О конформном отображении гиперповерхностей вдоль нормали Текст научной статьи по специальности «Математика»

М.Л. Пешкова

О конформном отображении гиперповерхностей вдоль нормали

УДК 514.75

Рассмотрим две гиперповерхности М, М в евклидовом пространстве Ет+] и отображение <р : М М вдоль нормали п к М.

Обозначим через г радиус-вектор точки р G М. Тогда отображение р : М —> Л/ вдоль нормали п к М запишется в виде

Г = 7- + Лп, (1)

где п орт нормали к М, г - радиус-вектор точки р = <р(р) е М.

Ранее автором была доказана [1] теорема: если в окрестности точны р £ М гауссова кривизна гиперповерхности М С Ет + ' и функция h отличные от нули и отображение ■р изометрия, то М локально: 1) либо гиперсфера, а отображение р есть симметрия относительно центра гиперсферы; 2) либо гиперпараболоид вращения, а ограничение -р на (т — I)-мерную параллель есть симметрия относительно точки пересечения нормали с осью вращения.

Исследование для т = 2 проведено в [2].

Рассмотрим случай, когда отображение вдоль нормали конформное.

Если h — const, то гиперповерхности параллельные [3, с. 268]. Если гиперповерхности не параллельные, то дифференциальное уравнение dh(X) — Xh - 0 определяет на М инволютивное (гп - 1)~распределеиие Д. Пусть Д1 ортогональное ему распределение.

Теорема 1. Если М,М - не параллельные гиперповерхности в E,n+l и отображение у : М —7 М вдоль нормали к М конформное, то т — 1 главных направлений А'*, i = 1m— 1 гиперповерхности М принадлежат Д. Соответствующие главные кривизны к, имеют не более двух различных. Если Хт орт главного направ-леня гиперповерхности М, принадлежащего Дх. кт - соответствующая главная кривизна, то

A i(ki + kTn) — 0, (2)

и функция И удовлетворяет уравнению

(Xmh)2 = h(km- *0(2 - h(km + к{)), (3)

i — 1,..., ?n— 1.

Если — ... — kq — k, kq+i ~ ... ~ km^\ — k ^ф-k , mo h = .

Если ki = ... = km-1 — k, и m > 2, то M локально гиперповерхность вращения, либо локально риманово произведение Ет_1 х М1, где М1

- интегральная кривая распределения Д1. В последнем случае отображение ¡р : М —> М изо-метрия.

Теорема 2. Если М, М параллельные гиперповерхности в £'"’+1 и отображение Р' '■ М —> М вдоль нормали к М конформное., то М локально: 1) либо гиперсфера; 2) либо гиперплоскость; 3) либо гиперповерхность, которая имеет только две различные главные кривизны к, к сумма которых постоянна и не равна нулю и 1г =

Если т > 2, то это либо гиперповерхность вращения, либо Еч х б'"1-'', где q,m — q - кратности к, к.

1. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Рассмотрим гладкие гиперповерхности М, М в евклидовом пространстве /•;т+1 И диффеоморфизм ¡р : М -> М, задаваемый формулой г = г + кп.

Обозначим Г(М) - Я-алгебру дифференцируемых на М функций, 'Ц1 - Р-модуль дифференцируемых на М тензорных полей типа (д,$), \(М) алгебру Ли векторных полей на М, д х дифференцирование и <,> скалярное произве-^ дение в Е’п+1.

Формулы Гаусса-Сейнгартена гиперповерхности М имеют вид [4, с. 36]:

дхУ = + 6(А\ У)п, дхп = —АХ, (4)

Л € ТЦМ), Х,У € Х(М),Ь е Т“(М) , где Ь(Х,У) - вторая фундаментальная форма А

- оператор Вейнгартена, V - связность Леви-Чивита метрики д(Х,У) —< А’, У >.

Выполняются уравнения Гаусса-Кодацци

н(х,г)г = 6(у, г)ах - ь{х, г)АУ\ (5)

¿А{Х,У) = 0,Ь{Х,Г)=д{АХ,У),

где ЩХ,У)г = Vл•Vi'^ - V1' Vл-/ - V[A-,vlZ

- тензор кривизны связности V, иА(Х,У) — Ул'-4У — Уу АХ — А[Х,У] - внешний дифференциал поля .4 в связности V.

Дифференцируя (!) и используя (4), получим

¿<рХ = X + (А'Л)п - И АХ, X € \(М) _ (6) Отображение <р индуцирует па М метрику

д(Х, V) =< сЬрХ, Л<рУ >= д{Х, У) - (7)

2hg(X, AY) + h2д{АХ, AY) + (Xh)(Yli).

Пусть где Xj, I = I-,т орты главных направлений гиперповерхности Л/, ki - соответствующие главные кривизны (некоторые из которых могут совпадать), тогда АХ г = k¡X ¡t Тогда из (6), (7) получим

-yu = {X,h){Xjh)Ji:..L (8)

Я и = (А,//)2 + ( 1 -hk,f.

Требуя, чтобы отображение ip было конформное, получим

(1 - hkj)2 + (Xjhf = а2,а € F(M), (9)

(X,h)(X.rh) = О ,!ф J.

Из (Xjh)(Xjh) — 0 следует, что либо Xjh =

О, (J — п гиперповерхности \f,M - параллельны. либо X¡h = 0, i = I, 1,Хт/г ф

0.

Итак, имеем

X,li = 0, г = J,.... т — 1 (10)

и формулу (3)

(Л„,/))“ = h(km — k-i)(2 — h(km -f ki)),

i = 1,..., m — 1,

т.е. Xi € A. a Am 6 Лх (орт gradh), где A1 -распределение, ортогональное Д.

Дифференцируем (11) вдоль Л',. Имеем

(Xmh)(XiXmh) = h(Xtkm( 1 - hkm) - (11)

XiktU - hki)).

Дли определения X¡Xmh дифференцируем равенство X¡h = 0 вдоль Хт. Имеем

XmXih = XiXmh + [Xm,Xi]h =

X,Xmh + (VxmА', - Vjr,X,n)h = 0.

Так как для Z £ ТМ имеем Z = Z1 •+ /■\ZT е A,ZX € AL.ZTh = 0,V*,Am±Am, т.е. (Vjf, Am)"1 = 0, то получим

XiXmh 4 (Va-„.A, - Va-.Am)lh =

AiAmfc + (VymX<)J-/i=0.

Имеем

XiXmh = —(Vxm А,)ХЛ. (12)

Чтобы определить (Va^A,)1, используем (5). Имеем

dA(Xm,Xi) = VA-,„ л А, - Ух,ЛАт - (13)

Л[Ат,Л,]Т ~ Л[А’т,А,'] —

(Xmk¡)Xi -+• А',-V а',„Л", — (А, А:т)Лт —

¿ктУх.Ат-А^т.А^7-

Ы^А-тА. - УА',Ат)Х =0-

Приравняем нулю составляющую, принадлежащую А1. Имеем

- А-М)(УЛжА<)1 = (А,-*т)А„,. (14)

2. ДОКАЗАТЁЛ ЬСТПО ТЕОРЬМЫ 1 Рассмотрим случай, когда гиперповерхности не параллельны, т.е. Х,пН ф 0. Тогда кт - к, ф

0,г = 1,.... т- 1. Из (14) следует

,гл..ад* - ИАгМа. „Ч

Из (11), (12) и (15) получим

IV I \2 А/Кт

~(Хт/г) —--г- =

АС*

А(А<М1 - Л*то) - АД-,(1 - М,)).

Используя (3), имеем

Х{(к,' + *т)(1 —/)*;) = 0.

Так как |! — = |<г| ф 0, то

А, (А:, + *т) = 0.

Итак, (2) имеет место.

Если т > 2, го рассмотрим равество (1 -Л.А*,-)2 = (1 — 1гк^)2. Имеем

{ki — к^)( 2 — /;(А-,- + А‘^)) = 0,

1,7,= 1,..., т — 1.

Рассмотрим случай, когда А-, = ¿.у =

1,щ — 1. Положим *1 = ... = к,п_] — к, А-,п = А\ Докажем, что если А- ^ 0, то Л/ - гиперповерхность вращения.

Если гиперповерхность имеет главную кривизну к ф 0, то она является [5] огибающей однопараметрического семейства гиперсфер, центры которых имеют вид

1

С= г+г.

Из dA(А,-, А,) = 0, следует

АД- = 0, вх.С = 0,1 = 1,..., »п-1.

Из (2) следует, что

Xik = 0. (16)

Докажем, что это условие достаточное, чтобы линия центров (С) была прямой, т.е. гиперповерхность М - гиперповерхностью вращения. Докажем, что линия центров - прямая.

Из (15) имеем

(VA-mA,)x = 0, (17)

VxmXi = (YXm.Yi)T-

Дифференцируя равенства < Am, Am >= 1,< Xm,Xi >= 0 вдоль Хт, получим

VAmXm = 0. (18)

Из (13) следует

V XiXm = IXi, (19)

I__ X т к

к — к

Имеем

[Л’,-, Хт] = У*,Ат - Vx„.Xi - IX, - (V*,„Af)T,

V(x,,A’m]A'm = I2 Xi — /(VA-m A,-)T.

Тогда

R(Xi,Xm)Xm = VxyXmXm-

Vx„ VAVYm - 4V[XltXn] Am = -(Aml + l2)Xi.

С другой стороны, в силу (5), FL{Xi, Am)Am = kkXi. Откуда

Xml — —kk — I2. (20)

Рассмотрим линию центров. Дифференцируем вдоль Хт.

дхтС — Am 4- (Ат(—))n — -j^Xm = ^

где t — кХт 4-In. Дифференцируем t вдоль Х,п , получим

dXmt — (Хтк)Хт + ккп+

(Xml)n - IkXm = —It.

Это означает, что линия центров прямая, а каналовая гиперповерхность есть гиперповерхность вращения, параллель которой (т - 1)-сфера.

Если к 1 = ... = *т_] = 0, то из (2), (15), (18), (19) следует

УХтХт = 0, Ух,Хт — 0,

(?хтХ^ = 0.

Дифференцируя равенство < А,, Ат >= 0 вдоль Аj, получим Ух,Х,- € А. Это означает, что распределения Д.Д-1 параллельны, а М локально есть риманово произведение Мт~1 х М1 [6, с. 175]. интегральных многообразий этих распределений. А так как дхХ € А, сг2 = (1 - 1гк)2 = 1, то Мт~1 = Ет~1 а отображение <р \ М —¥ М изометрия.

Покажем, что главных кривизн А1, не более двух. Если, например, к\ — кч+1 ф 0,то2 —Л(Аг] + кч+1) = 0. При т > 2 корни кратные. Действительно, если *1 — кч+2 Ф 0, то 2 + Н(к 1 4- кп+2) —

0,кч+\ — кд+2- Гиперповерхность М имеет не более трех главных кривизн к\ = ... = кч — к, кц^\ — ... -— кт-х — к , кщ — к, причем

и функция к + к” постоянна вдоль А, € А.

3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2

Рассмотрим случай, когда гиперповерхности параллельны. Тогда А//г = 0,1 = 1 и

(к/ - к/){2 - 1г(кг + kJ)) = 0. Возможны следующие подслучаи.

1) к1 — к] ф 0. Гиперповерхность М локально гиперсфера.

2) /г/ = к./ = 0. Гиперповерхность М локально гиперплоскость.

3) не первые случаи. Положим *1 — к? ф 0. Тогда 2 + Н(кх 4- к2) — 0. При т > 2 корни кратные. Гиперповерхность М имеет только две главные кривизны к, к, причем

А'/(к + к) = 0, / = 1, ...,т., (21)

к + к ф 0, Н — -—-у. г к + к

Положим к 1 = ... = кч — к, кч+ у — ... = кТН =

к, цф 1, тч - 1, если т > 3.

Оператор А имеет два разных корня к, к.

Определены два распределения: DT,D1, где

От(р) = {А € ТРМ : АХ = кХ).

Ух(р) = (А е ТРМ : АХ - кХ}.

Из <М(А, А) = 0, А, А € Пт следует А'к = 0, А € От.

Из (1А(У. У) =0, У, V' е 1)х следует

У к - 0, УЕВ1.

В силу (21) следует, что оператор А имеет два постоянных корня к, к. Покажем, что если оператор А имеет два постоянных корня к, к, то либо к ~ к (гиперсфера или гиперплоскость), либо кк = 0. Из равенства йА(Х,У) = 0, X £ 1>Т,У £ получим

(Ук)Х - [к — *)(У*У)Т = 0,

(Хк)У + (к-к)(ЪуХ)х = 0,

А' € ПТ,У Е Л1.

При к — к ф 0 получим

(У*У)т = 0, (УуХ)х = 0, (22)

Л' е £>Т,У € I)1.

Дифференцируя равенство д(Х,У) = 0, Л' 6 От, У 6 1)х вдоль У £ А)1, получим

(Уу?)т = 0. (23)

Аналогично

(Уа'^)х = 0. (24)

Имеем

Я(Л\У)У = УхУуГ- УуУд-У-

Ууху-у,.а'У = Ух(УгУ)х-

Уу(Ул'У )Х - У(ухУ)х-(УуА')т^’ =

(Уа(Уу'У)1)х-(Ук(Ух>")х)1-

(У(Ул.п,УУ_(У{^.л.)ТУ)^ ео\

С другой стороны, в силу (4) Н(Х, К)У = ккХ € От. Следовательно, кк = 0, М — Еч х Ят~ч. Положим, *1 = ... — кт-\ = к ф 0, кт — к. Гиперповерхность Л/ есть огибающая семейства гиперсфер радиуса т-, центры которых имеют ВИД С = Г + £71.

Следовательно, М каналовая гиперповерхность, у которой линия центров - прямая. М -гиперповерхность вращения.

Если к] = ... = кт_1 = к - 0, кт = к, то к — с<ть1 и М — £’ш_1 х 51.

4. ПРИМЕРЫ

1. М - гиперповерхность вращения в Ет+г . Обозначим через а - орт оси, а через р - радиус-вектор единичной (га—1)-сферы. Тогда гиперповерхность М можно задать в виде

г = итр(и\....ит~1) + /(«">,

где / - дифференцируемая функция, и1, ...,игп -параметры. Имеем

П = umpi,(i = 1,..., т - 1), гт = fa + р,

Гр - а

п s/ÏFŸTï'

n< = ^VWTTri’

/"

^~(vOT+ï)3

Откуда

* =________l______

um\/(/')2 + l’

/"

(>/(/')’+ l)3’ v _ 1 19 / - I

Выполняется (2). Рассмотрим гиперкатеноид. Имеем к + к — 0,umf" + (/')3 + /' = 0. Для определения h(um) в (3) подставим

/ = arcchum,

Y - 1 а

Имеем

/ rffr ч2 , 4

(um)2 - 1 ’

Л = ^(агсс/шт + С)2.

2. Отображение ip : М —г М вдоль нормали

п к М - изометрия. Тогда сг2 = (I — Л/е*)2 = 1. Если dctA ф 0, то h = = ... = кт-\ =

k,Xih = Xik — 0. М - гиперповерхность вращения и М имеет вид: г = —итр(и1, ...,um_1) + (f + ^jr-)“• Требуя, чтобы ÿmm = (/mm, ПОЛу-чим ((/ + ^ут-)')2 = (/')2- Откуда имеем два решения / = Ci(um)2 + С2.(/ - С’])2 + (um)2 — С2! С),Со = cunst. Таким образом, М локально гиперпараболоид, либо локально гиперсфера.

3. е/,7 = 1 - ортобазис в £тп+1. В

плоскости (em,em+i) зададим спираль 7 : р — p(s), где s - длина кривой и кривизна кривой равна к = j. Поверхность М - цилиндр с (гп — 1)-плоской образующей : г = p(s) -(- м’е,-, i = 1,...,га— I. Поверхность М зададим в виде г = г -f su(s), где u(s) = п - нормаль кривой 7, совпадающая с нормалью к гиперповерхности М. Имеем ди - ди.

1. А1,М - параллельные поверхности в Еа, причем средняя кривизна 7/ поверхности М постоянная н не равна нулю Тогда li — jj,gu = (I — 1гЧ\)ди, где К полная кривизна поверхности М.

5, М - конус над б’1 (а) х Sr(b),a ф b в Е*. г - u3(o./?i(к1) + Ьр2(и2)), где р = а/?](г/1),/у =

- окружности во взаимно ортогональных 2-плоскостях, радиусы которых равны a,b,a ф 6, \р^ | = \р2\ = ] , Имеем

S JPl , 3 d(>¿

’ ST'Гг = ы ZÁ'

»‘з = а/31 (и1) + Ьр2{гс),

-bpi(iil) +ap2(uJ)

Щ = -

au*\/a2 4 b2 a

тчП>

buay/a2 + b-b

:Гт, Пз 0,

A-] —

au:t \J a2 + Ir

k-, =

h = 0, h = T-

bu3->/a'¿ + 62

2 2a6u3v/o.2 + 6-

a2 - 62

,fl2 + 6\,

= (-»—-p;)~¡)u-a£ — y*

Литература

Пешкова М.А. Об одном свойстве гиперповерхности вращения // 3 международная конференция женшин-магематиков: Тез докл. Воронеж, 1995.

Сабитов И Х. Изометрические преобразования поверхностей / Математический сборник. 1998. Т. 189. №1.

[Пуликовский В.И. Классическая дифференциальная геометрия. М., 1963.

4. Кобниси III., Помидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М., 1981. Т. 2.

5. Ведерников В.И. Гиперповерхности

пространства Евклида, огибающие га-параметрическое семейство гиперсфер // Волж. матем. сб. 1966. Вып. 4.

6. Кобапси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М., 1981. Т. I