывать при |и — т| ^ то, требуется выполнение

условия |д| < 1. Величина у = \ у] + , будучи функцией

Жуковского, отображает как внешность, так и внутренность еди-

\ — ,

—

С\[—2, 2] та круг {|д| < 1}. Наконец, множитель в правой части

и.

Поскольку С{и, Е) экспоненциально убывает при |и| ^ то, то определен оператор в 12{2) следующего вида:

(Е)х(и) = ^ С{и — т, Е)х(т).

теТ,

При ЭТОМ

(И0 — Е) П0 (Е)х(и)= ^ (И — Е)С{и — т, Е)х(т) =

теТ,

= ^ 8п-т,ох{т) = х(и). (1.4)

m€Z

С другой стороны, положим

(Е)(И0 — Е)х(и) = у(и), (1.5)

тогда в силу (1.4) (Щ — Е)х(и) = (И — Е)у(и). Обозначим г = = х — у и докажем, что г = 0. Для этого рассмотрим, следуя [2], унитарный оператор и : 12(Т1) ^ Ь2(—п,п),

11х(п) = ^ ^=ет*х(п) = х(£). пег

Имеем

иИох(и) = 2соз£х( £) = И0 их(и),

где Н0 — оператор умножения на 2 соя £ в Ь2(—п,п). Таким образом, операторы И и Ео унитарно эквивалентны. Уравнение (Я0 — Е)г(£) = 0 имеет, очевидно, только нулевые решения в Ь2( — п, п) . Следовательно, г = 0, откуда х — у = г = 0. В сочетании с (1.4), (1.5) это доказывает равенство (Е) = Щ(Е).

Теорема 1.2. Существенный спектр оператора Н совпадаете [—2,2].

Доказательство. Согласно утверждению об относительно компактных возмущениях [6] достаточно доказать, что [У(п)С(и — ш, І)}п,теъ Є І2{7?). Имеем

£ £ |У(п)С(п — ш,і)|2 = £ |У(п)|2 £ |С(ш, І)|2 < то,

пег тег пег тег

Уп

<

Е-у/Е2-4 2

для Е </ [—2,2] (см. доказательство теоремы 1.1).

2. Уровни и их асимптотика

Уравнение Шредингера

(И0 + У)х = Ех, (2.1)

рассматриваемое в классе 12^), перепишем для Е </ а(Ио) в виде

х = —Я0(Е)Ух. (2.2)

Е

х

поненциально возрастают вместе с функцией Грина (1.1) (в этом случае для Е ф [—2,2] выполнено неравенство е~^е2~4 > ^

Е

резонансам (см. мотивировку в [7]).

||

тать достаточно малой (время жизни г'квазистационарного состояния©, отвечающего резонансу, обратно пропорционально данной величине - см. [8], а слишком короткоживущие состояния

не играют роли в физических процессах). Но числа E, близкие к отрезку [—2,2], переводятся функцией (1.3), обратной к функции Жуковского, в точки, близкие к окружности |q| = 1. Поэтому в силу теоремы 1.1 для данных E функция Gn(E) представляет собой const ea|n| с а по модулю близким к единице. Поскольку вследствие (2.2) ж(п) при |n| ^ то ведет себя как и Gn(E) , то для исследования резонансов допустимо предположение \fVх € l2(Z) .

E

GE,

дем называть резонансом оператора Н, если существует ненулевое решение х уравнения (2.2) такое, что Wх € l2(Z) .

Определение 2.2. Уровнем оператора Н будем называть его собственное значение или резонанс.

Сделаем в уравнении (2.2) замену, полагая у = л/Vx, тогда

у = -WRo(k)VVy. (2.3)

Для исследования уровней будем рассматривать уравнение (2.3) в классе i2(Z).

Перейдем к новой переменной к = л/е22~4 E.

пользоваться обозначениями вида Ro(k) вместо R(E) . Положим

Gi(n,fc) = G(n,k) + ± = -4((\/l + ^-к)\п\ - 1). (2.4)

Лемма 2.1. Функция

(\/V(n)Gi(n — т, k)\/V(m)\ (2.5)

I J (n,mez2

является двулистной аналитической L2(Z2) -значной функцией в окрестности точки к = 0.

Доказательство. Введем обозначение /п( к) = = (л/ГТ¥-к)Н. Тогда

к) = (/п(к) - /(0)) = =

Ао,к]

(2-6)

Первая из ветвей функции

у/1 + к1 — к = — г (^(—гя) — ^ (—гя)2 — 1 ^,

будучи с точностью до множителя —г обратной к функции Жуковского относительно переменной — гк, переводит окрестность —,

как относительно переменной — гк, так и относительно переменной к) внутрь кольца {1 — а < |к| ^ 1}, где а > 0 произвольно мало. Аналогично вторая ветвь данной функции переводит окрестность нуля внутрь кольца {1 ^ |к| < 1 + а} . Отсюда и из

к

оценка

|(п(п,к)\ ^С^а + а)1™1 ^Сгеа1^, (2.7)

где С, С\ = сог^, а а > 0 произвольное наперед заданное число.

Пользуясь (2.7), оценим, считая, что а < а,

у/У{п)в1{п - т, к)у/У(т) =

|^(п)||^(п — т, к)|2|У(т)I ^

п,т

£7?

< С ^ е-“|п|еСТ1(|п|+Н)е-“|п| = С(5>-“-СТ1|п|)) < то.

п,т€г2 п^Тл

.

Последовательности

дкт(к) = о (к - \п\)в(М - \т\)л/Щп)С1{п - т,к)л/У(т),

N=1,2,... , где 0(£) - функция Хевисайда, в силу аналитичности функции /п(к) определяют L2(Z2)-значные двулистные аналитические функции, которые вследствие оценки (2.8) равномерно на компактах из окрестности нуля сходятся при N ^ то к ь2(г2) -значной функции (2.5). В силу теоремы Вейерштрас-са (очевидно, применимой к векторнозначным функциям) лемма доказана.

Следствие 2.1. Обозначим через А(к) операторнозначную функцию с ядром, (2.5). Тогда А(к) в окрест,ност,и кк множестве компактных операторов.

Теорема 2.1. Пусть

V = ^ У{п)Ф 0.

пег

Тогда в некоторых окрестностях точек Е = ±2 для всех достаточно малых £ оператор И имеет ровно по одному уровню, для которых справедлива формула соответственно

Е = ±{2 + \у1) + о{е2). (2.9)

При этом если V > 0, то уровень является собственным значением, а если V < 0 , то резонансом.

Доказательство. Согласно (2.4) запишем (2.3) в виде

у=^{у,7у)-еА(к)у. (2.10)

Введем для достаточно малых £ переменную £ = (1 + £А(к))у и перепишем уравнение (2.10) в виде

г=£-^{(1 + £А(к))~1г,7у). (2.11)

Из (2.11) имеем z = CW, где C = const, причем в случае существования уровня C ф 0. Подставляя данное выражение в (2.11), приходим к алгебраическому уравнению

Очевидно, что существование уровня эквивалентно существованию решения уравнения (2.12).

Уравнение (2.12) является уравнением на неподвижную точ-

/к

мающих отображений для доказательства существования и единственности решения уравнения (2.12) (для каждой ветви) в круге Б = {|к| ^ р} , где р достаточно мало, достаточно доказать, что £/ к нием.

£

причем ряд в правой части равенства сходится равномерно по к € Б . В силу (векторнозначного варианта) теоремы Вейерштрас-/к

множестве Б, и доя достаточно малых £ отображение £/(к) переводит Б в себя. Сжимаемость отображения £/(к) вытекает из оценки

где k\,hi € Б, M = suр |/'(К|, поскольку для е < M 1 имеем

k = e/(k)

(2.12)

где

f(k) = i((l + eA(k))-l(W), W). (2.13)

СЮ

/(k) = !^£ra(Afc(k)(^nVF)

n=0

k€S

q = Me < 1.

к,

ближение для решения уравнения к = /(к) имеет вид ^ = £/(0) = | ((1 + =

= |(\Д^, \Д0 + о(е) = ^ + о(е).

к

для погрешности

|к - Г=^ 1*1 - ко| = Ф)-

Следовательно,

к = к\ + о(е) = ■у- + о(е). (2-14)

Отсюда

Е = 2\/1 + к2 = ±2(1 + ^ + о(е2)) = ±(2 + ^ + Ф2)),

причем в силу равенства л/Е2 — А = 2 к и (2.14) V > 0 отвечает первому листу функции Грина С (собственному значению), а

V < 0 - второму листу (резонансу), поскольку в силу (2.2) и соответственно экспоненциального убывания (возрастания) функции Грина решение ж(п) также будет экспоненциально убывать (возрастать).

Замечание 2.1. Из доказательства видно, что кратность уровня (т.е. размерность пространства решений уравнения (2.3)) равна единице.

Список литературы

1. Цикон X., Фрезе Р., Кирш В., Саймон Б. Операторы Шредингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии. М.: Мир, 1990. 408 с.

2. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. 360 с.

3. Damanik D., Hundertmark D., Killip R., Simon B. Variational estimates for discrete Schrodinger operators with potentials of indefinite sign. Preprint mp_arc 02-451.

4. Лакаев C.H., Муминов М.Э. Существенный и дискретный спектр трехчастичного оператора Шредингера на решетке // Теор. и матем. физика. Т.135, 1"3. С. 478-503.

5. Гейлер В.А. Двумерный оператор Шредингера с однородным магнитным полем и его возмущения периодическими потенциалами нулевого радиуса // Алгебра и анализ. 1991. Т.З, 1^3. С. 1-48.

6. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.4. Анализ операторов. М.: Мир, 1982. 432 с.

7. Чубурин Ю.П. О малых возмущениях оператора Шредингера с периодическим потенциалом // Теор. и матем. физика. Т. 110, Г13. С. 443-453.

8. Базь А.И., Зельдович Я.Б., Переломов А. М. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике. М.: Наука, 1966. 340 с.