О структурных характеристиках функций из l 2 и точных значениях поперечников некоторых классов функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №2_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

Г.А.Юсупов

О СТРУКТУРНЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ ФУНКЦИЙ ИЗ Ь2 И ТОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ

Таджикский национальный университет

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 14.11.2014 г.)

В работе найдены некоторые точные неравенства между наилучшими приближениями периодических дифференцируемых в смысле Вейля функций тригонометрическими многочленами и усредненными с весом модулями непрерывности произвольного дробного порядка в метрике пространства Ь2, и даны их приложения. Для некоторых классов функций, определяемых указанными модулями непрерывности, вычислены точные значения различных п-поперечников в Ь2.

Ключевые слова: неравенства типа Джексона-Стечкина - наилучшие полиномиальные приближения - модуль непрерывности дробного порядка - производная в смысле Вейля - п-поперечники.

1. Рассматриваем 2л -периодические на прямой функции /(л). Пусть X := Х[0,2л] - одно из пространств С := С[0,2 л] с нормой

|1С = шах{| /(х) |: 0 < х < 2л} <да, или Ь := Ьр [0,2л], 1 < р < да с нормой

{ 1 У7 Р

- \\/ (X)\PdX

ТГ •>

0

< да, 1 < p < да.

В последнее время в теории приближения часто используются различные модификации классического модуля непрерывности т -го (т е N) порядка

^ (f t)x := sup^Af^ : \h\ < *},

где А™/(х) - конечная разность т -го порядка функции / в точке х с шагом И. Результаты, полученные в этой статье, связаны с понятием модуля непрерывности дробного порядка. Это понятие было введено почти одновременно в работах [1,2], следуя которым, определим разность дробного порядка /?(/? еЖ ) функции /(х) в точке х(хеЖ) с шагом /? (/? еЖ) равенством

А/х) = 2("О" ^ /(х + (Р-У)И), (1)

"=0 \У)

Адрес для корреспонденции: Юсупов Гулзорхон Амиршоевич. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул.Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]

где

(РЛ_Р{Р-\)-{Р-у + \)

VVУ

V

для V > 1,

(РЛ

VVJ

= Р для V = 1 и

(РЛ

VVУ

= 1 для V = 0.

Приведём следующие свойства разности (1), доказанные в [1,2]:

1) дР/(-) < С(Р)||/\1 , где С(Р) - константа, зависящая только от Р > 0, причём

С (Р) = ^

к=0

Р

V к У

< 2

ш

где {Р} = тДк: к > Р}, к е

2) д^ (ДР/) = Д{+Р/;

3)

< 2'

{Р}

Д/

4) 11т ДР/

= 0.

Модуль непрерывности произвольного порядка Р е ТО функции / \ < р < х опреде-

лим равенством

®р(/; t), = 8ир{|д'/(-^ :|Л|< I}

= Бир <

Г пЛ

Е (—1)" Р /(• + (Р —^А)

VVУ

:| й |< /

(2)

Основные свойства модуля непрерывности (2) изучены в работах [1,2].

В данной статье приводим обобщение и развитие некоторых результатов работ [3,4] на случай модуля непрерывности произвольного порядка Р > 0 для классов дифференцируемых в смысле Вей-

ля функций в пространстве Ь2 и вычислим точные значения различных п -поперечников указанных классов, принадлежащих пространству Ь2.

2. Через Ь2а) (а > 0, Ь(0) = Ь2) обозначим множество функций /, у которых существует про-

изводная в смысле Вейля /а) е Ь2 (/= /). Если х(/(а); х) (а> 0) - частичная сумма порядка

К0) _

п—1 ряда Фурье функции / а), то, легко доказать, что наилучшее приближение функции / е Ь подпространством 32и-1 тригонометрических полиномов Тп_х порядка п—1 имеет вид

Еп—1(/(а)) -Е(/а;Ъ2п_Л =

(а). <

(а)

— Т : Т е 1

Ь

f(а) - S М(а>)

(а)'

\1/2

ад

Е k 2aPl ,

V k=n

где pp := a\ + Ьр, k > n. Следуя работам [4,3], введём в рассмотрение следующую аппроксимацион-

ную характеристику

ХпЛа,p Р;h) = SUP

En-i(f )

f eL

(а) ( h

Jo' (f(а); t )p(t )dt

у/p'

(3)

где neN, /3 > 0, a > 0, 0 < р < 2, (pit) > 0 - произвольная суммируемая, не эквивалентная нулю на полусегменте (0,h],h e (0, ж) весовая функция, причем в (3), ради удобства, условно полагаем

, def 0/0 = 0.

Теорема 1. Пусть /3 > 0, а> 0, 0 < р <2, 0 <h< я / п, и е N, p(t) - неотрицательная измеримая суммируемая на отрезке [0, h] функция, не эквивалентная нулю. Тогда справедливо неравенство

Юр, h)}-1 * (p; h) < [rnf A^p h )}-1,

где

f h

Atfph) = 2

_ nP/2

k, p

kap J (1 - coskt)'p/2p(t)dt

у/p

V 0

, k > n.

Выясним, какими дифференциальными свойствами должна обладать весовая функция р, чтобы выполнялось равенство

и? А,К) = А,И).

n<k сад

Справедливо следующее утверждение

Теорема 2. Пусть /3 > 0, а> 0, р(7) > 0 - заданная на отрезке [0, И] непрерывно дифференцируемая функция. Если при некоторых а е Ж+, 0 < р < 2 и любых / е [0,/?] выполнено диффе-

ренциальное неравенство

(ар - 1)p(t) - tp (t) > 0,

(4)

то при всех п е N и 0 <h <ж / п справедливы равенства

2PnaEn_x(f )

sup

f eL(

(а) f h

Jo' (f(а); t )p(t )dt

у/p

h ( nt^'p J J sin — J p(t)dt

\-1/p

Пусть 6и (М, £2 ), йп (М, £2 ), 8п (М, £2 ), Пи (М, £2 X соответственно, бернштейновский, колмогоровский, гельфандовский, линейный, проекционный п -поперечники [5,6]. Обозначим через

Ж(а) да,

- класс функций / е £22) таких, что для произвольной неотрицательной весовой функции (р(1) (0 < I < к, 0 < к <л / п) выполнялось условие

У V(h

-1/p

Wp(f{a)w,h)p = I J©|(/a);t)w(t)dt I Jw(t)dt I <0h),

где <с(?) - заданный модуль непрерывности.

В принятых обозначениях справедлива следующая

Теорема 3. Пусть а,,> 0, 0 < к <ж / п и выполнено неравенство (4). Тогда справедливы равенства

Лп—1 ^НС Ь \= [К*НС ^ ) =

= En-i I wp;) и;\ =

п-1 v p,h р) 2рпа

h

J (p(t )dt

N1/p

h I • nt Yp J | sm~ J <P(t)dt

V 0

0(h),

где Лк (•) - любой из к -поперечников Бернштейна Ък (•), Гельфанда ёк (•), Колмогорова ёк (•), линейного дк (•), проекционного Щ (•). Все п -поперечники реализуются частичными суммами Фурье /; ^) порядка п—1 ряда Фурье функции / е £22).

Поступило 14.11.2014 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Butzer P.L., Dyckhoff H., Goerlich E., Stens R.L. Best trigonometric approximation, fractional order derivatives and Lipschitz classes. - Can. J. Math. 1977, v.29, p.781-793.

2. Tabersky R. Differences, moduli and derivatives of fractional orders. - Commentat. Math. 1976-1977, v.19, p.389-400.

3. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшие полиномиальные приближения в L2 некоторых классов 2п-периодических функций и точные значения их поперечников. - Матем. заметки, 2011, т.90, №5, с.764-775.

4. Шабозов М.Ш., Темурбекова С.Д. Значения поперечников классов функций из L2[0,2n] и минимизация точных констант в неравенствах типа Джексона. - Известия ТулГУ, 2012, вып.3, с.60-68.

5. Pinkus A. «-Widths in Approximation Theory. - Berlin: Springer-Verlag. Heidelberg. New York. Tokyo. 1985,252 p.

6. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. - М.: МГУ, 1976, 325 с.

Г.А.Юсупов

ДАР БОРАИ СТРУКТУРАИ ХАРАКТЕРИСТИКАИ ФУНКСИЯ^О АЗ Ьг ВА ЦИМАТИ АНИЦИ ЦУТР^ОИ БАЪЗЕ СИНФИ ФУНКСИЯ^О

Донишго^и миллии Тоцикистон

Дар макола баъзе нобаробарихои аник байни наздиккунии бехтарини функсияхои дав-рии ба маънои Вейл дифференсиронидашаванда бо ёрии бисёраъзогихои тригонометрй ва модули бефосилагии миёнакардашудаи вазндори тартиби ихтиёрии касрй дар метрикаи фазои Ь2 ёфта шуда, татбики онхо нишон дода шудааст. Барои баъзе синфи функсияхо, ки ба воситаи модули бефосилагии додашуда муайян карда мешаванд, кимати аники п -кутрхои гуногун дар Ь2 хисоб карда шудааст.

Калима^ои калиди: нобаробарии намуди Цексон-Стечкин - наздиккунии бехтарини полиномиали -модули бефосилагии тартиби касри - уосила ба маънои Вейл - п -цутр^о.

G.A.Yusupov

ON THE STRUCTURAL CHARACTERISTICS OF FUNCTIONS FROM L2 AND EXACT VALUES OF WIDTHS OF SOME CLASSES FUNCTIONS

Tajik National University Several exact inequalities between the best approximations of differentiable periodic functions in the sense of Weyl trigonometric polynomials, and averaged with the weight of the moduli of continuity of arbitrary fractional order in the metric of L2 are found and their applications are also given. For some classes of functions, determined as the moduli of continuity and the exact values of various n -widths in L2 are calculated.

Key words: inequalities of Jackson-Stechkin - the best polynomial approximations - the modulus of continuity of fractional order - derivative in the sense of Weyl - n-widths.