Об отображении гиперповерхности вдоль нормали Текст научной статьи по специальности «Математика»

Об отображении гиперповерхности

УДК 514.75

М.А. Пешкова

Об отображении нормали

Рассмотрим две гладкие гиперповерхности М.М в евклидовом пространстве Ет+1 и диффеоморфизм у? : М —»• М вдоль нормали к Л/.

Изучению отображения : М —» М вдоль нормали к М посвящен ряд работ. Изометрия гиперповерхности вдоль нормали рассмотрена в [1]. Доказано, что если в окрестности точки р € М гауссова кривизна гиперповерхности Л/ С Ет+1, отличная от нуля, то А/, М - локально либо гиперсферы, либо гиперпараболоиды вращения. В [2] изометрия вдоль нормали изучается в Еъ. В [3] исследовано конформное отображение гиперповерхности вдоль нормали. Отображение цилиндра в Е3 вдоль нормали, конформное и сохраняющее площадь, рассмотрено в [4]. Лаплас-сиан функции 1г расстояния между соответствующими точками изучается в [5].

В настоящей работе изучаются свойства гессиана функции Л.

Обозначим через г - радиус-вектор точки р £ М, п - орт нормали к М, г - радиус-вектор

ТОЧКИ р — Iр(р) £ М.

Тогда диффеоморфизм <р : М -> М задается формулой

г = г + Лп. (1)

Обозначим Е(М) - Л-алгебру дифференцируемых на М функций, 27 - ^-модуль дифференцируемых на М тензорных полей типа (17,5), х(М) - алгебру Ли векторных полей на М, д - дифференцирование и <,> скалярное произведение в Ет+1.

Формулы Гаусса-Вейнгартена гиперповерхности М имеют вид [б. с. 36]

дху = ЧхУ + Ь(Х,У)п, (2)

дхп = -АХ,

А е Т{(М,)Х:У € х(М),ъ е т%(м),

где Ь(Х,У) = д[АХ,У) = д{АУ,Х) - вторая фундаментальная форма гиперповерхности; А - оператор Вейнгартена; V - связность Леви-Чивита метрики д(Х,У) =< Х,У >.

Дифференцируя (1) и используя (2), получим

¿<рХ = X + ХИп - (3)

Отображение <р индуцирует на М метрику

д{Х,У)=<<1^Х^<рУ >- (4)

гиперповерхности вдоль

д(Х,У)-2Нд(Х,АУ) +

к2д{АХ, АУ) + ХЬУН.

Пусть /г/(/ = 1,...,т) - собственные значения симметричного оператора Л; А'/ — орты главных направлений. Тогда АХ/ = X/ Из (3), (4) получим

ди = {Х!к)(Х^),1ф1 (5)

9п = (Х111)'1 + [\-Нк,)\

Лемма. Если М,М - гиперповерхности в Ет+1, отображение <р \ М М есть отображение вдоль нормали. Тогда гессиан Н функции Л в связности Леви-Чивита метрики д(Х,У) =< (1<рХ,с1<рУ > удовлетворяет соотношению

(1 -Н1и)Ъ{Х1,ХЛ+ (6)

Н(Х1,Х^ = Ь(Х,,Х^а,

где а - косинус угла между нормалями гиперповерхностей М, М в соответствующих точках; Ь - вторая фундаментальная форма гиперповерхности М.

Доказательство. Пусть Ь* (с!<рХ, скрУ) = 6(А", У) - вторая фундаментальная форма гиперповерхности М; V -связность Леви-Чивита метрики д;п - орт нормали гиперповерхности М. Тогда

дх<ЬрУ -<1<рЪхУ = (7)

Ь(Х, У)п.

Используя уравнения Гаусса-Вейнгартена (2) и (3), имеем

-(XI{hkJ))XJ + (1 - ЛЪ)(Чх,Хл + Ь{Х1\Хз)п)-¥[Х1ХЛ)п-

(Ъх,Х1Г1)п = Ъ(Х1,Х^п. Умножим скалярно на п, получим

(1 - Нкх)Ь{Х1, Х3) + Н(ХгХх) = ЦХ/,Хи)а,

где

Н(Хг,Хх) = Невв*{Х1,Хх) =

МАТЕМАТИКА

XIXJh-Vx,XJh

- гессиан функции Л в связности V; а =< п, п >. Определим симметричный оператор Я*, где

Н(Х,У)=д(Н'Х,У). (8)

Теорема 1. Пусть М,М - ортогональные гиперповерхности в Ет+1, отображение у? : М М есть отображение вдоль нормали. Тогда главные направления гиперповерхности М есть собственные векторы оператора Я".

Доказательство. Полагаем а =< п,п >= 0. Из (6) имеем

(9)

Я(А,,А.,) = 0.

Так как А'/ - главные направления гиперповерхности М, то Ьи = Ь(Х!,ХЦ) = 0,д(Х1,Х^,1 Ф Из (9) следует Ни = д(Н"А/, А.,) = 0,1 ф J. Имеем Н'Х] ортоганален всем X,./ ф I, т.е. коллинеарный А"/. Следовательно, X/ - собственные векторы оператора Я".

Примером такого отображения есть отображение <р : М М, задаваемое формулой г = г + 1 /к/п. Тогда сЬрА'/ = X[(l/k¡)n,d<pXJ = (XJ{\/kI))n + (1 - ф /, т.е. п =

А 1±п.

Теорема 2. Если М, М - не ортогональные гиперповерхности в Ет+1, отображение :

М М есть отображение вдоль нормали, то следующие утверждения эквивалентны:

1) главные направления гиперповерхности М есть собственные векторы оператора Я*;

2) линии кривизны гиперповерхности М переходят при отображении <р : М —► М в сопряженные линии гиперповерхности М.

Доказательство. Если А; - главные направления гиперповерхности М, то bjj = 0,g{Xj,Xj) = 0,1 ф J. Из (б) следует, что bjj = 0,1 ф J, т.е. d<pXr,d<pXj - сопряженные направления на М, тогда и только тогда, когда Ни = 0,/ ф J, т.е. </(Я*А/, Xj) = 0,1 ф J, а это означает, что Aj - собственные векторы оператора Я*.

Теорема 3. Если М, М - параллельные гиперповерхности в Ет+1, отображение <р : М М есть отображение вдоль нормали, то линии кривизны гиперповерхности М переходят при отображении : М —► М в линии кривизны гиперповерхности М.

Доказательство. М, М - параллельныее гиперповерхности [7, с. 268] в Em+l, если h -const, п = п. Тогда из (5) имеем дм = 0,/ ф J, а из (6) получим 6/j = 0,/ ф J, т.е. линии кривизны гиперповерхности М переходят при отображении : М М в линии кривизны гиперповерхности М.

W

тура

1. Пешкова М.А. Об одном свойстве гиперповерхности вращения // 3-я международная конференция женщин-математиков. Воронеж, 1995.

2. Сабитов И.Х. Изометрические преобразования поверхностей // Математический сборник. 1998. Т. 189. №1.

3. Чешкова М.А. О конформном отображении гиперповерхностей вдоль нормали // Известия АГУ. 2000. №1.

4. Koch R. Konforme Projektion einer Regelflache mittels ortogonaler

Parallelstrahlenbushel // Sitrungsbei Oster.Acad. Wiss. Math.-natur. Alt. 2 1989. V. 198. №1-3.

5. Пешкова М.А. Об отображении гиперповерхности вдоль нормали в евклидовом пространстве Еп // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград 1998. Вып. 29.

6. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифферен циальной геометрии. М., 1981. Т. 2.

7. Шуликовский В.И. Классическая дифферен циальная геометрия. М., 1963.