О приближении решений экспоненциально устойчивых систем дифференциально-разностных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сер. 10. 2011. Вып. 3

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 517.962

A. П. Жабко, У. П. Зараник

О ПРИБЛИЖЕНИИ РЕШЕНИЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНО УСТОЙЧИВЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Введение. Метод функционалов Ляпунова является одним из основных способов исследования устойчивости систем с запаздыванием [1]. В работе [2] были описаны конструктивные методы построения функционалов полного типа для стационарных систем с несколькими запаздываниями и приведены квадратичные оценки для полученных функционалов. Для линейных дифференциально-разностных систем с периодическими коэффициентами вопросы существования матрицы Ляпунова и ее свойства, робастная устойчивость таких систем и методы вычисления матрицы Ляпунова были рассмотрены в [3]. Приближение решения дифференциально-разностной системы решением разностной системы с помощью метода Адамса было предложено и обосновано в [4].

В данной статье изучаются нелинейные системы с одним сосредоточенным запаздыванием, линейное приближение которых экспоненциально устойчиво. Излагается обоснование возможности приближения области асимптотической устойчивости системы дифференциально-разностных уравнений, имеющей экспоненциально устойчивое линейное приближение, на основе построения области асимптотической устойчивости соответствующей разностной системы.

Приведен иллюстративный пример применения метода Адамса для построения области асимптотической устойчивости и описаны различные способы представления этой области в функциональном пространстве.

Вспомогательные утверждения. Рассмотрим стационарную дифференциальноразностную систему вида

x(t) = f (x(t),x(t — H)), (1)

где x e Rn; f - векторная дважды непрерывно-дифференцируемая функция, определенная в пространстве R2n; H - постоянное положительное запаздывание. Предположим, что f (0, 0) = 0, т. е. система (1) имеет нулевое решение, и линейное приближение этой системы

x = Ax(t) + B x(t — H)

Жабко Алексей Петрович — доктор физико-математических наук, профессор кафедры теории управления факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 90. Научные направления: дифференциально-разностные системы, робастная устойчивость, анализ и синтез систем управления плазмой. E-mail: [email protected].

Зараник Ульяна Петровна — аспирант кафедры теории управления факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Научный руководитель: доктор физико-математических наук, проф. А. П. Жабко. Количество опубликованных работ: 9. Научное направление: дифференциально-разностные системы. E-mail: [email protected].

© А. П. Жабко, У. П. Зараник, 2011

экспоненциально устойчиво. Здесь

- = д/(и,у), ~ = д/(и,у),

ди 1«=«=0'

Используем обозначения из [2]: х(Ь] или х(Ь,1о,ф) - решение системы с начальной функцией ф; или ж^о, 92) - отрезок решения системы = {ж(т, ¥>) : 1 — Н ^ г ^ ^};

||ж|| = \]х\ + • • • + ж2, где ж^ - компоненты вектора ж; Цж^я = 8иР(;-я<т<411ж(т)11- Под экспоненциальной устойчивостью будем понимать существование такого числа Ь > 0, что для любых начальных функций |ф||н < Ь при 4 ^ = 0 справедливо условие

\\х(1, 0,ф)|| < ае-в-Мн,

где а и в - некоторые положительные числа. Далее будем считать начальную функцию ф определенной, непрерывной и непрерывно-дифференцируемой на промежутке [-Н; 0]. Под областью асимптотической устойчивости будем понимать множество

А = {ф(а) € С 1([-Н; 0]) : х(Ь, 0, ф) —> 0 при 4 ^ то}.

Известны следующие свойства области асимптотической устойчивости [5]:

1. Положительная инвариантность: для любых допустимых начальных ф € А следует, что решение х(Ь, 0, ф) определено при 4 ^ 0 и хг(0,ф) € А.

2. Множество А - открытое множество.

3. Множество А - связное множество, т. е. для любых начальных функций ф и ф €А существует такая начальная функция ф\(Ь) € С1([-Н; 0]), непрерывная по Л, Л € [0; 1], что ф\(Ь) € А при Л € [0; 1], когда фо(Ь) = ф(Ь) и ф\(Ь) = ф(Ь).

Основные результаты. Введем следующие множества:

Лк = {ф €А: и (Я, ф) сА},

здесь и (К, ф) - -^-окрестность функции ф в пространстве С1, т. е.

и (Я, ф) = { ф(а) е С\[-Н; 0]) : \[ф - ф\\н < ±

дф дф да да

1

н < К

Обозначив

Рк = { х(г,0, ф): \\х(г,0,ф)|| < Я при 4 > -Н, \\х(г',0,ф) - х(г",0,ф)|| < мцг1 - г"\\, М = (ф(0),ф(-Н))| } ,

рассмотрим множество функций Бк = Ркр| Лк, где Рк = {ф : х(Ь, ф) € Рк}. Из способа определения множеств Бк следует

Лемма 1. Множество Бк - компактное множество в пространстве С1. Следствие. Для любого вещественного Я > 0 существует Т(Я) такое, что для всех функций ф € Бк выполняется неравенство

Цх(Ь, 0, ф)\\ < Ь при 4 > Т.

Теорема 1.

А = ^1 Бк.

к=1

Доказательство. С одной стороны, по определению множества SR = PR р| Ar, верно включение A D SR. С другой стороны, если функция ф{-) G A, то решение системы (1) экспоненциально устойчиво, а значит, существует R : \\x{t, 0,ф)\\ ^ R, а также выполнено условие Липшица с константой M(R). Следовательно, по определению множества Ar, функция ф{-) G Ar. Таким образом, верно обратное включение A С SR, что доказывает теорему.

В статье [6] был предложен алгоритм построения области асимптотической устойчивости разностной системы.

Рассмотрим некоторое решение системы (1) X{t) = x{t, 0,ф) с начальной функцией Ф GA. Система уравнений в отклонениях от этого решения при t ^ 0

z{t) = f {z{t) — X{t), z{t — H) — X{t — H)) — f {x{t), X{t — H)).

Линейное приближение относительно z{t) существует и имеет вид

z{t) = A{t)z{t) + B{t)z{t — H), (2)

причем

. df {u, v) i ~

A(t) = — ------1 „ = m —> А при t —> +oo,

du v = x(t - H)

п/ ч df {u, v) i ~

B(t) = —------------1 „ = m —> В при t —> +oo.

av v = x(t - H)

Система (2) экспоненциально устойчива, значит, существует такой квадратичный функционал v0{t, ф), что

dv0(t,z)l

Jt----1(2) = -wo{z(t)), (3)

здесь wo{z{t)) - положительно-определенная функция

wo{z) = zT Woz.

Если z{t,to, ф) - решение задачи Коши системы (2), то интегрируя (3)

У0(Ьо,ф)=! юо^^^о^))^. (4)

Ьо

Следуя идеологии работы [2], подставим общее решение [7] системы (2)

о

%('^о,ф) = К(4, ^ф^о) + J К(1^0 + 0 + Н)В^о + 0 + Н)ф(Ьо + 0)д0,

-H

где фундаментальная матрица K{t,T) удовлетворяет уравнению dK{t, s)

dt

и начальному условию

= A(t)K(t, s) + B(t — H)K(t — H, s) при t ^ s

K(t, s) = 0 при t < s

K (s,s) = E

ЗІ

в равенство (4). Собирая подобные члены, получаем

о

^о(Ь, ф) = фТ(Ьо)и(Ьо, Ьо)ф(Ьо) + 2фТ(Ьо) ^ и(Ьо, Ьо + 0 + Н)В(Ьо + 0 + Н)ф(Ьо + 0)д0 +

-н

о о

+ J ^ фТ(Ьо + 01)ВТ(Ьо + 0 + Н)и(Ьо + О1 + Н, Ьо + О2 + Н)В(Ьо + 0 + Н)ф(Ьо + 02)д01д02, -н -н

где матрица Ляпунова для системы (2) определяется равенством

сю

и (Т1,Т2)= J Кт (Ь,п)Шо К (Ь,Т2)дЬ. (5)

шах{т1 ,Т2}

Выберем функционал полного типа

о

ю(г4) = гт(Ь)^ог(Ь) + гт(Ь - Н)Ш1г(Ь - Н)^ гт(Ь + 0)Ш2г(Ь + 0)д0

-н

и построим функционал у(Ь, гг), удовлетворяющий равенству

ди(Ь, гг)

дЬ

= -ю(гг).

(2)

Лемма 2. Если система (2) является экспоненциально устойчивой, то производная функционала

о

у(Ь, гг) = гт(Ь)и(Ьо, Ьо)г(Ь) + 2гт(Ь) ! и(Ь,Ь + 0 + Н)В(Ь + 0 + Н) х

-н

о о

х г(Ь + 0)д0 + ! гт(Ь + 01 )Вт(Ь + 01 + Н) ^ и(Ь + 01 + Н,Ь + 02 + Н) х -н -н

о

х В(Ь + 02 + Н)г(Ь + 02)д02 д01 гт(Ь + 0)[Ш1 + (Н + 0)Ш2]г(Ь + 0)д0

-н

вдоль решений системы (2) равна -т(гг).

Здесь и(т1,т2) определяется формулой (5). Справедливость леммы проверяется непосредственным дифференцированием. Так как система (2) экспоненциально устойчива, то фундаментальная матрица \\К(Ь,Ь)\\ ограничена экспонентой с отрицательным

ОО

показателем, поэтому интеграл в правой части равенства у(Ь,г(Ь)) = / ю(г(Ь,Ьо,ф))дЬ

го

абсолютно сходится.

Положим шаг h = jf, где N - натуральное число, и рассмотрим разностные схемы y{t + h) = y{t) + hA{t)y{t) + hB{t)y{t — H) с непрерывным временем t ^ 0 и

yk+1 = yk + hA{kh)yk + hB{kh)yk-N (6)

с дискретным временем k = 0,1,.... Введем непрерывную, кусочно-линейную функцию l{t, ф), значения которой в узловых точках t = mh {m = —N, 0) совпадают со значениями непрерывно-дифференцируемой векторной функции <^{t), а при к = 1, 2,... являются решением системы (6). Пусть Y = со1оп{ф{0), ф{ — К),..., ф{—H)). Определим функцию V{к, Y) = v{kh, l0{0, ф)).

Теорема 2. Верны следующие утверждения:

1) V{k,Y) - положительно-определенная функция;

2) на множестве определенных на отрезке [—H; 0] непрерывных и непрерывнодифференцируемых функций ф{а), удовлетворяющих условию

\\ф\\н < ( suP \\A{t )|| + sup \\B{t )||)||ф||н,

t'^0 t'^0

функция W{k, Y) является отрицательно-определенной при k ^ 0 и при достаточно малом h > 0. Здесь

W {k, Y) = V {k + 1,Y) — V {k, Y),

где Y = colon (A{kh^{0) + B{kh^{—H), ф{0), ф—H + h)).

Доказательство. Так как w{zt) - положительно-определенный функционал = —w(zt), найдем такое /3, чтобы было выполнено неравенство +

(2)

2f3v(t, zt) ^ 0. Оценив w(zt) ^ ц\\z(t)\|2 + ц\\z(t — Н)||2 + ц j°_H \\z(t + в)\\2с1в, получим для v(t, zt)

0 0 0

|2

dt

v{zt) < q\\z{t)\\ +2 J \\z{t)\\\\z{t + 0)d0 + qB J \\z{t + 01)\\d01 J \\z{t + 92)\\d^2 +

-H -H -H

o o

+ p,{1 + H) j \\z{t + #)\\2d# ^ q\\z{t)\ \ + qHB\\z{t)\ \ + qB J \\z{t + @)\\d0 +

-H -H

0 0

+ qB2 H j \\z{t + @)\\d0 + p,{1 + H) J \\z{t + 0)\\2 d0 = q{1 + BH)\\z{t)\\2 +

-н -н

о

+ [В + сВВН + р,(1 + Н)\ '^ \\г(Ь + 0)\\д0.

-н

о

Сравнив коэффициенты при \\%(Ь)\\2, \\г(Ь + 0)\\2 и J \\г(Ь + 0)\\2д0, будем иметь сле-

-н

дующую систему неравенств:

—/х + 2/3</(1 + ВН) ^ О,

—ц ^ О,

—/л + 2/3(дБ + (/В2 + д(1 + Н)) ^ 0.

Система совместна, следовательно, существует такое

во = т\п{^[2д(1 + ВН)]-1, ц[2дВ + 2дВ2Н + 2ти(1 + Н)]-1}, для которого верно неравенство 2/?г>(£, гг) <0.

+ у(г, ^ 0. Для этого используем

Покажем выполнение неравенства

подход, описанный в статье [2]. Рассмотрим %{Ь,г1) = у(г,г^ — уи>(г1). Производная вдоль системы (2) есть

Зю(Ь,гг) 3ли(гг)

- -ю^) = -ю^) - 7-

3г

(2) 3Ь

где Ли>^ = 2гТ\Уо\А(1,)г(1) + B(t)z(t — Н)] + гт (1,)\У\г(1) — zт(t — Н)Ш2г1(Ь — Н). Сле-

<а

довательно

о

гЬ(хг) = [гт(г), гт(г — Н)]М(у)[гт(г), гт(г — Н)]т + ^ гт(г + 6)Ш2г(г + 6)36,

-н

Здесь МЫ = (Щ 0 ^ . (ШоА(г) + Ат(г)Шо + Ш1 Ш1В(гА

здесь м (у) ^0 щ] + ^ Вт(г)Ш1 —Ш2) .

Матрица М(0) > 0, так как Шо, - положительно-определенные матрицы. Пусть

у* - наименьший положительный корень уравнения 6.е1(М(7)) = 0. Тогда матрица М(’у) > 0 для любого 7 € (0; 7*), значит, хи^) ^ 0, таким образом, у(г, ^ уи>(г1).

Неравенства х^) + 2@ю(г,г^ ^ 0 и у(г,г^ ^ уи>(г1) доказывают, что матрица

у(г,гг) положительно определена для г > —Н. Система (2) экспоненциально устойчи-

ва и у(г,г^ - положительно-определенный функционал, следовательно, на множестве функций 1(0,ф) функционал у(кН,1(0,ф)) = V(к, У) положительно определен, а в точках г = кН значения функционала V(к, У) и ь(г,г^ совпадают с точностью о(Н2). Отсюда следует справедливость утверждения 1) теоремы.

Рассмотрим утверждение 2) теоремы. Определим числа

а = эир ||А(г)||, Ь = эир ||В(г)||, и = тах \\и(г1,г2)\\

Г^о Г^о Т1 > о

Т2 ^ о

и представим функцию Ш(к, У) в виде

Ш(к, У) = у((к + 1)Н, 1н(0, ф)) — у((к + 1)Н, г(к+цк(кН, 1о(0, ф))) +

+ ь((к + 1)Н, г(к+1)н(кН, 1о(0, ф))) — у(кН, 1о(0, ф)).

При г + кН € [—Н; 0] справедливо тождество г(г, кН, 1о(0, ф)) = 1(г — кН, ф), а при г € [кН; (к + 1)к] векторная функция г - дважды непрерывно дифференцируемое решение системы (2). Поэтому при г € [кН; (к + 1)к] имеем

г(Ь) = г(кк) + (£ — к1г)(А(к1г)г(к1г) + В(кН)г((к — М)1г))) + — (£ — кН)2 г" (£)

= l{t — kh, ф) + -(t — kh)2z"i£),

причем |||(t - kh)2z"(£)\\ < \h2ia + b)2\\Lp\\H.

Оценим первую разность в представлении функции W(k, Y) с учетом вида функционала v((k + 1)h, lh(0, ф)):

v ((к + \)h, lh(0, ф)) = yT ((к + l)h, lh(0, ф)) U(to, to)y((k + l)h, lh(0, ф)) +

0 (i+l)h — H

+ 2y (t,lh(0,ф)) X )] f U(t,t + в + H)B(t + в + H)y (t + в,ф(0,ф)) ddh +

i=k-1 ih-H

0 (i+l)h-H o (j+1)h-H

+ У ' J yT ((k + i)h,lh(0, ф)) BT(t + в + H) £ J U(t + в1 + H,t + в2 + H)x

i=-k ih-H j=-k jh-H

X B(t + в + H)y((k + j)h, lh(0, ф)) +

0

+ y ((k + i)h, lh(0, ф)) [Wi + (H + ih)W2] y (kh + ih, lh(0, ф)) h,

i= - k

тогда

\v((k + фЬ.фф0^^ — v((k + l)h, Z(k+l)h(kh, lo(0, ф))) | < KiWh^^^Hh2,

где Кг = \u{H + H2) (4(а + Ъ)2 + ft2 (а + Ь)4) \\ф\\2н.

Оценим вторую разность в представлении функции W(k,Y):

v((k + фф z(k+1)h(kh lo(0, ф))) — v(kh lo(0, ф)) = —w(z^(kh, lo(0, ф)))Ф

при £ £ [kh;(k + 1)Ь]. С учетом условия \\Z(r,kh,lo(0^))\\ < (a + b)||y>||H при т £ [kh — H; (k +1)h] можно получить

шффкф1о{0,ф))) > J^+Ъ)^

при 0 < h(a + b) < 1, £ £ (kh; (k + 1)h). Здесь ц - наименьшее собственное число матриц Wo, W1, W2.

Следовательно,

W(k,Y) < C max

j=o,1,...,N

где

!л(1 — h(a + b))3

C=h

— hK1

> 0

3(а + Ь)

при к < пип1 24кЦа+ь)} • ТеоРема доказана.

Приблизив решение системы (2) с помощью явного метода Адамса [8], получим формулу для нахождения значения функции у((к + 1)Н) на следующем шаге Н. Величина шага 1г вычисляется по формуле 1г = -Ц, в которой N - количество точек разбиения отрезка [—Н ;0]:

у ((к + 1)К) = у (0) + К

к-1

+

[л(кК)у(0) + В(кК)у(кК - Н) + А(0)у(0) + В(0)у(-Н) "^2(л(іК)у(0) + В(іК)у(ІК - Н)) + о(К2).

+

і=1

Пример. Рассмотрим дифференциально-разностное уравнение вида х(Ь) = —2х(Ь) + х(Ь — Н) + х3 (Ь — Н).

С помощью метода Адамса четвертого порядка

1

5

1

251

%і+1 — + Ь ( /і + -Д/г_1 + —А 2 + -А /і-3 + зтггА /г_

12

6

720

где / - нелинейная функция, стоящая в правой части данного уравнения, приблизили решение уравнения решением разностного уравнения. В среде МЛТЬЛВ была построена область асимптотической устойчивости дифференциально-разностного уравнения. Так как полученная область является областью в функциональном пространстве, приведем графики проекций области в трехмерном пространстве. На рис. 1 изображена проекция области асимптотической устойчивости на координатные оси вектора X (х^, хN-1, хN-2). Таким образом, можно заметить, что область представляет собой куб.

Рис. 1. Проекция области асимптотической устойчивости

На рис. 2 приведена зависимость конфигурации области от параметров величины запаздывания Н и ограничения на норму решения Я.

В статье [4] были представлены и другие методы описания области асимптотической устойчивости в функциональном пространстве. Так как область асимптотической устойчивости содержится в некотором функциональном пространстве, то возникает проблема ее описания.

Методы описания области асимптотической устойчивости:

1. Сечение области асимптотической устойчивости при Ь = 0.

2. Сечение области асимптотической устойчивости при Ь = —Н.

4

Рис. 2. Проекция области асимптотической устойчивости в координатах H, R, X

3. Огибающая области асимптотической устойчивости

Dn) I ys = max ||^s(t)||,s = 1 ,N}.

tE [—H;0]

4. Пространство среднеквадратичных значений

0

{(W, W, ■■■, Ш) I Ws = J

—H

5. Эмиттанс

p(t,x 1,... ,xn) = J d/i, где D = tp e A, ips(t) = xs, s = 1, N.

D

Заключение. Предложенный в работе математический аппарат позволяет обосновать алгоритм приближения области асимптотической устойчивости дифференциальноразностной системы уравнений последовательностью областей асимптотической устойчивости, построенных для специального семейства разностных систем. Действительно, для любого R > 0 существует такая величина h(R) > 0, что для любого 0 < h < h(R) область асимптотической устойчивости нулевого решения системы

y(t + h) = y(t) + hf (y(t), y(t - H))

содержит множество Sr, введенное выше.

Аналогичным образом можно ввести множества SR,h, содержащиеся в связной части области асимптотической устойчивости соответствующей разностной системы, которая содержится в множестве A, что и доказывает сформулированное выше утверждение.

Рассмотренный пример иллюстрирует предложенный подход построения области асимптотической устойчивости разностной системы уравнений для соответствующей дифференциально-разностной системы на основе метода Адамса [4].

1. Красовский Н. Н. О применении второго метода Ляпунова для уравнений с запаздыванием времени // Прикладная математика и механика. 1956. Т. 20. C. 315—327.

2. Харитонов В. Л. Функционалы Ляпунова с заданной производной. I. Функционалы полного типа // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2005. Вып. 1. С. 110-117.

3. Letyagina O. N., Zhabko A. P. Robust stability analysis of linear periodic system with time delay // Intern. journal of modern physics A. 2009. Vol. 24, N 5. P. 893-907.

4. Жабко А. П., Зараник У. П. Об одном способе приближения области асимптотической устойчивости дифференциально-разностных систем // Вестн. Мордов. ун-та. Сер. Физико-математические науки. 2011. Вып. 1. С. 43-48.

5. Бузлукова Ю. А. Область асимптотической устойчивости решений систем дифференциальноразностных уравнений // Труды Средневолжск. матем. об-ва. 2004. Т. 6, № 1. С. 204-215.

6. Зараник У. П. Построение области асимптотической устойчивости разностных систем // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2005. Вып. 2. С. 11-15.

7. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения / пер. с англ. А. М. Зверкина, Г. А. Каменского; под ред. Л. Э. Эльцгольца. М.: Мир, 1967. 548 с.

8. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: Наука, 1987. 600 с.

Статья принята к печати 10 марта 2011 г.