CC BY
21
х(0
t
21
г3
312
т
х2 + \ г3
г
Г*
1
Матрица Х~А(0 имеет вид:
х-1 С)
" 3 _ Г
\г
2 1
*2
X"1 (I) ограничена, и системы (8) и (9), очевидно, асимптотически эквивалентны по Левинсону. Тогда по доказанной теореме система (9) приводима к (8), что можно легко проверить, воспользовавшись преобразованием Ляпунова у - УШХ'ЧОХе
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Воскресенский Е. В. Методы сравнения в нелинейном анализе. Саранск: Изд-во Сарат. унта. Саран, фил.¡V 1990. 224 с.
2. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967, 472 с.
00 0 000000000000000000 ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
00000000000000000000 Строительство
ииииииииииииииииииииииииииииииииии
О РЕШЕНИИ ПОЛЯРНО-СИММЕТРИЧНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ПРИ ЗАДАННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ
В. А. КАРТАШОВ, кандидат технических наук
Решению осесимметричных задач (в том числе с применением к расчету толстостенных полых цилиндров — труб) для неоднородных тел с упругими характеристиками, зависящими от координат, посвящено много работ [1 — 5, 7 — 12]. Наиболее полное и систематизированное освещение проблемы содержится в книге С. Г. Лехниц-кого [6].
Во всех названных работах закон изменения упругих характеристик в зависимости от координат предполагается известным и отыскивается напряженно-деформированное состояние при тех или иных нагрузках и условиях закрепления тела. Но могут возникнуть си-
туации, побуждающие к решению обратных задач, когда ради реализации заданного напряженного состояния устанавливаются необходимые законы в отношении упругих параметров тела.
Таким образом, предполагается, что
задано желательное по тем или иным
■
соображениям напряженное состояние упругого тела. Разумеется, оно должно быть статически возможным, т. е. заведомо должны удовлетворяться дифференциальные уравнения равновесия и граничные условия. Требуется отыскать отвечающие этому напряженному состоянию закономерности, которым должны подчиняться упругие- характе-
ристики тела. Применительно к плоской полярно-симметричной задаче решение можно представить следующим образом.
Дифференциальное уравнение равновесия записываем в виде
г
d ат
Чг
+ ат = ае
(1)
или
dr
(гаг) =* aQ
(2)
Здесь использованы обозначения.
общепринятые
Предполагаем, что должны выпол-
няться условия
П
г г
г2
42
(3)
Если задаются радиальные напряжения сгг, удовлетворяющие условиям (3), то
соответствующие окружные напряжения ае находятся по формулам (1)
или (2).
В случае задания окружных напряжений необходимо выполнение статического условия
>2
/аеаг = Я2Г2-Ч1Г1. (4)
Соответствующие радиальные напряжения определяются путем решения дифференциального уравнения равновесия относительно ат. Решая уравнение (2), получаем:
ог
7 + 7 f^Qdr,
или, если ввести обозначение
Ф(г) = Jcre dr>
(5)
А
+
1
г Ф(г).
(6)
Произвольная постоянная дится из условий (3). Согласи из них
А = qi и - Ф(гО,
(7)
а согласно второму
А = q2 г2 - Ф(г2)
Нетрудно видеть, что полученные выражения совпадают. В самом деле, поскольку
/ сге йт = ф(Г2) - Ф(го,
равенство (4) можно представить в виде
Ф(г2) - Ф(г,) = q2 г2 - qj Г!
откуда
41 П ~Ф(Г1) = Ч2Г2-Ф(Г2)
т
л
Тело предполагаем неоднородно изотропным. Относительные линейные деформации ег и определяются по
формулам
= a (ar-voe);
се = a (ae-v4
(9)
Здесь а
Г Е
коэффициент дефор-
мации, т. е. величина, обратная модулю ynpyibCTH Е; через v обозначен коэффициент Пуассона. В общем случае обе эти упругие характеристики являются функциями координаты г, т. е, а - а (г); v = v(r).
Подставляя выражения (9) в уравнение неразрывности деформаций
d ее ег- ев
dr
г
_ i
после некоторых преобразований приходим к дифференциальному уравне-
нию
ае-т- + а
d(crr + ае)
dr
dr
d(va)
dr
0.
(10)
Наличие в одном уравнении двух искомых функций а и V делает задачу,
вообще говоря, неопределенной. Имеется возможность выбора различных вариантов, из которых рассмотрим следующие три.
\
По первому варианту будем полагать коэффициент деформации зависящим от г, а коэффициент Пуассона от г не зависящим, т. е. а м а(г), v e const. В этом случае уравнение (10) приво-
виду
da
а
I
d
у а.
dr
(стг + cre)dr. (11)
Решение данного уравнения выражает ся формулой
а - Ci exp i-F(r) ],
(12)
в которой С\ ная;
F(r) - /
постоян
1
d
a„-v а,
fr(or + oe)dr. (13)
Для няв С =
модуля
упругости
(при-
1
Ci
) имеем
Е
1 U
С exp IF (г) ].
(14)
Если при г — го модуль упругости равен
Eq, то согласно (14)
Е
^ exp [F(r) ]
Е0 exp [F(r0) ] '
(15)
Согласно второму варианту будем считать коэффициент деформации величиной постоянной, а коэффициент Пуассона переменным, т. е. а = const; V = v(r). Уравнение (10) запишется как
dv 1 d . .
(16)
а его ре
вид
V = R(r) + С,
(17)
где
ад = /
i о,
d
(°> + °e)dr
(18)
Третий вариант предусматривает постоянство отношения т коэффициента Пуассона к модулю упругости при переменности того и другого, т. е.
m - ^ - const. Уравнение (10) прс;
Ь
станет в виде
da а
1
d
£70 dr
(стг + ae)dr.
(19)
Решая (19), находим:
а = Ci exp [-Q(r) ],
(20)
где
Q(r) = J^ ¿(ar + ae)dr. (21)
Если С =
1
С
1
, то
1
Е = f = С exp lQ(r) ],
Е _ exp [Q(r) ]
Е0 exp [Q(r0) ]
(22)
(23)
Представим зависимость радиального напряжения от координаты г двучленным степенным законом
а.
Ki + к2 г".
(24)
Удовлетворяя условия (3), получа-
ем:
Kl
<11 Г2
q2r?
п
Г2
п
П
О
J
К2
яг -qi
п п Г2-Г!
(25)
Согласно (2)
ае = кх + к2(п + 1)Л
(26)
Выясним, каким условиям должны удовлетворять упругие характеристики, отвечающие принятому распределению напряжений. Пользуясь первым из рассмотренных выше вариантов и с учетом
формул (24) и (26), по формуле (13) находим:
F(r)
п + 2
п + 1
х
x In
r" +
Ü! ( 1 ~ K2 I n + 1 - V
После этого формулы (14) и (15) дают:
п + 2
Е =» С
1
К2 П + 1 - V
+ Г"
п + 1 - V
>
(27)
Г'к,
Е0
1 -V
к2 п + 1
+ г"
п + 2 N n + 1 -V
1
«1
к2 п + 1
+ Го
(28)
Значение п » -2 отвечает однородному телу, так как в этом случае формула (27) дает Е - С.
Положив п - -1, мы задаем напряженное состояние, описываемое согласно (24) и (26) формулами
^ К2
от = К] + —; сг© = кь
(29)
При этом в соответствии с (25)
42 Г2 ~ 41 П Г2-П
(30)
К2
(q2-qi)ri г2 г2-Г1
Для отсутствия окружных напряжении,
как было сказано выше, требуется, чтобы Я2Г2 - (\\Г[ - 0, тем самым из формулы (31) вытекает условие
1
Е
V
Е0
Го
(32)
При п - 1 формулы (24) и (26) дают
сгг = К1 + к2 г;
= К1 + ^кг г.
Здесь в соответствии с (25)
(33)
К!
Qi r2-q2 П
; к2
42-qi
Г2-П
Изменение модуля упругости в зависимости от г определяется формулой
ir
JE_
Е0
42-41
í-v 2-v
+ г
L
4lr2~42rl
42-41
1-v
2-v' + r°
3
2-v
(34)
Аналогично решается вопрос и при других значениях показателя степени п.
Переходя ко второму варианту, подставляем выражения (24) и (26) в (18)
и находим: —
R(r)
In (К! + к2г")п*2-
Вторая из формул (29) свидетельств Это позволяет в соответствии с (17)
вует, что в данном случае окружные напряжения распределены равномерно. Если к тому же q2Г2 ш 41гь то согласно (29) и (30) К1 « ае « 0, т. е. окружные
напряжения вообще отсутствуют.
Как показывает формула (28), напряженное состояние вида (29) осуществляется при
записать
V - С 1П(К! + к2т*)**2
(35)
или, имея в виду (24),
v = С Iпа?
+ 2
(36)
Л
Е0
42 ~ 4l П
(42-4On г2
42 ^2 ~ 41 П (42"" 4l)rl Г2
1
1
V_Го
V г
I
V
даее получаем
ln(Kj + К2ГЯ)
0 \п(к{ + K2rg)
п+2
п+2
1по?+2
1п< 2
(37)
При п
(31)
дают V
■ -2 формулы (35) и (36) const, а формула (37) —
« у<), что соответствует однородному
телу с
Полагая п « -1 и тем самым задавая напряженное состояние (29) с равномерно распределенными окружными
напряжениями, надо согласно (37) выполнить условие
1п(кА + к 2 г")
1п<хг
1п(к1 +К2Г5) 1паг(
(38)
где и к2 определяются по формулам
(30).
Прибегая к третьему варианту, по формуле (21), в которую подставляются (24) и (26), находим:
п + 2 п + 1
1п
И
п + 2 п + 1
(39)
После этого согласно (22) и (23)
Е-С[к1 +к2(п+ 1)г°]
п+2 п+1
п+2 /V п + 1
Саг ;
(40)
Е Ёо
К! + К2(п + 1)1* К! + К2(п + 1)Г§
п+2 п+1
п+2 п+1
(41)
При п - -2, т. е. в случае однородного тела, формулы (40) и (41) дают
для модуля упругости, а следовательно
V
(ввиду постоянства отношения т = ■=■),
ь
ь
и для коэффициента поперечной деформации величины, не зависящие от г.
Изложенное применимо к расчету полых толстостенных цилиндров, воспринимающих равномерно распределенное внутреннее и наружное давление (рис.). Для определенности будем принимать го ж Г] и, соответственно, Ео - Е^. Предполагаем, что торцы
цилиндра, перпендикулярные к его оси, имеют свободу депланации, а также свободны от нормальных и касательных
напряжений.
1^4/.-. 1
Ь ^^^ г
И * ^^^ V
Рис.
Решение классической задачи Ламе для цилиндра (трубы) из однородного материала показывает, что наиболее опасны "окружные напряжения, принимающие максимальное значение у внутренней поверхности, т. е. при г - Г1. При наличии только внутреннего давления они определяются по формуле
шах 00 « -41
г! + г?
гЬ
(42)
наиболее
ально) < 0, т. е. внутренней нагрузи кой служит давление какой-либо среды, окружные напряжения являются растягивающими и при слабом сопротивлении материала растяжению могут при« вести к образованию разрывов вблизи внутренней поверхности трубы. Здесь уместно воспользоваться результатом, полученным для двучленного степенного закона (29) при п - Н. Если согласно (31) изменение модуля упругости будет подчиняться формуле
"Г *
_Е
Е{
то в соответствии с С
мерно распределенное жснис определится ка
<УСр
дт
Г2"Г|
(44)
К тому же результату приведет при
Е - const выполнение условия (37), которое в данном случае конкретизируется в виде
_= 1п
vq In
qm
Г2
r2-rj
qm
ii
Т2
Г2-Г1 1П
(45)
Согласно (42) и (44)
/
___1 4- r2/ri
ахае ~ 1 + (r2/ri)
2
(46)
Величина этого отношения, характеризующего снижение напряжений, для разных значений отношения г2/п приведена в таблице»
Близкий характер «меет задача о концентрации напряжений возле отверстий, Полученные результаты говорят о том, что эта концентрация уменьшится, если отверстия окружить вставками-шайбами из низкомодульных мате-риалов.
Таблица
и 1,5 2 3 5 10 100
Г1 /
0,23 « 0,11 0,01
0,77 0,60 0,40
max oq
Возможна кусочно-ступенчатая аппроксимация непрерывной функции, выражающей закон изменения упругих характеристик, когда плавно изменяющаяся структура тела заменяется ело-* истой из однородных фрагментов с разными упругими свойствами.
Наиболее подходящими для осуществления переменности упругих параметров являются армированные конструкции, ще цель достигается различным армированием в разных зонах. В композиционных материалах к этому ведет варьирование наполнителя при однородной матрице.
Оптимизация напряженного состоя^ ния достигается ценой конструктивно-технологических усложнений, поэтому для оценки суммарного эффекта в каждом конкретном случае требуется комплексный технико-экономической ана-
ЛИЗ.
/
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Баблоян А. А. Об одной задаче осесимметричной деформации круглого цилиндра конечной длины из трансвсрсально-изотропного материала // Докл. АН Арм. ССР. 1961. Т. 32, № 4. С. 189 - 195.
2. Баблоян А. А. К задаче осесимметричной деформации круглого цилиндра конечной длины из трансверсально-изотропного материала // Изв. АН Арм. ССР. 1961. Т. 14, № 4. С. 61 — 70.
3. Житков П. Н. Плоская задача теории упругости неоднородного ортотропного тела в полярных координатах // Тр. Воронеж, ун-та.
1954. № 27. С. 20 — 29.
4. Лехницкий С. Г. Плоская задача теории упругости для среды, обладающей цилиндрической анизотропией, с переменными модулями упругости // Инж. жури. МТТ. 1967. № 1. С. 84 — 87.
5. Лехницкий С. Г. Об одном частном случае осесимметричной деформации цилиндра с моду-
лями упругости, меняющимися по длине // Исследования но теории упругости и пластичности. Сб. 7. Л., 1968. С. 3 — 12.
6. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977. 416 с.
7. Лехницкий С. Г. Элементарные решения двух частных задач о равновесии анизотропного неоднородного цилиндра // Исследования по теории упругости и пластичности. Сб. 6. Л.» 1967. С. 3 — 9.
8. Митинский А. Н. К вопросу об определении напряжений в деревянной сверленой трубе, подверженной действию внутреннего давления // Вестн. инженеров и техников. 1936. № 5. С. 300 — 301.
9. Митинский А. Н. Напряжения в толстостенной анизотропной трубе под действием наружного и внутреннего давления // Сб. Ленингр. ин-та инженеров ж.-д. транспорта. Вып. 136 (теоретический). Л., 1947. С. 55 — 78.
10. Плотников М. М. О напряжениях в толстостенной неоднородной анизотропной трубе //
Изв. вузов. Машиностроение. 1959. № 8.
С. 21 — 26.
11. Плотников М. М. К расчету толстостенной неоднородной трубы // Изв. вузов. Машиностроение. 1960. N2 12. С. 104 — 109.
12. Уздалев А. И. Упругое равновесие стержня, обладающего цилиндрической анизотропией, под действием нагрузки, равномерно распределенной по длине // Инженерный сб. / Ин-т
механики АН СССР. М„ 1958. Вып. 26. С. 148 — 160.
АВТОМАТИЗАЦИЯ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА В СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ И КОНТРОЛЯ
С. А, ПАНФИЛОВ, член-корреспондент МАИ
•• -4
В последние годы как в нашей стране, так и за рубежом активно развивается один из разделов метрологии — квалиметрия, научная область, объеди-. няющая количественные методы получения оценок качества, используемых для обоснования решений, принимаемых при управлении.
Однако, анализируя существующие методики, используемые в квалиметрии [1, 3], можно прийти к выводу, что в настоящее время преобладает весьма трудоемкая экспертная оценка качества, что ограничивает широкое внедрение методов данной науки как в анализе проектных решений, технологий, так и в совершенствовании систем управления качеством продукции.
В настрящей работе рассмотрены особенности автоматизации оценки качества, реализация которой позволяет экспертам и лицам, принимающим решения, участвовать в процессе лишь на стадиях создания меры (эталона) оценки и творческого анализа результатов.
Процесс оценки качества предварительно представим в виде системы
,{АП, Вт,
где Ап » {а[, а2| а^*..., ап} — множество объектов или состояний одного объекта; Вш = {Ьь Ь2, Ьи ..., Ьт } — множество признаков; В^п = {Ьц, Ь\2> Ьшп} — значения признаков; Кг « {к^ к2, кь кг} — критерии, по которым осуществляется оценка; <3п ж {П, У2у — множество
оценок.
Для оценки обязательным является наличие сформированной четкой или нечеткой меры, включающей в себя совокупность критериев и уточняющих параметров признаков, по которым ведется оценка объекта. Признаки в процессе преобразования представляются отображениями на различных шкалах, при этом необходимо учитывать множество допустимых преобразований Ф, не меняющих результаты оценки данного признака, т. е. признак задается не только отображением V : Кг В, но и всеми возможными отображениями вида <р(у)> Ф.
В общем случае объект представляет собой вектор в п-мерном пространстве признаков. Сформированная мера также представляет собой вектор того же пространства.
Необходима реализация уравнения измерения в квалиметрии:
= * - *(А|, Ао, Кг),
где Ао — мера, а уя — комплексный
показатель качества, используемый для обоснования решений, принимаемых при управлении.
Рассмотрим более подробно формальное описание и алгоритмическую модель системы оценки качества (2 ].
Перечислим элементы и операции, участвующие в оценке качества: а —
объект, ао — мера, V — оценка, Р — операция изменения объекта, 5 — операция изменения вида свертки много-
