Устойчивость дифференциально-разностных систем с неопределенными параметрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.929.4

А. П. Жабко, Д. В. Зарецкий

УСТОЙЧИВОСТЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ

О НЕОПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Статья посвящена изучению систем дифференциально-разностных уравнений с неопределенными параметрами. Работы [1], [2] рассматривают вопрос получения предельных границ запаздываний, при которых исходная система остается асимптотически устойчивой по Ляпунову. В данной статье развиты методы получения таких оценок на случай областей расположения собственных чисел, обеспечивающий заданный запас устойчивости и колебательности. Полученные результаты являются развитием теории робастной устойчивости дифференциально-разностных систем запаздывающего типа и могут быть использованы при анализе устойчивости и синтезе регуляторов управляемых динамических систем.

Рассмотрим систему дифференциально-разностных уравнений

где А\, Ач — квадратные матрицы размерности п.

Будем предполагать, что при Н = 0 система (1) является аспимптотически устойчивой. Известно [1], для того, чтобы система (1) была асимптотически устойчива по Ляпунову необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения имели отрицательные вещественные части.

Характеристическое уравнение для системы (1) имеет вид

где deg/(А) = п, а degл(g(А,y)) < п - 1, где у = е хн.

Известно, [1] что корни квазиполинома (2) являются непрерывными функциями коэффициентов полинома и запаздываний. Тогда, если при Н = 0 система (1) асимптотически устойчива, то существует Н > 0 (может быть, Н = <х>) такое, что система (1) остается асимптотически устойчивой при 0 < Н < Н .В работе [2] решена задача получения точной верхней границы Н.

© А. П. Жабко, Д. В. Зарецкий, 2004

= Аіх(і) + А2х(і - К)

(1)

ІМ + 9(^; у) — 0;

(2)

В данной работе предлагаются методы вычисления границы запаздывания обеспечивающей заданный запас устойчивости или колебательности.

Определение 1. Будем говорить, что система (1) обладает запасом устойчивости а, если для всех корней А квазиполинома (2) выполнено условие И,е(А) < —а < 0.

Задача 1. Найти максимальное запаздывание Н(а) такое, что для всех Н € [0, Н(а)) система (1) является асимптотически устойчивой с запасом устойчивости а.

Определение 2. Будем говорить, что система (1) обладает уровнем колебательности л, если для всех корней А^ = а^ квазиполинома (2) выполняется неравенство

Ке(А^-) < —л 1п(1 + \Рз |).

Задача 2. Найти максимальное запаздывание Н(л) такое, что для всех Н € [0, Н(р)) система (1) является асимптотически устойчивой и обладает уровнем колебательности л.

Теорема 1. Н(а) есть кусочно-непрерывная убывающая функция, определенная на промежутке а € [0,ао] (Н(ао) = 0), где —ао есть максимум вещественных частей корней уравнения (2) при Н = 0.

Введем обозначения

_ ___________9У{\ У) • ^.

(>) е™(/'(Х)+д'х(Х,у))-кд'„(Х,у)’ [>

1

Р(Х, Ь) =

С(А, Н) =

Ке(^(А, Н)У 1ш(Ё(Х, Н))

Рассмотрим систему

Ке(^(А, Н))'

К = Р(А,Н), (4)

\^а = 0(А,Н), ()

где А = а + гш.

Выделим три множества решений системы (4):

1) (Нд(а),шд(а)), в € II — решения системы (4) с начальными условиями Нд(0) =

щ, шд(0) = шд, где пара (Н§, А00 = гшд) является решением уравнения (2);

2) (Нд(а),шд(а)), в € 1ч — множество решения системы (4) для которых существуют а (ао < а < 0) и Н(0 < Н < Н) такие, что пара (Н8(а),Хэ = а + гшд(а)) является решением уравнения (2), удовлетворяющим начальным условиям Нд(а) = Н, Н'д(а) = то;

3) (Нд(а),шд(а)), в € 1з — множество решения системы (4) такие, что для некоторого а (ао < а < 0) справедливо Нд(а) = ж, д(а + гшд(а), 0) = 0.

Теорема 2. Максимальное запаздывание Н(а), обеспечивающее запас устойчивости а есть Н(а) = шт {Нд(а)}.

П/2П/3

Введем обозначения

#-(„,/,)= 111(1+1"|>

G{n, h) = 1П^ +

Re(F(A, h)) - 3^1 Im(F(A, h)) sign(w) ’

где F определяется равенством (3).

Рассмотрим систему

Г ^ = F(^, К),

IX = G(р, К).

Аналогично вышеизложенному можем выделить три множества решений (hs(p), us(p)) системы (5). Обозначим соответствующие множества индексов через (Ii,I2,1з).

Теорема 3. Максимальное запаздывание Н(р), обеспечивающее уровень колебательности р есть Н(р) = min _ {hs(p)}.

яеЛп/2п/з

Summary

Zhabko A. P., Zaretsky D. V. Stability of defferential-difference system with independent parameters.

The purpose of the work is obtaining limit borders delay at which the initial system remains asymptotic stable by Lyapunov. Two characteristics of stable systems are developed: a stability margin, an oscillation margin, the problem these sizes of estimations is also solved. The results obtained are developing the robust stability differential-difference systems theory of the delay type and may be used in the analysis of stability and synthesis of controlled dynamic systems regulators.

Литература

1. Жабко А. П., Харитонов В. Л. Методы линейной алгебры в задачах управления. СПб., 1993.

2. Харитонов В. Л. Определение максимального запаздывания в задачах стабилизации // Дифференциальные уравнения. №4. Т. XVII. 1982. С. 32-39.

Статья поступила в редакцию 18 марта 2003 г.

и