CC BY
9
*L*L*S*S)**0.5) + 1) 19, 19, 3 18 W=W+1
IF(W-N1*G+1) 2, 2, 3 3 J=J + 1
IF (J-N2+1) 4, 4, 5
5 ALFA=T*K
6 WRITE (6,8) L, H, ALFA PRINT*, 'L=',L,' H=\ H,' ALFA=',
*ALFA
8 FORMAT (3H L=, F6.3, 3H H=, F4.1, *6H ALFA=, F6.3)
H=H+0.4
IF (H-12) 9, 9, 11 12 F1=ASIN (l./L)
GOTO 20 11 STOP END
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Дураев А. Е. Определение модуля деформации предварительно уплотненных оснований фундаментов // Вести. Морд, ун-та. 1998. № 1 — 2. С. 128—131.
2. Дурасв А. Е. Определение напряжений в грунте с убывающим (возрастающим) по глубине модулем деформации от действия сосредоточенной силы и нагрузки, равномерно распределенной по площади прямоугольника / Морд. ун-т.
Поступила 19.06.2000.
Саранск, 1993. 11 с. Деп. в ВИНИТИ 16.03.93. № 628 — В93.
3. Дураев А. Е. Расчет конструкций на грунтовом основании с возрастающим по глубине модулем деформации. Саранск: Изд-во Мордов. унта, 1991. С. 192.
4. СНиП 2.02.01 — 83. Основания зданий и сооружений. М.: Стройиздат. 1984. 85 с.
ОБ ОПТИМИЗАЦИИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ТОЛСТОСТЕННЫХ ЦИЛИНДРОВ
В. А. КАРТАШОВ, кандидат технических наук
При фиксированной геометрии тела и заданных нагрузках оптимизация напряженного состояния может быть достигнута посредством применения материалов с градиентными свойствами. Это особенно актуально для композитов.
В статьях [1] и [2] показано, что в случае полярно-симметричной задачи при заданных напряжениях (радиальных а2 и окружных о@) для модулей
упругости должно выполняться соотношение согласно формуле
Е
Е
а
exp F(r) exp F(a)'
(1)
Здесь Е — модуль упругости в точках, отстоящих на расстояние г от полюса; Еа — модуль упругости в точках,
находящихся от полюса на расстоянии а.
Для функции Fir) справедлива формула
F(r) = [
1
OQ — V о г
(1{рг + ав)
х-т- dr
dr
(2)
Коэффициент Пуассона V предполагается одинаковым во всех точках.
Рассмотрим толстостенный цилиндр с заданным распределением окружных напряжений сг# (рис. 1). Внутренний и
наружный радиусы равны соответственно а и Ь. Внутренняя и наружная равномерно распределенные радиальные нагрузки обозначены через q\ и
Окружные напряжения представлены в виде
© В. А. Карташов, 2000
°в = */07)-
(3)
Здесь к
— коэффициент, имеющий размерность напряжения; /(?/) — задаваемая безразмерная функция; г} = у/к, где /г = Ь - а — толщина стенки цилиндра; у — расстояние от внутренней
поверхности.
р и с. 1
Требуется, чтобы выполнялось ус-
ловие равновесия
ь
[ ог = д2Ь - <71 я
(4)
а
Согласно (3) записываем равенство
ь
1
[ ав(1г = кк$ /(г})(1г),
а
О
из которого с учетом (4) находим
к
Яг Ь - <71 я
1
(5)
к / !{г})(1г]
О
Подстановка этого выражения в (3)
дает
ЯгЬ ~ Я\а
1
т
(6)
о
Если желательно иметь равномерное распределение окружных напряжений, надо положить /(г/) = 1, и тогда из формулы (6) следует
ЯгЬ - Я\а
Ь
а
(7)
весия
Должно выполняться условие равно
г
ОуГ = д{а + / 0()(1г,
а
из которого находим
сг
1
Я\С1 + / ов йг
а
Р
или, поскольку / сг0 (1г = к / /(л)с1г1,
а
О
сг,
1
Р
ща + к //(т?) с!т]
О
(8)
Здесь использовано обозначение р = = г/а.
При равномерном распределении окружных напряжений формула (8) с учетом (5) даст
1
а,
Ь
- [<«* -(яг - 41)
Я\а)
аЬ
(9)
Рассмотрим подробнее решение, обеспечивающее равномерное распределение окружных напряжений. Подставив в (2) выражения напряжений согласно (7) и (9), после некоторых преобразований придем к формуле
Г(г)
1
V
/ *т/{ [(
1 - V) (д2Ь
<71 я)]
/
/
\у{д2 - Я\)аЬ^ г2
+ г
Интеграл, стоящий в правой части, берем, руководствуясь формулой
/
(1г
1
Аг2 + Вг В
1п
А
А + В/г
Имея в виду, что в данном случае
А
1
V
V
с/2Ь - д\а (<?2 - Я\)аЬ
и В = 1,
находим:
Р{г)
1
V
1п
1
1 +
V
N
1
V р
В этой формуле
(10)
N
(<72 ~ <71)6
<72 Ъ ~
Из
- <71 а
(10) следует, что
1
1
(11)
ехр У7 (г) =
1 +
V
N
1 — V р
При г = а р — 1, следовательно,
1
схр /<4 я) =
1
1 +
V
1
V
N
V
Теперь согласно (1) имеем
Е
Е
а
1 +
V
1
N
V
1 +
V
N
1
V р
V
(12)
Таков закон изменения модуля упругости по толщине стенки, обеспечивающий заданное напряженное состояние.
При V = 0 в формуле (12) возникает неопределенность. Раскрыв ее, полу-ч и м:
Е
Е
а
{
V = О
С
\
N
\
е
Ур
(13)
/
В качестве примера рассмотрим ци-
Ь
линдр с соотношением радиусов
а
2.
Потребуем, чтобы окружные напряжения распределялись по толщине стенки равномерно. Полагаем V = 0,25.
При отсутствии внешнего давления (¿/2 = 0) и при = ц согласно (7), (9), (12) имеем формулы
°2 2
Я
Р
1;
<*е я
1;
Е
(
Е
а
5
\
4
V
3 + 2 /р
/
Графики полученных величин представлены на рис. 2.
На эпюрах напряжений штриховые линии относятся к цилиндру из однородного материала. Действующее возле внутренней поверхности наибольшее окружное напряжение в неоднородном цилиндре составляет 0,6 от того, которое было бы в однородном. Когда действует только внешнее давление Я2 = = ц, расчет ведем по формулам
а
Я
/
2
1
\
1
Р
\
/
я
2;
Е
(
Е
а
4
\
\
3 4- \/р
/
ко,14(0,10)
0,33(0,26)
ДО,60(0,52)
1
Е / Е
а
ог/ д
<70 / д
Рис. 2
Е / Е
а
ог / д
о0 / д
Р и с. 3
Соответствующие графики даны на рис. 3. Отношение максимальных окружных напряжений в неоднородном и однородном цилиндрах
равно 0,75.
В обоих рассмотренных случаях графики отношений Е/Еа мало отличают-
ся от прямолинейных.
Наконец, возьмем случай, когда
Я\ = Я, Я2 = 0,5<7. Поскольку Ь = 2а, имеем ц^Ь - д\а = 0 и согласно (7) окружные напряжения совершенно отсутствуют. Формула (11) показывает, что /V = оо и закон изменения модуля упругости предстает в ви-
де Е/Еа = р
- л 1 / V
р
Для радиаль-
ных напряжений имеем зависимость
о
1
. Эпюры Е/Еа и ог/д даны на
Я Р рис. 4.
Графики на рис. 5 характеризуют влияние коэффициента поперечных деформаций на отношение Е^/Еа моду-
V/
леи упругости возле наружной и внутренней поверхностей. Мы видим, что это влияние незначительно.
0,17
7^0,12
1 0,037
аг/ я
<>е / я
16
ЕЬ / Еа
о
0,1 0,2 ^ 0,3
0,25
Р и с. 4
Рис. 5
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Карташов В. А. О решении полярно-симметричных задач теории упругости при заданных напряжениях // Нести. Морд, ун-та. 1996. № 1. С. 54 — 59.
Поступила 20.01.2000.
2. Карташов В. А. О выравнивании напряжений около отверстий // Информационный вестник диссертационного совета Д 063.72.04. Саранск, 1999. Вып. 4. С. 71 — 79.
АРХИТЕКТУРНО-ХУДОЖЕСТВЕННЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ СКАТНЫХ КРЫШ ЖИЛЫХ ЗДАНИЙ
В. Ф. ВАВИЛИН, доктор исторических наук, В. Д. АНТОШКИН, кандидат технических наук, И. В. ВАВИЛИН, студент
Основным назначением крыш является защита зданий от атмосферных осадков, от потерь тепла зимой и от перегрева летом. В зависимости от их функционального использования их можно подразделить на неэксплуати-руемые, частично эксплуатируемые и
эксплуатируемые. Крыши, помимо своего основного утилитарного назначения, имеют богатые функционально-технологические возможности совершенствования архитектурно-художественных основ их формообразования и освоения. Перспективным направлени-
© В. Ф. Вавилин, В. Д. Антошкин, И. В. Вавилин, 2000
