2. Кулешов А. В. Об одном проективном инварианте семейства гиперплоских элементов с огибающей поверхностью центров // Там же. 2013. Вып. 44. С. 69—77.
3. Остиану Н. М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev. math. pures et appl. (RPR). 1962. T. 7, № 2. C. 231—240.
A. Kuleshov
About intrinsic clothing of some family of hyperplane elements
In multidimensional projective space a family Bp q of hyperplane
elements is considered. The problem of construction of intrinsic clothing of such a family is set. This problem is solved in a special case. The solution is based on the method of moving frames and calculation of exterior differential forms of E. Cartan.
УДК 574.76
В. С. Малаховский
Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград
Поля геометрических объектов п-параметрического семейства ап оснащенных центроаффинных преобразований
Исследуются поля геометрических объектов [1] п-параметрического семейства ап аффинных преобразований п-мер-ного аффинного пространства ап, каждое из которых сохраняет пару точек {А, В} и однозначно характеризуется заданием этих точек. Установлено существование последовательности р-ковариантных симметрических тензоров [2], порожденных семейством ап и последовательности п-мерных многообразий гиперконусов порядка р (р е М).
Ключевые слова: геометрический объект, аффинное преобразование, вектор, р-ковариантный тензор, гиперконус.
© Малаховский В. С., 2014 72
1. Система уравнений Пфаффа семейства Ап
Отнесем пространство Ап к реперу {А; 1,2,..., ~е п }, в котором еп = АВ . Преобразование ф: Ап^-Ап, ф е An является центроаффинным, сохраняющим точку В, причем В = А + еп . Учитывая это, запишем формулы преобразования ф в виде:
х1 = ы1кхк хп = МкпХк + Хп
, det(Mk) * 0. (1.1)
Из (1.1) следует, что ф преобразование — центроаффинное с центром А. Оно сохраняет точку В(0, 0, ..., 0, 1).
} К
Условимся обозначать через ж ,ж} значения деривационных формул [3]:
ёА = с
при фиксации отображения ф, т. е.
ёА = ю1е1, ёе1 = ю}еК (I, 3, К=1, п),
Имеем [3]
аег
ж1 = 0, жК = юК
ёю =ю лю}, ёю} =ю} лю} (1.2)
5Х1 = - ХКжК, дх1 = - хКжК,
где «5» — символ дифференцирования по вторичным параметрам.
Дифференцируя (1.1), находим
дМк -М1]ж1 + М ж = 0; дМп -М^ж/ + М(ж^ -жп = 0.
Так как точка В сохраняется при фиксации преобразования ф, то
< = 0, < = 0.
Система уравнений Пфаффа [2] семейства ап принимает следующий вид
УМ'к = М[как,
УМ{ + М)ж{ -ж{ = М{как,
I I к а* = ¡ка ,
* Ик , (13)
а{ =^>К.
Здесь V — символ ковариантного дифференцирования.
2. Поля геометрических объектов на семействе ап
Продолжая систему (1.3), получим
УМ) + М[Ца"* -М)!Л\®1 = М){и^ , УМ* + ¡/{а* -М)Ца{ + М{¡)а{ = М{и}аи, (2.1)
V/ аи =/и}®и, V¡{ + ¡¡иа{ = М{п}а].
Здесь и в дальнейшем фигурные скобки означают симметричность заключенных в них индексов.
Из выражений (2.1) следует, что системы величин {М'к}, {¡\} образуются тензоры; системы величин {¡), ¡"} образуют линейный однородный объект. Функция М = М\ является абсолютным инвариантом
аег
Ш = МКаК, Мк = М1К. (2.2)
Из первого уравнения системы (2.1) при I = к находим
ёМ1 = М^ю* + М1ю} -Мкю1 +
+Мк^юп -Мк^юпк = М\{ию,
т. е. ёМ1 - М}ю3} = М\{1} ю.
Следовательно, система величин {М1} — ковариантный вектор. Он порождает тензоры
ы; = М; • М1, =£ • Мк.
3. Последовательность ковариантных симметрических тензоров
det
Обозначим Mw2 .. Jp} = Mll{hI2.. Jpp e N. Доказано, что системы величин M{IlI2} M{IlI213} ..., M{щ2 Ip}, (p e N) являются симметрическими ковариант-ными тензорами, т. е.
VM<Ш = M«I2I3}®IS , VM{I1I213} = M{I1I2I3I4}föI4 - -
..., VM {IlI 2 ...Ip } = M {IlI 2 ...I pI p+l}C+1. Например, для р = 2 имеем
VM. -Ml3 cor 13 -Ml.fT T }cI3 -7 {IlI2} 3 {I213} .{IlI3} I2
MW2}Cy ^^ -mJ MwC -- mJI1 м\г< + mJViI2}< +Mj м\ +
rk..l ..kuji „ n , ,.k\jfi „ n , wl .. k
+m MC Mki2c" + Mk м{1Л}®;
-^kl mj мпс - Mk мп Mkc = m3{IiI2 i3}cl3.
c 3 -
Заменяя в этом уравнении индекс j на индекс i, убеждаемся, что после взаимного уничтожения одинаковых слагаемых с противоположными знаками получим
VMw 2} = М w 213}®3.
Последовательность симметрических ковариантных тензоров {М^}, {МЛ/213},..., [Mhl2..Jp }, (p е N)
порождает последовательность конгруэнций гиперконусов, так как
det l
Fp = Mi1i2...i3 X11 Xl2...X p = 0, (p е N) F = 0.
Список литературы
1. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Труды Моск. матем. об-ва. 1953. Т. 2. С. 275—382.
2. Малаховский В. С. Введение в теорию внешних форм. Калининград, 1978. Ч. 1.
3. Малаховский В. С. Введение в теорию внешних форм. Калининград, 1980. Ч. 2.
V. Malakhovsky
Fields of geometrical objects of n-parametric family of equipped centroaffine mappings
Fields of geometrical objects of w-parametric family an of affine mappings of w-dimensional affine space an, each of them conserves the pair of points {A, B} and uniquely is defined by these points, is investigated. The sequence of p — covariant symmetric tensors generated by family an and the sequence of w-dimensional manifolds of hypercones of the order p (p е N) is established.