Построение области асимптотической устойчивости дифференциально-разностных уравнений в среде Matlab Текст научной статьи по специальности «Математика»

Построение области асимптотической устойчивости дифференциально-разностных уравнений в среде МДТЬДБ

А.П. Жабко, СПБГУ, профессор, [email protected];

У.П. Зараик, СПБГУ, аспирантка, [email protected].

Рассматривается приближение решения дифференциально -разностной системы решением разносной системы. Построено приближение области асимптотической устойчивости дифференциально-разностного уравнения. Описаны способы описания области в функциональном пространстве. Приведен конструктивный пример.

Введение

Рассмотрим дифференциально-разностную стационарную систему вида:

х(0 =/(х(0-х(£ - Г)),

(1)

где /(х(£), х(£ — Г)) - непрерывная функция своих аргументов, Г - время запаздывания, с начальной функцией где £ 6 [—Г; 0]. Будем предполагать, что система (1) имеет нулевое решение /(0,0) = 0 и линейное приближение у(£) = Лу(£) + Ву(£ — Г) экспоненциально устойчиво по Ляпунову.

Для построения области асимптотической устойчивости дифференциально - разностной системы уравнений запаздывающего типа был разработан подход, состоящий из двух этапов. Первый этап заключается в приближении решений дифференциально-разностной системы уравнений решениями разностной системы и оценки близости полученных решений. Второй этап состоит из построения области асимптотической устойчивости разностной системы уравнений и описания приближаемой области асимптотической устойчивости дифференциально-разностной системы, используя оценки приближения соответствующих решений, полученных на первом этапе.

Схема метода Адамса [1]

Предположим найдено несколько приближений х, в моменты времени х, = х(£у), ] = 0, ¿, £у = £0 + 7'Д. Требуется построить правило вычисления хг+1 « х(£^+1) на следующем шаге. Для этого проинтегрируем правую и левую часть системы (1) по промежутку [^¡-ц]:

х(11+1) = х(1д + Г(х(1),х(1 -

ТМ. (2)

Заменив подынтегральную функцию / (х (t) , х (t — Т) ) интерполирующим её многочленом Рк ( Ь) , будем считать, что дискретные приближенные значения

/} = Г(хрхТ]) « / - Т))

известными. При интерполировании назад из угла Ь ь имеем

Рк = РЛк + чЮ =

<?(<? +1) , = П + яАА-1 + чч2] а2Л-2

, ?(? + !)(? +2) '

+-^-А /¿_3 +

| (?((? + !)((? + 2) х ... х (д + /с — 1) + /с! А

из узла Рк = Рк(.Ь+1 + чЮ =

Я(ч + 1)Л21

, ?(? + !)(? +2)

+--А /¿-2 +

| д(д + 1)(д + 2) х ... х (д + /с — 1)

+ ^ А /г-к+1.

Подставим многочлены Рк ( Ь) , Рк ( Ь) в равенство (2), используя конечные разности, получаем формулы для вычисления очередного значения

(3)

(4)

На основании формул (3), (4) получаем два семейства методов Адамса.

Рассмотрим первое семейство методов (3). Сделав замену переменных Ь = Ь + цИ в пределах интегрирования, формулу (3) можно переписать в виде

Х + 1 = Х1 +

где

4 = | РЛк + цК)йЧ =

= Ш + у + (у + у) А2/-2

1 /V з<?4 11<?3 ,. А

24 \ 5 2 3

12 ' 6 ' 720'

Д/г-1 5Д2/_2 1 , 251

Таким образом, ограничиваясь методом Адамса четвертого порядка, получаем

*г+1 = *г + л(/г

(5)

Сделаем аналогичную замену в пределах интегрирования в (4) и, подставляя выражение многочлена под знак

интеграла, получаем равенство

х+1 = х + где

о

4= I рк(.ь + чН)с1ч =

= т+гЧ + у А/ + (у + у ) А2/-! + т(~т + ц3 + ц2 )АЗп

6 у 4

24 \ 5 2 3

^ А2/-1

2 12 24" 720"

1 /<?5 3q4 11<?3 , . л

Д2/_! 1 , 19 .

= /г+1 - тг--7Т1 - ТТА3Л_2 - — А4/-З +

Следовательно, схема вычисления следующего значения при интерполировании из угла выглядит следующим образом

*г+1 = д:г + Л (/г+1 - - ¿Л2/;-1 ~ ^Я-з)

(6)

Можно заметить, что первое семейство методов (5) является явным, а второе (6) неявным.

Предположим, что правые части уравнений раз

непрерывно дифференцируемые функции. Тогда ошибка на шаге составляет

хСЛ)

Д/сСО = (^+1)1 ^^ + ^х -х ь +

Таким образом, локальная погрешность метода (6), вычисляемая по формуле , составляет величину

порядка О (Ик+2 ) , а глобальная - О (И к+-1) . Величина погрешности для второго метода (5)

ЯкСО = Щ^^-Жч + 1) X - X (<? + /с)^-1,

Следовательно, справедливо следующее утверждение.

Утверждение 1. Локальная погрешность методов Адамса (5), (6) составляет О (Ик+2 ) и О (И к) соответственно.

Основной результат

Рассмотрим семейство разностных систем

уО + й) = у(0 + ^(уСО'УС^ - Л),... ,у0 - я)),

(7)

Линейное приближение системы (7) экспоненциально устойчиво, то есть справедливо предельное соотношение

при

где решение системы (7) при

Лемма 1. Для любого 0 < И < И 0 , существует И 0 такое, что линейное приближение системы (7) является экспоненциально устойчивым по Ляпунову.

Рассмотрим приближение области асимптотической устойчивости разностного уравнения и дифференциально-разностного уравнения

а£ = {х :хЕ {й\(С А) П | | х | | } < ^

В область асимптотической устойчивости разностного уравнения входят кусочно-непрерывные функции с

ограниченной первой производной | | (t)|| < S > 0, для которых выполнено условие стыковки

y(tfc) = <p(tk),

где tfc 6 [—Т; 0) - точки разбиения отрезка [- Т; 0) .

Лемма 2. Пусть ( t) 6 С?£, где е > 0 такое, что С£ ^ 0 .

Тогда для любого 5 > 0 3 hv R > 0 такое, что справедливо неравенство

| I Уь (R ,<Р ) I I г <5 V 0<h<hx.

Доказательство. 3 R: | | х (t, ) | | < -5 при t > R . Тогда Ы(П,<Р)\\ < \\yh(R,<p)-x(R,<p)\\ + \\x(R,<p)\\ <Khk+2^ + | | х (R ,<p ) | | .Если Th fc + 2^ то | | yh (R ,<p ) | | < 5 .

Теорема. V е>0 3 h 2>0 такое, что 0 < h < h 2 справедливо включение

с c/l'1.

Доказательство. V 0 < h < h0 линейное приближение системы (7) экспоненциально устойчиво, следовательно 3 р > такое, что

Согласно Лемме 2 5 = р , h 2 = min { h 0, h , следовательно

| | Уь (R,«P) | | г <Р при yh (R,?)6/.

Рассмотрим свойства области асимптотической устойчивости дифференциально-разностного уравнения сЛ:

• ПОЛОЖИТЕЛЬНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ Доказательство. Для любой начальной функции

( t) 6 С, следует что решение х ( t, ( t) ) определенно при и при .

• С - ОТКРЫТОЕ МНОЖЕСТВО

• С - СВЯЗНОЕ МНОЖЕСТВО Доказательство. Для каждого и из следует, что существует ( t) 6 С ( [—Т ; 0 ) ) при Я 6 [ 0 ; 1 ] такая, что

при и .

Методы описания области асимптотической устойчивости дифференциально-разностных систем

• Сечение области асимптотической устойчивости при t = —Т;

• Сечение области асимптотической устойчивости при t = 0;

• Огибающая области асимптотической устойчивости

• { (>1^2 , ■ ■ -Уп) : Ут = max t6 [ _ г;о ) I ^ ( О I , s = 1/п};

• Пространство среднеквадратичных значений

• { (9 1.<P 2.- ■ -.<¡0 n) ^в! ( 0 dtj;

• Эмиттанс

• p( t,x1( -. .,xn) = /D йц, где D = {q>6A,q>s( t) = xs,s = 1,n.

Пример

Рассмотрим реактор, состоящий из двух активных зон[2]. Пренебрежем запаздывающими нейтронами и температурными эффектами. Будем считать, что реактивность в зонах реактора зависит только от уровня мощности в зонах. Уравнения динамики имеют вид

I^ = -vXl(t)[l + хх(t)] - ax±{t) + ax2(t - T) I^ = -vx2(t)[l + x2(t)] - ax2(t) + ax±{t - T),

(8)

где I - время жизни нейтронов; a - коэффициент, характеризующий

связь между первой и второй активными зонами; v = /V, где х -величина отрицательного мощностного коэффициента реактивности, а V - мощность; Т - время запаздывания (v > 0,1 > 0, a > 0 , Т > 0).

Приведем результаты исследования данной системы уравнений на устойчивость двумя различными способами.

Первый способ заключается в аналитическом исследовании корней квазиполинома линейной части рассматриваемой системы (8), который имеет вид

QA + a + v)2 = a2emlT.

Таким образом, разрешая уравнения относительно Я, получаем следующий результат

a > 0 , система абсолютно устойчива

a < 0, система усточива при Т 6 [0 ; f] .

Здесь f = 1 ( 2|+2 д=, где вв = arc t а (V v О + 2 g2) и a < — ^v.

2,/-vO+2a)' ^ °v a+v ' 2

Очевидно, устойчивость решения системы зависит от параметров системы ( a, v, Z, Т). Данный вывод улучшает результат исследования области асимптотической устойчивость полученный в [2], с помощью теоремы Красовского и функций Ляпунова. На рисунке 1 показана зависимость параметров a — v системы при

исследовании на устойчивость с помощью квазиполинома системы (8).

Второй способ заключается в построении области асимптотической устойчивости системы с запаздыванием с помощью вышеизложенного метода Адамса в среде MATLAB. Построение графиков и их анализ подтверждают существование зависимости области асимптотической устойчивости от параметров системы.

Описание программы

Задавая определенные параметры ( а, V, I, Т) системы (8), программа обрабатывает данные, строит график решения с помощью метода Адамса и выводит заданные проекции области асимптотической устойчивости.

1000

900

800

700

600

¡! 500

400

300

200

100

0 -5'

Рис. 1. Зависимость параметров системы а — V

Покажем на рисунках некоторые графики, получаемые с помощью программы реализованной в МЛЬЛВ, а также некоторые способы визуализацию области асимптотической. На рис. 2. изображено сечение области асимптотической устойчивости системы (8), где область асимптотической устойчивости дифференциально-разностного уравнения без ограничения на производную (множество В) и область асимптотиче-

ской устойчивости дифференциально-разностного уравнения с ограничением на производную (множество C)

I I в (t) I 1 = 1 .

На рис. 3 представлена огибающая области асимптотической устойчивости, по осям X (—Т) , X2(—Т) - координаты начальной функции в ( t) в точке t = — Т . Множества точек B и C определяются также,

begin initial function, derivative =1

7001-1-1-1-,-1-1-

"аЬ52" |Х,|

Рис. 2. Сечение области асимптотической ус-

тойчивости при £ = — Г. .

"Ьмп"Х.|-П

Рис 3. Огибающая области асимптотической

устойчивости

На рис. 4 изображен эмиттанс, который показывает распределение плотности точек на поверхности области асимптотической устойчивости. Чем светлее поверхность, тем больше плотность точек, которые принадлежат области асимптотической устойчивости.

-1 -0.9 0.8

Ч 0.7

"end" Х2(0)

Рис 4. Эмиттанс области асимптотической устойчивости дифференциально - разностной системы (8).

Второй способ построения области асимптотической устойчивости был реализован в среде MATLAB. Таким образом, подтвердился результат, полученный при аналитическом исследовании квазиполинома системы (8). Приведенные способы описания области асимптотической устойчивости дифференциально-разностных системы дают более полную картину при исследовании системы на устойчивость. Полученный результат можно рассматривать как основу для написания раздела в MATLAB, посвященной реализации исследования дифференциально -разностных систем.

Литература

1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. 600 с.

2. Горяченко В.Д. Методы теории устойчивости в динамике ядерных реакторов. М.: Атомиздат, 1971. 264 с.