CC BY
10
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Хромов А. П. Об аналоге теоремы Жордана - Дирихле для разложений по собственным функциям дифференциально-разностного оператора с интегральным граничным условием //Докл. РАЕН. 2004. № 4. С. 80 - 87.
2. Луконина А. С. О сходимости разложений по собственным и присоединённым функциям одного дифференциально-разностного оператора с интегральным граничным условием // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып. 7. С. 67-70.
3. Гуревич А. П., Хромов А. П. Суммируемость по Риссу разложений по собственным функциям интегральных операторов // Изв. вузов. Сер. Математика. 2003. № 2 (489). С. 24-35.
o.A. Лукъяненко
УДК 517.51
о сходимости радов фурье - виленкина в пространствах лоренца по подпоследовательностям
Пусть (Р„)"=0 - система функций Виленкина [1] с образующей последовательностью (рк )" . Будем рассматривать вопросы сходимости рядов Фурье - Виленкина в пространствах Лоренца
/е ¿(о,.) 1/1
dt_ t
l/q
< +00
порожденных функцией Ч7, которая удовлетворяет следующим условиям:
1) x¥(t)>0 на (0,lj, убывает на (0,l] и выпукла;
2) lim vF(i)=+oo;
/->0 +
i j 3) f---<+oo, —убывает на (0,ll;
0V(i> H'(r>
4) VpeN, 3С >0 такое, что — <
1 + -
C.
В [2] было доказано, что равенство
Ii/Ii, Y
III/II
IV,q
1 + logx
\l/<?
I
/1=1
и
определяет в пространстве Ач, ц норму, эквивалентную исходной нор-
ме ||/|
Через 5„(/) будем обозначать частичную сумму ряда Фурье - Ви-ленкина. 1о%х всюду в дальнейшем означает логарифм по основанию 2.
ТЕОРЕМА 1. Если N = (и*)^=1 - произвольная возрастающая последовательность натуральных чисел, для которых вир/,^ =+со {Ьп - константы Лебега по системе (Уп)), то существует постоянная Ср > 0 такая, что V/ \fneN справедливо неравенство
КС/ОМс,И,.,,
где
Доказательство. Рассмотрим норму частичной суммы £„(./)
Ш'Ц л V гТ
Щ
' 4=0
л4
,4-1
4=1
Отдельно рассмотрим 1
/• \ я Г \ я
00 1п2 < V ¿—и 4=1 с* ¡1/11* 1п2
им 1п,ч
1п(2)<
(1)
,4-1
2^-1
>4^—1 +
с,
у=1
г>
1,
1 + -
С,
1п2^«Р|^-|(1 + С2)-21П2.
1 + (А: — 1)1о§2) ^ \ + (к-2)\о%2 Подставляя найденную оценку в (1), окончательно получаем
4 = 1
С,
к У II*
(1 + С2)-21п2
ч ( V
«/«*
4=1
<С II /Т
Что и требовалось доказать.
Доказанная теорема является точной по крайней мере для пространств Лоренца, образующая функция которых удовлетворяет дополнительному условию
\
X
1 + С' _, Их)<У|- ,(0<С;<1). (2)
1 + Iogx 'J \р)
ТЕОРЕМА 2. Пусть функция Ч* удовлетворяет условию (2) и последовательность {рк) ограничена числом р. Если N-произвольная последовательность чисел вида
и = £((р*2м-1 ~ч)тк2,А-1 +(р*2_,-2 +... + (р*2( -?/)т*2( ),
i=i
где
к]>к2> ■■■> k2s, in j = ,т0= 1,
О<qt<pk,k = k2i,k2i +1 ,...,k2i_x -1, для которых sup £„ = +оо, то для любой функции а(?) -I 0 при t 4- 0 сущест-
вует функция / е Лц, q такая, что отношение —г—ц-— неограниченно.
II/ Нч-,9
Доказательство теоремы 2 является очень длинным, ему будет посвящена отдельная статья.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Агаев Г. Н., Виленкин Н. Я., Джафарли Г. М, Рубинштейн А. И. Мультипликативные системы функций и гармонический анализ на нуль-мерных группах Баку: Элм, 1981.
2. Lukomskii S. F. Convergence of Fourier series in Lorents spaces // East J. on Approximations. 2003. Vol. 9, № 2. P. 229 - 238.
УДК 517.984
И. А. Мельников
БАЗИСНОСТЬ ПО РИССУ СИСТЕМЫ СОБСТВЕННЫХ И ПРИСОЕДИНЕННЫХ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА*
Исследуется вопрос о базисности по Риссу в пространстве /-2[0Д] системы собственных и присоединенных функций (с.п.ф.) интегрального оператора
А/= I А(\-х,е)/(0сЬ + а)А(х30/(0Л, *е[0,1], (1) о о
где а - произвольная постоянная, а | < 1.
" Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 06-01-00003).
74
