CC BY
23
УДК 517.75
М.А. Чешкова
Подэра гиперповерхности
В евклидовом прост,ранет,ее Еп рассматривается гладкая невырожденная гиперповерхность М и точка О. Основания перпендикуляров из точки О на касательные гиперплоскости
М
М
М
клидовом пространстве Еп; ¥(М) - К-алгебра дифференцируемых на М функций; ТЦ(М) -Р-модуль дифференцируемых на М тензорных полей типа (д, в); д - дифференцирование в Еп. Формулы Гаусса-Вейнгартена поверхности
М
дх У = Ух У + Ъ(Х,У)п,
дх п = -АХ, (1)
где Х,У € Тд(М), V — связность Леви-Чивита метрики д(Х, У) =< X, У >; Ъ(Х, У) = д(АХ, У)
- вторая фундаментальная форма поверхности М; А € Т1 (М) - оператор Вейнгартена; п - орт <, > Еп
Выполняются уравнения Гаусса-Кодацци
щх, у)г = ъ{у., г)ах — ъ{Х, г)АУ, <1А{Х, У) = О,
(2)
где щх,у)г = ^х Уу г — Уу Ух г — У[х,у] г
тензор кривизны связности У ЗЛ(Х,У) =
Ух АУ — Уу АХ — А[Х, У] - внешний дифференциал поля А в связности У.
Поместим начало координат в точку О. Обозначим через г - радиус-вектор точки р Є М, через Г радиус-вектор соответствующей точки р Є М
Тогда диффеоморфизм I : М ^ М запишется в виде
г = I(г) = Іп, І Є Г(М),
г — г = и Є ТМ,
І = ргпг = (г, п), г = — и + Іп.
(3)
(4)
(5)
Дифференциал отображения I определится из равенства ¿¡(Х) = с1/(дхг) = дхг,Х Є ТМ. Имеем
Отображение / индуцирует на М метрику
д(Х,У)=<с/Х),/(У)>= (7)
(Х1)(У1) + I2 < АХ,АУ > .
Пусть В(с1/Х,с1/У) = Ъ(Х,У) - вторая фундаментальная форма гиперповерхности М; V -
дп
М
дх ¿ТУ - // Ух У = ЦХ, У)п. (8)
Положим
П = V + еп, V € ТМ. (9)
М
М
Ух У = А-Ух АУ+ ^У+
(10)
УІ - 1
—Х + ЦХУУА- V,
у І — 1Ъ(Х,АУ) = Ъ(Х,У)е, (11)
где
Неввх, у/ = ХУ1 - УхУ1
- гессиан функции I в связности V.
Доказательство. Дифференцируя (6) и используя (1), (8), (9), имеем
(ХУ1)п - (У1)АХ - (Х1)АУ-IVхАУ - ¡ЦХ, АУ)п-УхУ1)п + ¡АУху = Ъ(Х,У)№ + еп).
Приравниваем нормальные и касательные М
перповерхность, т.е. ¿еЬА ф 0 , и в силу (6) I ф 0, то получим (10), (11).
Теорема 2. Нормаль к М в точке /(р) принадлежит плоскости п = (0,р,/(р))
Доказательство. Вначале покажем, что ММ ее подэра, то
еи = ¡V. (12)
Дифференцируем (4).
¿¡Х = (ХІ)п — ІАХ.
(6)
ХІ =< Х,п > - < г, АХ > .
Подэра гиперповерхности
Xl = - < r,AX >=< U,AX > . (13)
Имеем
< dfX, n >= О,
< (Х1)п - ¡АХ, V + еп>= О,
<и,АХ >е - I <V, АХ >= О, еи = ¡V.
Из (9), (12) следует, что орт нормали подэры
М
n = - (U + ln),
(14)
причем
l
-(<U,U>+l2) = l,e^0. (15)
Таким образом, п = (р,и(р),п(р)) = (0,р, /(р)). Теорема 3. Фундаментальные формы ги-М, М
b(X,Y)- + b(X, Y)+
1g{X,Y^Q. Доказательство. Дифференцируем (13).
(16)
то получим (16).
Следствие. Главным направлениям подэры
М
М
Доказательство. Действительно, если д Х, У , Ъ Х, У Ъ Х, У
Потребуем, чтобы подэра была гиперсфе-
Ъ Х, У
о,д(Х,У),а = евпвЬ. Если а ф 0, то М - гиперсфера, если а = 0, то М - гиперплоскость.
М
М
А
М
где
AX = kX + u(X)U,
k=-
(17)
l(al + 2є) ’
“(X) = - Xf,
(18)
Доказательство. b(X,Y) = ag(X,Y). Используя (7), (13) получим
XYl= - < X, AY > -
< r, Vx AY + b(X, AY)n > .
Имеем
HessXyY = XYl - VxYl =
- < X, AY > + < r, AVx Y -Vx AY > -b(X, AY)l =
Yl
-b(X,Y)+ < r, —AX+
Xl 1 -
—AY+-b{X,Y)V > -
< AX, AY > l= -b(X,Y)-2XllYl) - lb(X,Y) <U,V> -
< AX, AY > . Используем (7). Получим
b{X,Y)^+-i < U,V>)+
bX,Y) + -g{X,Y) = 0. Так как, в силу (12), (15)
e+ \ <U,V >=-, l e
b(X, Y) + ‘^eal(l2b(AX, Y)+
Xl b U, Y . b(AX + yrU + e nX,Y) = 0.
l ly2e al)
Так как detb ф 0, то получим (17).
Теорема 5. Если подэра M невырожденной гиперповерхности M есть гиперсфера или
M
гиперповерхность вращения, плоский меридиан которой есть интегральная кривая векторного U
Доказательство. Если l = const, то AX = hX, M - гиперсфера.
Если l ф const, то дифференциальное урав-dl X Xl
n-
нальное ему А^ ( U € А^).
Имеем Xl = 0,X € А. Покажем, что Xe = 0,X € А. Действительно, < n,n >= e, Xe =
- < AdfX, n > - < n, AX >= -a < dfX, n >
- < n, AX >= -aXl - f < U, AX >= 0, X € A.
Таким образом,
Xk ,X .
(19)
Пусть С = г + к п. Имеем
дх С = дх г + дх( кп) =
Х + дх{\п) =0,Х € А. к
М
огибающая однопараметрического семейства гиК
С=г+кп,к=\ к I,
т.е. каналовая (см. [6, с. 379]).
Из (17), (18) следует
Аи = ки, к = к —— ,
М
внзны: к кратности п -2 и к кратности 1.
Каналовая гиперповерхность есть гиперпо-
С
прямая.
Если у каналовой гиперповерхности М Хк = 0,Х € А, то каналовая гиперповерхность есть гиперповерхность вращения [5]. Интеграль-пп-
распределения А^ = {и} - плоский меридиан.
Докажем, что Хк = 0,Х € Д. Имеем и = гг., Ух и + Ъ{Х, и)п=/Х - Х= (Х1)п - ¡АХ - Х. Откуда
Ух и = - (Ы+ 1)Х,Х € А,
Уи и= - (Ы + 1)и. (20)
Дифференцируем равенство < Х,и >=
0,Х € Д в доль и, получим
УиХ= УиХ)т €Д. (21)
В силу (2),(20),(21)
¿А(Х, и) = Ух Аи - Уи АХ -
А(Ух и -УиХ) =
{Хк)и - ЦЫ+ 1)Х-(ик)Х - к(УиХ)т + к^к + 1)Х + М У и Х)т = 0,Х € А.
Откуда следует
Хк ,Х €
ик ¡к к - к .
М
гцения, а плоский меридиан есть интегральная
и
М
М
М
гиперповерхность вращения, плоский меридиан которой есть коническое сечение.
Доказательство. Исследуем меридиан 7 С
Ми
Соприкасающаяся плоскость п кривой 7 в точке р € 7 определяется векторами и(р), (дии)(р) = Уи и+Ъ(и,и)п)(р) = - (Ы+1)и + Ъ(и,и)п)(р). Таким образом, п = (р, и(р),п(р)) и она постоянная вдоль и. Следовательно, 7 С п. Так как рр = и(р),р = /(р), то кривая 7 = /('у) принадлежит этой же плоскости и является подэрой кривой 7. Кривая 7 есть перересечие плоскости п
окружностью, либо прямой. Если подэра 7 есть окружность, или прямая, то исходная кривая 7 есть коническое сечение (см. [1, с. 164; 2, с. 33]). Теорема доказана.
Литература
1. Берже М. Геометрия. Т. 2. М., 1984.
2. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. М., 1981.
3. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 2. М., 1981.
п
поверхностей в евклидовом пространстве
Еп
образий фигур. 1997. Вып. 28.
5. Пешкова М.А. Об одном характеристическом свойстве гиперповерхности вращения в ев-
Еп
2002. Вып. 2.
6. Шуликовский В.И. Классическая дифференциальная геометрия. М., 1963.
