CC BY
25
6. Hofbauer J. Evolutionary games and population dynamics / J. Hofbauer, K. Sigmund. - Cambridge :
Cambridge University Press, 1998. - 351 p.
7. Kazkurewicz E. Matrix diagonal stability in systems and computation / E. Kazkurewicz, A. Bhaya. -
Boston ; Basel ; Berlin : Birkhauser, 1999.
8. Liberzon D. Basic problems in stability and design of switched systems / D. Liberzon, A. S. Morse //
IEEE Control Systems Magazine. - 1999. - Vol. 19, No. 5. — P. 59-70.
9. Liberzon D. Switching in systems and control / D. Liberzon. - Boston, MA: Birkhauser, 2003. -
243 p.
10. Redheffer R. Solution of the stability problem for a class of generalized Volterra prey-predator systems / R. Redheffer, W. Walter // Journal of Differential Equations. - 1984. - Vol. 52. - P. 245-263.
11. Yoshizawa T. Stability theory by Liapunov's second method / T. Yoshizawa. - Tokyo : The Math. Soc. of Japan, 1966. - 233 p.
IIocmyniLAa 26.10.10.
ОБ ОДНОМ СПОСОБЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
ОБЛАСТИ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ
У. П. Зараник, А. П. Жабко
В статье рассмотрена нелинейная стационарная система дифференциально-разностных уравнений с одним запаздыванием. Найдено приближение решения дифференциально-разностной системы решением разностной системы уравнений. На основе полученных оценок построено приближение области асимптотической устойчивости системы с запаздыванием. Предложены способы описания области асимптотической устойчивости дифференциально-разностной системы. Приведен иллюстративный пример. На основе полученных оценок построено приближение области асимптотической устойчивости системы с запаздыванием в функциональном пространстве.
Введение. Для построения области асимптотической устойчивости дифференциально-разностной системы уравнений запаздывающего типа был разработан подход, состоящий из двух этапов. Первый этап заключается в приближении решений диффереициально-разностной системы уравнений решениями разностной системы и оценки близости полученных решений. Второй этап состоит из построения области асимптотической устойчивости разностной системы уравнений и описания приближаемой области асимптотической устойчивости дифференциально-разностной системы,
используя оценки приближения соответствующих решений, полученных на первом этапе.
Рассмотрим дифференциально-разност-ную стационарную систему вида
¿ = /(«(0, х{г-Т)) (1)
с начальной функцией Ь £ [—Т;0], где /(ж(£),х(£ — Т)) - непрерывная функция своих аргументов. Будем предполагать, что система (1) имеет нулевое решение /(0,0) = 0 и линейное приближение
у{1) = Ау(г) + Ву{г - т)
экспоненциально устойчиво по Ляпунову.
© У. П. Зараник, А. П. Жабко, 2010
Схема метода Адамса. Предположим, найдено несколько значений х$ в моменты
времени х^ = ж(^), э = = ¿о + 3А.
Требуется получить правило для Х{+1 ~ х(и+г) на следующем шаге.
Интегрируя правую и левую части системы (1) по промежутку [£» ,£»+].], получаем:
х(и+г) = х(и) + f }{х{Ь),х{Ь-Т))(И, (2)
и
Попытаемся адаптировать алгоритм метода Адамса [1] для построения решения дифференциально-разностных уравнений. Заменив подынтегральную функцию интерполирующим ее многочленом Рк&), будем считать дискретные приближенные значения
1з — 1(хЬхТз) ~ —Т)) известны-
ми. При интерполировании назад из узла и имеем
Рк(Ь) = Рк{и -I- дК) = и + дА/г-1 +
2!
3!
+
9(9+1) ■...•(« + *-!) а*
к\
А К1г-к,
а из узла £*+1
Ркф = Рк(и+1 4- дк) = /¿+1 4- дМг +
2!
3!
+
д(д + 1) • (д + к- 1) лк
к\
А /г-Ь+1-
Подставим многочлены Рк{£) в ра-
венство (2)., Используя конечные разности, получаем формулы для вычисления очередного значения Хг+1 ~ ^(¿г-н)
Жг+1
Хг+1
/ РкфсИ, и
(3)
(4)
На основании формул (3), (4) получаем два семейства многошаговых методов Адамса.
Рассмотрим первое семейство методов (3). Сделаем замену переменных Ь = и + дН в ин-
и+1
теграле / Рк (Ь)Ш
и
1
/ Рк(Ь)<И = h¡ Рк(и + дк)<1д.
и о
Тогда формула (3) может быть переписа-на в виде
А
£¿+1 = XI + Ык,
где
4
+ дК)(1д
9
4
+ <?3 + <?2) А3/г-з4-
ш3
Зд2)А4Л-4 + ...
о
. А/,-! 5А2/г - 2
/г "Г —Г--Ь
2
12
4- ^А3/г~3 + ^А4Л-4 +
б
720
» •
Ограничиваясь методом Адамса четвертого порядка, получаем
Х{+1
XI + Л (Л + + ¿д2/г-2 + ^Д3/*-з + §5д4/г-4).
(5)
г
Сделаем аналогичную замену в (4) получаем равенство и+г+дк и, подставляя выражение Рк(£), где
Хг+1
XI + Ык,
и
Тк = J Рк{и+\ + яЬ^
-1
3 2
6 4
Д2/<-1 +
хД3/<-2 +
1
£ + + + Л»
5 2 3 У
24
Д4/г-3 + ..-
О
/г+1
А/г Д2Я - 1
2
12
-1
1 24
Д3/г-2
19 720
Д4/г-3 4- . .
Следовательно,
Жг+1
г +
1 -2/ 1 лЗ
Можно заметить, что первое семейство методов (5) является явным, а второе (6) -неявным.
Основные утверждения и свойства области асимптотической устойчивости.
Предположим, что правые части уравнений к+1 раз непрерывно дифференцируемые функции. Тогда ошибка на шаге составляет
Як(х)
(А; 4- 1)!
ф
д(д+1)х--х(д+к)к
1
Таким образом, локальная погрешность метода, вычисляемая по формуле 1
к f Я,к{х1 + дк)йд, составляет величину по-о
рядка 0(кк+2), а глобальная - 0(кк+г). Величина погрешности для второго метода
В*{х)
О) (к-1)!
д(д+1)х--х(д+к)к
к-1
Следовательно, справедливо следующее
утверждение.
Утверждение. Локальная погрешность (5), (6) методов Адамса составляет 0(кк+2)
и 0(кк) соответственно.
Рассмотрим семейство разностных уравнений
У(Ь + Ы) = у(г)+
(7)
Линейное приближение системы (7) экспоненциально устойчиво, т. е. справедливо предельное соотношение
ун(г, (р) #(£, <р) при к -> 0, ге [0; Г], где уи{Ь,ф) ~ решение системы (7) при £ > 0.
19 720
А
Л-») .
(6)
Лемма 1. Для любого 0 < к < ко существует ко такое, что линейное приближение системы (7) является экспоненциально устойчивым по Ляпунову.
Далее будем предполагать, что х{Ь,(р) -решение дифференциально-разностного уравнения с начальной функцией у>(£о + •) и У (О ~ решение разностного уравнения.
Рассмотрим приближение области асимптотической устойчивости разностного Л£ и дифференциально-разностного уравнения
А
[х:хе {Я\и£ {С А) Г| ||х|| <-}.
В область асимптотической устойчивости разностного уравнения Ае входят кусочно-непрерывные функции с ограниченной пер-
вой производной 1| </?(£) || < 5 > 0, для которых вьшолнено условие у(Ьк) = где Ьк € [—Т;0) - точки разбиения отрезка
[-Т; 0).
Лемма 2. Пусть 6 £ > 0 такое,
что Аеч ф 0. Тогда для любого 6 > 0 существует кг й Я > 0 такое, что справедливо неравенство
1ЫЯ,¥>)||т <<*, 0<к<кг.
6
Доказательство. 3 Я : ||х(£, у>)|| < - при Ь > Я. Тогда \\ун(Я, <р)\\< \\уь(Я, у>) - *(Я, <р)\\+
Если Ккк + 2^ < то ||ун(Н, <р)\\ < 6.
Теорема. V е > 0, Зк2 > 0 такое, что 0 < к < /12 справедливо включение,
Хс/
Доказательство. V 0 < h < ho система (3) экспоненциально устойчива, следовательно 3 р > 0 такое, что
{<Р = Ml <p}CAh
По лемме 2 6 = р, h2 = min{/io, /11}, следовательно ||уь(Д,уО||т < р при vh{rj<p) е
Рассмотрим свойства области асимптотической устойчивости дифференциально-
разностного уравнения л :
1. Положительная инвариантность €
6 Л => у?) определено при £ > 0 и
(р) -> 0 при £ —> +оо.
2. Л - открытое множество.
3. л - связное множество V^ и <р G А=> 3 <px(t) еС([-Т; 0)) при Л Е [0; 1] такая, что </?а(£) 6 Д при Л € [0; 1], <po(t) = (p(t) и ^i(t) = ip(t).
Методы описания области асимптотической устойчивости дифференциально-разностных систем.
Так как область асимптотической устойчивости содержится в некотором функциональным пространстве, то возникает проблема ее описания в этом пространстве. Предложим некоторые способы описания области асимптотической устойчивости:
1. Сечение области асимптотической устойчивости при t = 0.
2. Сечение области асимптотической устойчивости при t = —Т.
3. Огибающая области асимптотической устойчивости:
{(з/ьУг, —, Уп) | Уз = трах \<pa(t)\, s = 1 ,n}.
t€(-T; 0]
4. Пространство среднеквадратичных
о
значений <^2,• </>п) | <ps
-т
5. Эмиттанс p(t
где
D
= у? 6 .А, <£*(£) = 5 = 1, п.
Пример. Рассмотрим реактор, состоящий из двух активных зон [2]. Будем считать, что реактивность в 1-й и 2-й активных зонах реактора зависит только от уровня мощности
в этой зоне. Уравнения динамики имеют следующий вид
I
dx 1 ~dt
i/xi(*)[! + xi(t)] -axi(t)+
I
dx 2 dt
+ax2{t~T), vx2(t)[l + x2(t)] -ax2(t)+ +axi(t-T),
(8)
где I - время жизни нейтронов; а - коэффициент, характеризующий связь между 1-й и 2-й активной зонами; и = х^, где х ~ величина отрицательного мощностного коэффициента реактивности; N - мощность; Т - время запаздывания (у > О, I > 0, а > О, Т > 0). Исследуем данную систему уравнений на устойчивость двумя различными способами.
Первый способ заключается в аналитическом исследовании корней квазиполинома линейной части рассматриваемой системы, который имеет вид:
(IX + a + и)
2 1ХТ
ос е
Получаем следующий результат: при а > имеем абсолютную устойчивость, при а <
устойчивость для Т £ [0,Т), где
0 0
Т
1(-2(р + 2тг) 2yJ-v(v 4- 2a)'
где (р
J-v{y + 2a) \ 1
arctan I —- и а < --v.
а + i/ I ~ 2
Второй способ заключается в построении области асимптотической устойчивости системы с запаздыванием с помощью вышеизложенного метода Адамса в среде МАТЬАВ. Построение графиков и их анализ подтверждают существование зависимости области асимптотической устойчивости от параметров системы.
Построение графиков и их анализ показывают, что существует зависимость области асимптотической устойчивости от параметров системы Т, а, и, I. Так на рис. 1 продемонстрирована зависимость а — и.
Рис. 1. Зависимость параметров системы а--v
Результаты первого и второго способа согласуются между собой и уточняют данные, полученные в [2], где показано, что область асимптотической устойчивости имеет следующий вид:
^(О)2 + ж2(0)2 < л/2, который не зависит от параметров системы.
На рис 2. изображено сечение области 'асимптотической устойчивости системы (8), где множество В - проекция области асимптотической устойчивости дифференциально-разностного уравнения без ограничения на производную и множество С — проекция области асимптотической устойчивости дифференциально-разностного уравнения с
9
ограничением на производную : ||у>(£)|| = 1,
ш
600L
500'
-400
bcgn riBtf ПгнХоо, Oftytfivt "T
Г4
£
* 300
с
зро m
V pg
ж
ж
ш
Рис. 2. Сечение области асимптотической устойчивости при t = —Т
На рис. 3 представлена огибаю- начальной функции (p(t) в точке щая области асимптотической устойчивости, t = —Т. Множества точек В и С опре-по осям Xi (■— Т), Хг (—Т) - координаты деляются также ip (t).
T5D
100
50
Р
-50
•100
begin mrtal fif>c0on. denvibve
• •
В
I
• I
• «
• , » . • , - . j • * .* .-••
• • • ч V • • I
• * •
• в
^ч
• V Г* . ШЕШ ч • "
. • . -г-v. : i4'. v: • « v • • ■
• ' •W ft »i • !'•»•.
;. - - x .* • .. . . • i
« л vV- • •
* V v„v •• i Лг "*. г *p / . • • ; •
V 1 • V rV •>. •
. . . tr * •• .. . . _ 1 j'* • ; / • • • • 9 t
•:.•• •.• V:' .: V • ... к-* - ч » •• :
• /* • e . . . • • • ч • •
• « » — • ■ • < • • • • ^ a.
-lISXL
-iQ-
JJOfl.
-LiA
Puc. 5. Огибающая области асимптотической устойчивости
На рис. 4 изображен эмиттанс, который показывает распределение плотности точек на поверхности области асимптотической
устойчивости. Чем светлее поверхность, тем больше плотность точек, которые принадлежат области асимптотической устойчивости.
# • •
д "епй" Х,(0)
"ёпсГ
09
К-ХуНО 8
{'¿/".•У.
у.-ьу.
Г- о 'у » . ..ф .
яж
0.6
05
04
03
0.2
,0 1
Рис. 3. Эмиттанс
Второй способ построения области асимптотической устойчивости был реализован в среде МАТЬАВ. Таким образом, подтвердился результат, полученный при аналитическом исследовании квазиполинома системы. Приведенные способы
описания области асимптотической устойчивости дифференциально-разностных систем в функциональном пространстве дают более полную картину для исследования системы дифференциально-разностных уравнений.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК
1. Бахвалов Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. - М. Наука, 1987. - 600 с.
2. Горяченко В. Д. Методы теории устойчивости в динамике ядерных реакторов / В. Д. Горя-ченко. - М. : Атомиздат, 1971. - 264 с.
Поступила 28.10.10.
