Упругопластическое состояние среды, ослабленной горизонтальной цилиндрической полостью, с учетом силы тяжести Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2007. №2(52)

УДК 539.374

107

УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ СРЕДЫ, ОСЛАБЛЕННОЙ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТЬЮ, С УЧЕТОМ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ1

© 2007 ^В. Матвеев2

В работе рассматривается влияние силы тяжести на упругопластическое состояние среды, ослабленной продольной цилиндрической полостью (случай плоской деформации).

Предполагается, что начальное упругопластическое напряженно-деформированное состояние, обусловленное всесторонним давлением внешней среды, является осесимметричным. Учет силы тяжести на упругопластическое состояние среды осуществляется в первом приближении.

Рассмотрим упругопластическую среду, ослабленную круговым отверстием радиуса а (рис. 1). Уравнения равновесия в декартовой системе координат имеют вид

дax ^xy _ ft^xy дay , .

аГ + ^г = 0- аГ+йГ=7' (1)

где ax, ay, Txy - компоненты напряжения, у - объемная сила.

Частное решение уравнения (1) запишем в виде

ax = qy, ay = yy, Txy = 0, у, q - const. (2)

В полярной системе координат pe уравнения равновесия (1) примут вид

д^ 1 ^Cpe ap - ae .

+ —+------------= У sin 0’

Ф p д9 p (3)

дт^ 1 дae 2tp^ ( )

+ + ^cos0' дp p д0 p

где ap, ae, Tpe - компоненты напряжения в полярной системе координат. Решение (2) в полярной системе координат примет вид [1]:

1 Представлена доктором физико-математических наук профессором Д.Д. Ивлевым.

2Матвеев Сергей Владимирович ([email protected]), кафедра математического анализа Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева, 428000, Россия, Чебоксары, ул. Карла Маркса, 38.

Рис. 1.

0р = р sin е (ill + i_l cos 2в) = 1^1 р si„ в + i^p sm Зв,

ое = р sin 0-------------cos 20 =---------р sin 0-------р sin 30,

_ \ 2 2 _ ) 4 к 4

тре = Р sin 0 sin 20 = ^ р (cos 0 - cos 30).

Отметим, что вес тела уравновешивается усилиями, определяемыми напряжениями

q — 3v у - q

Op = —-—psin0, Tp0 = ^—pcos0. (5)

Рассмотрим круг радиуса R, усилия, приложенные к контуру круга L, будут равны

п/2 п/2

Py = 2R Jop sin 0d0, Ty = 2R JTpe cos 0d0. (6)

—п/2 —п/2

Из (5), (6) получим

Py + Ty = yS , S = nR2. (7)

Решение будем искать в виде:

ay = ^ + be',j + b2a'ij + 6V" + ..., ps = p0 + 6pS + 62p'/ + ... q = 6ci, у = 6c2; c1, c2 — const

где rs —уравнение границы пластической и упругой областей, 6 — безразмерный малый параметр.

В дальнейшем все величины, имеющие размерность напряжения будем считать безразмерными, отнесенными к величине предела текучести к, все линейные размеры будем считать отнесенными к радиусу пластической зоны в исходном нулевом приближении p0, а = а/p0.

Припишем компонентам напряжений в пластической зоне индекс ”p” наверху, компонентам в упругой зоне — индекс ” е” наверху.

Условие пластичности имеет вид:

(ap — a0)2 + 4тр02 = 4k2; к — const, (9)

Из (8), (9) найдем в исходном нулевом приближении:

c(p0)P — c(0O)p = —2k, С0 < 0, |a0| < |ap|, x(po0)p = 0. (10)

Из (10), получим

aP0)p = —p0 + 2ln p + C1, a0O)p = —p0 + 2 (1 + ln p) + C1,

(11)

Контур отверстия будем считать свободным от усилий, из (11) получим

Tp°0)P = 0, Ci — const.

о(р0)р|р=а = 0, С = -21п а. (12)

Согласно (11), (12) компоненты напряжения в пластической области в нулевом приближении будут иметь вид

о(р0)р = -р0 + 21п о(0О)р = -р0 + 2 ^1 + 1п ^, т(рО0)р = 0. (13)

Запишем условие сопряжения на упругопластической границе

a(0)P

a

, = a(0)e | , a(0)P

p=1 = a p 1 p=1 , a0

1 = С* |p=1 . (14)

| =1 = a0 | =1

Выражения для упругих напряжений имеют вид

Op0-*® = A - Од0-*® = A + A, В - const. (15)

2 0 2

Будем считать, что в исходном нулевом приближении на достаточном удалении среда испытывает всестороннее давление

ap0)e !p^» = —p . (16)

Согласно (14), (15), (16) запишем выражения для компонент напряжений в упругой области в нулевом приближении

<Г = ~Р-~2> °е°)е = ~Р + —- (17)

2 0 2

Для определения радиуса пластической зоны в исходном нулевом приближении справедливо уравнение

p + 1 = 2lna. (18)

Влияние силы тяжести учтем в первом приближении, положим

q = 6c1, у = 6c2, c1, c2 — const. (19)

Согласно (3), (8), (9), (19) для определения первого приближения имеет место система уравнений

da'p 1 дт' p0 ap — a'0

-------1---------1--------= Cl sin 0,

ф p Й0 p

дт' p 0 1 da'0 2Tp 0 (20)

+-----+ -------- = <?2 COS 0,

дp p д0 p

(a'0 — a' p) = 0.

Уравнениям равновесия удовлетворим полагая:

, 1<9Ф' \ д2Ф' . n(ci+c2 ci-c2

= ~c 1 д'е = ^7- + psin б(С1 ^ °2 - c‘ 2 01 cos2n), (21)

д / 1 дФ' \ c2 — c1 „ .

Из (20), (21) найдем уравнение для определения функции напряжения д2Ф' 1 дФ' 1 д2Ф' c2 — c1

Л 2 й 2 ЯД2 о -P[sin0-sin30] . (22)

д 2 д 2 д02 2

Решение неоднородного уравнения (22) представим в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Частным решением неоднородного уравнения является:

c2 — c1 c2 — c1

о Р1 = —-—psin0--------- —р sin 30,

' 3 (c2 — c1 ) c2 — c1

о01=------- ----psin0 + —-—р sin 30, (23)

x'pQi = -°2 Cl р (cos 0 + COS 30) .

Общее решение в первом приближении согласно (21), (23) запишем в виде [2]:

5с2 - С\ 3(c2-ci) . С12

5„ = --------■;--Р Sin 0 + ----------р Sin 30 + Coo + -------

4 4 00

+ - [(C3i(-8) + V8C32) cos (Vein p) +

(-V8C3i+C32(-8)) sin (V8 In p)J • sin 30,

7c2 — 3c1 3 (c2 — cO . C12 .

о ^ =-----------p sin 0 +----------p sin 30 + Coo +-------sin 0+

0 4 4 00 + - [(C3i(-8) + V8C32) cos (V81n p) +

V8C31 + Сзг(-8)) sin (V8 In p)l • sin 30,

p c2 — c1 3 (c2 — c1) C12

T „ =--------—p cos 0 +----------------p cos 30-------cos 0-

p0 4 K 4 p

- [З V8 |Сз2 cos ( V8 In p) - C31 sin (V8 In p)}cos 30j.

(24)

. . COS( Y5ln p) - C31 Sin( 1П pIJCOS .

Предположим, что на контуре отверстия p = а все самоуравновешива-ющиеся составляющие напряжения обращаются в ноль, отсюда определим коэффициенты C00, C31, C32 (24)

пап а22Ъх-аХ2Ъ2 апЬ2-а2ХЬ\

Coo - и, С31 - -----------------, Сз2 - ---------------, (Zh)

ап а22 — «12«21 ац 022 — 012021

где

ац = -8 cos ( V8 In а) - V8 sin( V8 In а), b\ = -3(-С2 4С1-)а

«12 = V8 cos ( V8 In а) - 8 sin ( V8 In а), Ъ2 = 3(~С2 4С1')а .

Составляющие напряжения при sin 0, cos 0 (5) являются несамоуравно-

вешивающимися и одновременно обращаться в ноль на контуре отверстия не могут.

Предположим, что

a'p |p=a = 0 . (26)

Из (24), (26) следует

Ci2 =-^-а2, т'р0 = c2acos0, р = a. (27)

При

T'p0 ^=а = 0 , (28)

из (24), (28) следует

Ci2 = -°2 Cl а2, а'р = с2 sin0, р = а. (29)

На границе пластической зоны при p = 1 компоненты напряжения

ap, т'p 0 непрерывны [2], из (21), (23) имеет место

rp re C\ . 3 (C2 Cj) .

o„ = a =--------------------------sin 0----------------------sin 30+

p p 4 4

+C\2 sin 0 + (C3i(-8) + V8C32) • sin 30,

,p ,e 7c2 — 3c1 3(c2 — c1)

О g = О 0 = ------- -----Sin 0 + ----- ------Sin 30 + С12 Sin 0+ , 4

4 4

+ (C3i(-8)+ V8C32) • sin 30,

tp re Q ^ n 3 (C2 Cj) т p0 = T pe------— cos 0----------4-----cos 30“

-C12 cos 0 - 3 V8C32 cos 30, p = 1.

Согласно (30), получим

a'p = b'' sin 0 + b’’ sin 30,

1 3 = 1 , (31)

T'p 0 = a"' cos 0 + a3'' cos 30,p , ()

где

(32)

a”' = - (c12 + , a'" = - (з V8C32 +

К = Cn + Щ = -8C31 + V8C32 + 3(C2~Cl\

Граничные условия на внешней стороне трубы запишем в виде

a'e = b1 sin 0,

T'p 0 = a; cos 0, p = в (33)

где b1, а'1 — const.

Из условий равновесия имеет место

(b 1 + а 1) р + (b 1' + a'/') = 0. (34)

Решение в упругой области, согласно (4), (31), (33) будет иметь вид [2,3]

re c 1 + 3c2 • p. c 1 c2 • ,-yp.

a p = —--------p sin 0 + —-—p sin 30 +

IN

sin 0+

{3 [2 - 3|32 + Г6] p + 3 [4 - 3|32 - |36] p-5+

+ [4 — 3|3—2 — |3—6]p3 + 5 [2 — 3|3—2 + p6] p—3} ■ b'3 sin 30+

+Ш (f“10 + + P"61 P + f4 + 6P6 - 9P2] P"5+

+ [—4 + 5|3—2 — |3—l6] p3 + [ 1 0 — 5|3—2 — 5|36] p—3} ■ (—a"' sin 30,

e 3c1 + c2 c1 — c2

о е =---------- ------р sin 0--------------------- —р sin 30 +

+

4/

(b 1 +ai)(“

3Р,

Р 1 +

т — 1 1 + в2 в2

Р

sin 0+

3

— 3 +

Т p0 =

4

(3/и + 1) |3

4да(|32 + 1) ^ 1 1,;\ 3/и + 1

+ F1r(4l~'’'1'|5)(f+ ?

+ ^f (з [-2 + 3PJ - Г6] р + 3[-4 + 3|52 + |56] р-! +

+5 [—4 + 3в—2 + в—16] p 3 + [—2 + 3в—2 — в6] p—3} ■ b'3 sin 30+

+ш {f10 - 9Р2 - Р“6] р + 4 - 6Рб + 9Р2 р“5+

+5 [4 — 5в—2 + в—16] p 3 + —2 + в—2 + в6] p—3} ■ (—aT sin 30 , c2 — c1

х -

-р (cos 0 - cos 30) -

4

m — 1 1 + в2 в2

(3m + 1) в

---------------

р 4/и((32 + 1)

(b1 + a!) х

- |з - р) + р4-=т (*■ “ (f

+

3m + 1

■^{з f-2 + 3|32 - |3-61 р + 3 [4 - 3|32 - |361 р-5 +3 [—4 + 3в—2 + в—1S] p 3 + 3 [2 — 3в—2 + ^6] p—3} ■ (—b3' sin 30) + Ш {f10 “ 9Р2 “ Р“6] Р + [4 - 9р2 + 6|Зб] р-5 +

+ [12 — 15в—2 + 3в—6 p3 + [6 — 3в—2 — 3в^ p—3} ■ a"' sin 30,

+

(35)

cos 0+

где N = 16 - 9(|3-2 + в2) + (в-8 + в8), т = ц-1, ц — коэффициент Пуассона.

Условия сопряжения компонентов напряжения О0 в первом приближении имеют вид [2]

a'p +

da,

(0)p

d

e da(00)e P's = °'е + —7— Р,

d

при = 1.

Из (11), (17), (36), следует

1

ep Pi - 4С0 0 - 0 е)-

Согласно (24), (37), получим

pS = M1 sin 0 + M2 sin 30,

где

(36)

(37)

(38)

М,Л

b\ (Зт + 1) |3

+

в 4т(в2 + 1)

+ р

(*i+"'О (-^ггт • (‘ + э2)+р2 -3)

1 + aij^“

э\ 3(c2 — c1)

+

— C12

М2 = — {[-40 + 18В2 + 18В-2 + 26б + 2|Г61 • b 8N lL J

b''

b3 —

[24 — 24в—2 — 5в6 + 4в—6] ■

c2 — c1

a'j'----------1- I6C31 - 2 V8C32J.

(39)

На рис. 2 показан вид границы упругопластической зоны в толстостенной трубе, находящейся под действием силы тяжести.

1М,1 = 1М21. 1М,1 = 1М21.

М,»0. М2<0 М,<0. М2>0

Рис. 2.

Литература

[1] Надаи, А. Пластичность и разрушение твердых тел / А. Надаи. - М.: Мир, 1969.. - Т. 2.

[2] Ивлев, Д.Д. Метод возмущений в теории упругопластического тела / Д.Д. Ивлев, Л.В. Ершов. - М.: Наука, 1978.

[3] Бицено, К.Б. Техническая динамика / К.Б. Бицено, Р. Граммель. - Л.: Гостехиздат, 1950.

Поступила в редакцию 18/XI/2006; Paper received 18/XI/2006.

в окончательном варианте — 19/X///2006. Paper accepted 19/X///2006.

ELASTIC-PLASTIC STATE OF SPACE WEAKENED BY A HORIZONTAL CYLINDRICAL CAVITY3

© 2007 S.V. Mathveev4

In the paper the effect of gravity on elastic-plastic state of space weakened by a longitudinal cylindrical cavity (case of plane deformation) is considered. It is proposed, that initial viscoelastic intense and deformed state caused by all-round pressure of external environment, is axial-symmetric. The effect of gravity on elastic-plastic state of space is carried out at the first approximation.

3Communicated by Dr. Sci. (Phys. & Math.) Prof. D.D. Ivlev.

4Mathveev Sergey Vladimirivich ([email protected]), Dept. of Functional Analysis, Chuvash State Pedagogy University, Cheboksary, 428000, Russia.