CC BY
24
М.А. Чешкова
Об изометрии вдоль нормали
УДК 514.75
Ключевые слова: гиперповерхность, гауссова кривизна, гиперсфера, гиперпараболоид.
Key words: hypersurface, Gaussian curvature, hypershere, hyperparaboloid.
Рассмотрим две гиперповерхности M, M в евклидовом пространстве Em+1 и отображение : M ^ M вдоль нормали n к M.
M
кает изометрию вдоль нормали, то в окрестности точки p G M, где гауссова кривизна от-M
1) либо гиперсфера,
2) либо гиперпараболоид.
1. Основные формулы. Обозначим через r радиус-вектор точки p G M. Тогда
r = r + hn, h ф О, (1)
где n - орт нормали к M\r- радиус-вектор точки p = <y{p) G M.
Обозначим F(M) - Д-алгебру дифференцируемых на M функций; Tq - F-модуль дифференцируемых на M тензорных полей типа (q, s); x(M) - алгебру Ли векторных полей па M; д — дифференцирование и <, > - скалярное произведение в Eт+1.
Формулы Гаусса-Вейнгартена гиперповерх-M
дх Y = Vx Y + b(X,Y)n, (2)
дх n= -AX,
где A G Tl(M), X, Y G x{M), b G T${M), b X, Y A
оператор Вейнгартена, V - связность Леви-Чнвпта метрики g(X,Y) =< X,Y >. Выполняются уравнения Кодацци
dA(X,Y) = 0, (3)
где dA(X, Y) = VX AY-VYAX-A[X, Y] - внеш-
AV Дифференцируя (1) и используя (2), получим
d,vX = X + Xhn - hAX, (4)
X G x{M).
Отображение у индуцирует на M метрику g(X, Y)=< dyX, dyY >= (5)
g{X,Y) - 2hg(X,AY)+
Н2д(АХ, АУ) + ХНУН.
Пусть I = 1,...,ш) - собственные значения (некоторые из которых могут совпадать) оператора А; Х1 ортонормированный базис из собственных векторов. Тогда
АХ1 = к1 Х1,
кТ — главные кривизны; ХI - главные направления гиперповерхности М. Тогда из (5) получим
ди = Х Н)Х Ь),1ф.1- (6)
дП = (Х1 Н)2 + (1 — Нк1)2.
Лемма 1. Если отображение у : М ^ М вдоль нормали п к М - изометрия, то гипер-М
ности > т — 1.
Доказательство. Требуя, чтобы отображение у было изометрией, получим
(1 — Нк^ + Х Н)2 = 1; (7)
(Х1 Н)Х Н) = 0, 1ф^
Из (7) следует, что либо Х1 Н = ОД 1 — Нк1)2 =
1,1=1,..., т Нк1(2 — Нк^ = 0,( Нк1 ф 0);
кх = ... = кт = к= \,Х1 к = 0, (8)
Н
либо Х^Н = 0, г = 1,..., т — 1, ХтН ф 0. В этом случае имеем
ХН = 0, г = 1,..., т — 1, (9)
2
к1 = ... = кт-г = к= -, (10)
Н
причем
Х^к = 0, г = 1, ...,т — 1. (11)
Лемма доказана.
Следствие 1. Если отображение у : М ^ М вдоль нормали п к М - изометрия, то ги-М
ловая гиперповерхность.
Доказательство. Если все главные кривиз-
М
сфера радиуса К = щ. Если кратность главной кривизны к равна т — 1, то гиперповерх-М
Об изометрии вдоль нормали
семейства гиперсфер радиуса К которых имеют вид
Щ, центры
С =
Действительно, в силу (11), (2) имеем
дxiС = Хг + кдxiп = 0. Таким образом, М
верхность [2].
Следствие 2. Если отображение у : М ^ М вдоль нормали п к М - изометрия и гиперповерхность М есть гиперсфера, то М = М у
персферы.
Доказательство. Действительно,
1
г = С — — п, к
г = г + Нп = г ■
С
1
кк
Лемма 2. Если отображение у : М ^ М пМ
М
ния.
Доказательство. Положим Хт = и, кт =
к. Рассмотрим уравнения Кодацци ЗЛ(Хг, и) = 0. Имеем
(Хгк) + кУх% и — (ик)Хг — кУиХг —
к( Ух<)Т — Ц Ух<) - +
к( У и Х0 т + Ц У и Х0 - = 0,
где ^ = Zт + Z-; Zт принадлежит распределению Дт-1 = {X, ...,Хт-1}, принадлежит распределению Д1 = {и}. Имеем
(ХгЦи — (к — к) (у и хо - = о,
(ик)Хг — (к — к) (Ух„ и)т = 0.
Тогда из (7) следует
(иН)2 — 2Нк + Н2к2 = 0,к = кт. (12)
Дифференцируем (12) вдоль Хг и используем (10). Имеем
{иН){ХгиН) = НХгк — НкХгк. (13)
Для определения ХгиН дифференцируем равенство ХгН = 0 вдоль и.
Так как УхУ — УуX — [X, У} = 0, то получим
ихгН = ХгиН + (Уи Хг — УХг и)Н = Х&Н+ (У и Хг — Ух„ и) -Н = 0.
Вектор и - орт. Откуда вытекает (У^ и)- = 0.
Имеем
ХиН= —Уи Х0-Н = Из (13), (14), (10) получим
Хгк к-к
иН.
Хг к- к
Нк — Н
Хк
(Хг кЩН — 1) = —г- = о.
к
Таким образом,
Хгк = 0, Хгк = 0,г = 1,..., т — 1. (15)
Соотношения (15) есть достаточное условие [3], чтобы каналовая гиперповерхность была гиперповерхностью вращения.
М
гиперповерхность вращения в Ет+1 . Обозначим через г радиус-вектор точки гиперповерхности, а - орт оси, а через р - радиус-вектор т—
М
г = итр(и\ ...,и
т — 1\
/а,
где / = /(иг‘ , ит Имеем
и, ...,ит - параметры.
дифференцируемая функция,
п = итрг, (г= 1, ..., т — 1),
Гт = / 'а + р,
/' Р — а п= ----, :,
V/О2 +1 /'
к—
к
ит^ / О2 + 1 /"
- --. —Г
/1
итл/ / 02 + 1 /"
(16)
(у/Г + 1)3' М
Г = —итр(и1,...,ит-1)
, , 2ит,
(/ + /Г)а.
Требуя, чтобы
дтт = 1 ""Ь (/
Г
т
т
2ип
f'
— gmm — 1?
получим
f
2um
f'
= (f'
k= —
C,n = 2C\
ViCuy-
2Ciup — a V(2Cvuf H
=-h^v
1
1
hn = —2 up+ —a.
C
Таким образом, уравнения гиперпараболоидов M, M имеют вид
Откуда имеем два решения: f = C1(umf + C,
{f — Cl)2 + (umf = C2, CbC2 = const.
В плоскости меридиана {p, a} - это парабола или окружность, центр которой находится на оси {O, a}.
M
болоид, либо гиперсфера. Теорема доказана. Обозначим um = u. Из (8), (16) имеем
r = ump(u1
f{um) = Ci(u
f(um) a; -C2;
r = —ump(u1,..,um-1) 1 ..
fu
C
Итак, получаются следующие предложения.
М
М
Следствие 4. Отображение у : М ^ М
т—
мерной параллели и последующего сдвига вдоль оси на величину С-
Библиографический список
т\2
1. Кобаясн Ш. Основы дифференциальной геометрии / Ш. Кобаяси, К. Номидзу. - М., 1981. Т. 2.
2. Шуликовский В.И. Классическая дифференциальная геометрия / В.И. Шуликовский. - М., 1963.
3. Чешкова М.А. Об одном характеристическом свойстве гиперповерхности вращения в евклидовом пространстве Еп / М.А. Чешкова // Вестник Барнаульского гос. пед. ун-та. - 2002. - Вып. 2.
