ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В L 2[0,2π] И ЗНАЧЕНИЕ ПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2014, том 57, №6_

МАТЕМАТИКА

удк 517.5

К.К.Палавонов

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В ¿2[0,2гс] И ЗНАЧЕНИЕ ПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ

Таджикский национальный университет

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 20.04.2014 г.)

В работе найдены точные значения различных п -поперечников для классов дифференцируемых функций в пространстве Ь2 [0,2ж], удовлетворяющих ограничению

Г 2 * V''

Tï J t< C/(r); t)dt <o(h),

Vh 0

где 0</г<оо, 2 / г < р <2, г е N, a - модуль непрерывности m -го порядка производ-

ной /(r) G L2 [0,2ж], Ф(и) - произвольная непрерывная возрастающая функция такая, что Ф(0) = 0.

Ключевые слова: наилучшие приближения - модуль непрерывности - точная константа - экстремальная характеристика - весовая функция - п-поперечники.

1. Обозначим через L2 := L2[0,2ж] пространство 2ж -периодических суммируемых по Лебегу действительных функций / ( x ) с конечной нормой

f -, 2— \ def 1 -

\L2[0,2—]

* 2 —

- f\f ( х)\2 dx

V- 0 J

1/2

< œ.

Пусть

ап "-1

Зи_1 = j Tn_i(х) \Tn_i(x) = + coskx + рк sinkx) !

к=1

— подпространство тригонометрических полиномов порядка < п — 1. Хорошо известно, что для произвольной функции / е , имеющей формальное разложение в ряд Фурье

а 00

f(x)--- + ^(akcoskx + bksmkx),

2 к=1

величина ее наилучшего приближения в метрике L2 подпространством 3 j равна

Адрес для корреспонденции: Палавонов Курбоназар Курбонбекович. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]

Еп_1(/) =1пГ (|/ — Тп_1\:Тп1(х) еЗ^ )

II/ - 3 м )||=\Ер>

1/2 2 i

'к i '

[ к=п

где

3п-1(/;х) = ат+ Е (акх + ьк81п кх)

п—1

2

к=1

- частная сумма порядка п — 1 ряда Фурье функции /(х), а р] = а2к + ЛГ. Через Д'', геМ обозначим множество функций / е , у которых производные (г — 1) -го порядка абсолютно непрерывны, а /(г) е . Символом

1

а: (/^ = г {

С т^

к=0

V к У

Е (—1)" 7 / (х + (т — к:

, 1/2

ох

обозначим норму конечной разности т -го порядка функции / е Ь2 с шагом к и равенством

от(/;Г)=8ир{|лт(/)|| :|к|< /},

определим модуль непрерывности т -го порядка функции / е .

Всюду далее, структурные свойства функции / е Ь2 характеризуем скоростью стремления к

« л г)

нулю модуля непрерывности т -го порядка г -ой производной / , задавая эту скорость посредством мажоранты некоторой усредненной величины сот ( /(г); ^).

Среди экстремальных задач теории аппроксимации функций одной из наиболее важных является задача вычисления точных констант в неравенствах типа Джексона - Стечкина

Еп_х{^<Хпгсоп{1(г)-Л ГЕ^, />0,

где % - некоторая константа, не зависящая ни от /, ни от п, но зависящая от т и г. Эту задачу в разное время исследовали Н.И.Черных [1,2], В.И.Бердышев [3], Л.В.Тайков [4,5], А.А.Лигун [6,7], А.Г.Бабенко [8], В.И.Иванов и О.И.Смирнов [9], С.Б.Вакарчук [10,11], М.Ш.Шабозов [12], М.Ш.Шабозов и Г.А.Юсупов [13] и многие другие.

В работе [2] Н.И.Черных отметил, что для характеристики величины Еп_^/) более естественным является не джексоновский функционал теМ, /* е Ж , 0 < И. <ж I п, а усредненный с весом (р(() > 0 (0 < I < к) функционал

Га А 11/2

(/ г); И) = Н а2Л/(г); ОКО^/} ((о4 •

Очевидно, что при любом И е (0,ж / и], Фот (/М ;И) <ют (/{г);И) Учитывая эти соображения, введем в рассмотрение экстремальную аппроксимационную характеристику следующего вида

Х

т,П,Т, р

(И) = Бир

2тп"Кп_1(/)

: / е 1%); /(г) * еотХ

( ? и V/р

-2Г | (/(г); г )йг

VИ о у

(1)

где 0<к<ж / п.

Величина вида (1) в частном случае при р = 2/т, гаеК и весовой функции ( (г) = (г — И), 0 < г < И подробно изучена в работе [14], где доказано, что в этом случае для любых гей и любых чисел Ъ, удовлетворяющих условию 0 < И. < ж / п, справедливы равенства

Х т

(И) = Ит ^ 1 —

2Бт(иИ / 2) пк

, — т/2

Целью данной статьи является отыскание точного значения экстремальной величины (1) и использование полученного результата для вычисления точных значений различных п -поперечников. Имеет место следующая

Теорема 1. Для произвольных г е М, 2 / г < р <2, г >2, 0 < И < ж / п справедливо равенство

Х т

12 и i ^

(И)=1 ^ \18Ш т) *

1—1/р

2. Прежде чем сформулировать другие результаты, напомним необходимые понятия и определения, используемые в дальнейшем.

Пусть S = {д : ||#|| < 1} - единичный шар в ; М - выпуклое центрально-симметричное подмножество из ; Ли с Х2 - произвольное п -мерное подпространство; Лп с Х2 - подпространство коразмерности п\ С: /,2 —» Ли - непрерывный линейный оператор, переводящий элементы пространства Ь2 в Ля; : £2 —» Лй - непрерывный оператор линейного проектирования пространства Ь2 на подпространство Лп такой, что С / = /, если /еЛв. Величины

Ьп(М,¿2) = вир¡8ир{£ > 0;^с М}: Лп+1 с Ь2},

dn(M, 4) = inf {sup{|| f\\ : f g M n Лn j: Лn с L2 j, dn (Ш, L2) = inf jsup {inf j|| f - g||: g j: f g ml }:Лп с L j, ¿„(ЯЯЛ) = inf {inf {sup{||/-£/|| :/еШ1}:£4сЛ„):Алс12},

Пй(Ши2) = inf {inf {sup {(/-Г1/]: / e ш): с: Лй}: A„ c= Z2

называют соответственно бернштейновским, гельфандовским, колмогоровским, линейным и проекционным n -поперечниками. Поскольку L2 - гильбертово пространство, то между перечисленными n -поперечниками выполняются соотношения [15,16]:

bn (m, 4) < dn (m, 4) < dn (m, l) = sn (m, Z2) = пп (m, l2).

Положим ещё

En X(M) = sup {En - ¿f): f g M}.

Всюду далее через W^ h обозначим класс функций f g L(2 \ которые для любых m,n,r g N, 2 / r < ^ < 2 и произвольного h g (0, ж / n] удовлетворяют ограничению

h

4 í (/(r), , d * 1,

h 0

а через ^^ (ф) обозначим аналогичный класс функций f g Z2:), которые для тех же значений указанных параметров удовлетворяют условию

( h Л"р

Jt fr), О* <Ф*),

vh 0 J

где Ф(и) - произвольная непрерывная возрастающая при и > 0 функция такая, что ф(0) = 0.

Поставим целью вычислить точные значения вышеуказанных n -поперечников для сформулированных классов функций в пространстве L2. Положим также

(sin t)„ = {sin t, если 0 < t <ж/ 2; 1, если t >ж/ 2}.

Теорема 2. Пусть т,п g N, 2/r<p<2, tgN м число h> 0 удовлетворяет условию 0 < nh < ж. Тогда справедливы равенства

у2n-i [С ¿ ;L ) = у (^ % h ;L J =

л -1/р mp i ^

=м ^^ )=2-mn ■ sin ] "d,

где уп (•) - любой из вышеперечисленных п -поперечников. Из теоремы 2 вытекает ряд следствий.

Следствие 1. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда имеют место равенства

У2п—1 ( ^т,2/т,й ; ) = У2п ( ^т,2/тИ ; ¿2 ) = Еп—1 ( ^т,2/т,И ; ^2

= 2" mn~4 1 -

sin nh 1 nh 2

, г 2 . nh"

1 -I-Sin-

I nh 2 ,

-m/2

Если в частности h = ж / n, то

У2n-1 ( ,2/m,h ' L2 1 = У2п ( ,2/m,h ' L2 1 =

= E iW(r) 1 = 2-m/2 • n-r

En-1 ^ Wm,2/m,h 2 n

с ж2 V

,ж2 + 4 ,

где у (•) - любой из перечисленных выше n -поперечников.

Следствие 2. При выполнении условий теоремы 2 для любого п е N имеют место равенства

sup {|a„ (f) и ъп (f) |: f swm;p, h } =

' 2 w ^yp 1-1/p

J t(sin nr] dt

= 2-mn"

Vh о

где аи (/) и ЬИ (/) соответственно косинус- и синус-коэффициенты Фурье функции / е • Сформулируем основной результат работы.

Теорема 3. Если для всех /л> 0, т/еМ, 2 / /* < р < 2, г > 2 мажоранта Ф для любого и е удовлетворяет условию

V1

Фp(и)

цж/2

ж/2

J t(sin t)mpdtl J t(sin t)mpdt

(2)

mo для любого n e N справедливы равенства

у2n-1 (W ГР(Ф); L ] = У2n (W ГР(Ф); L ] = En-! (w 2(Ф))

¿2

A ж/2

= 2-( m+3/p)

1 ж / 2

^ J t(sin t)mpdt

2

4-1/p

Чж о

Ф

ж

n

Множество мажорант {Ф}, удовлетворяющих условию (2), не пусто.

Этому условию удовлетворяет, например, функция Ф„ (h) = hal p, где

_\2 (ж/2 V1

а = \ - I J t(sin t)mpdt

- 2.

,2,

Следствие 3. При любых m,n,r G N, 2 / г < р <2 справедливы равенства

у2n-i (оф.); L2 ]=r2n (Оф.); L2 ]=En-iW rp (ф. ))

L2

1/Р

2 21

_ 2-(m+3/p) | a + 2 I ж"/p n r-a!p

где уп (•) - любой из вышеперечисленных n -поперечников.

Поступило 29.05.2014 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Черных Н.И. О неравенстве Джексона в L2. - Приближение функций в среднем. Сб. работ. - Тр. МИАН СССР, 1967, №88, с. 71-74.

2. Черных Н.И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в L2. - Матем. заметки, 1967, №2(5), c.513-522.

3. Бердышев В.И. О теореме Джексона в Lp. - Труды МИАН СССР. 1967, №88, c.3-16.

4. Тайков Л.В. Неравенства, содержащие наилучшие приближения и модуль непрерывности функций из L2. - Матем. заметки, 1976, №20(3), c.433-438.

5. Тайков Л.В. Структурные и конструктивные характеристики функций из L2. - Матем. заметки, 1979, №25(2), c.217-223.

6. Лигун А.А.Некоторые неравенства между наилучшими приближениями и модулями непрерывности в пространстве L2. - Матем. заметки, 1978, №24(6), c.785-592.

7. Лигун А.А. Точные неравенства типа Джексона для периодических функций в пространстве L2. -Матем. заметки, 1988, №43(6), c.757-769.

8. Бабенко А.Г. О точной константе в неравенстве Джексона в L2. - Матем. заметки, 1986, №39(5), c.651-664.

9. Иванов В.И., Смирнов О.И. Константы Джексона и константы Юнга в пространствах Lp. - Тула: ТулГу, 1995, c.192.

10. Вакарчук С.Б., Щитов А.Н. Наилучшие полиномиальные приближения в L2 и поперечники некоторых классов функций. - Укр. матем. журнал, 2004, №56(11) c.1458-1466.

11. Вакарчук С.Б. Неравенства типа Джексона и поперечники классов функций в L2. - Матем. заметки, 2006, 80(1), c.11-19.

12. Шабозов М.Ш. Поперечники некоторых классов периодических дифференцируемых функций в пространстве L2[0,2n]. - Матем. заметки, 2010, №87(4), c.616-623.

13. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшие полиномиальные приближения в L2 некоторых классов 2л>периодических функций и точные значения их поперечников. - Матем. заметки, 2011, №90(5), c.764-775.

14. Шабозов М.Ш., Вакарчук С.Б. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами и точных значениях поперечников функциональных классов в L2. - Analysis Mathematica, 2012, №38(2), c.154-165.

15. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. - M.: МГУ, 1976, c.325.

16. Pinkus A. «-Widths in Approximation Theory. - Springer, Berlin, 1985.

К-К-Палавонов

НАЗДИККУНИИ ФУНКСИЯ ДАР Ь[0,2гс] ВА КИМАТИ КУТР^ОИ БАЪЗЕ

СИНФИ ФУНКСИЯ^О

Донишго^и миллии Тоцикистон

Дар макола кимати аники n -кутрхо барои баъзе синфи функсиях,ои дифференсиронида-шавандаи дар фазои L [0,2ж], ки шарти зеринро каноат мекунад

( h V7 Р

Jr(fr);

Vh 0 )

х,исоб карда шудааст. Дар инчо 0 < /z < go, 2 / г < р <2, г е N, G>m{f{r)\t) - модули бефосила-гии тартиби m -и ихтиии функсияи f(r) е L2 [0,2ж], Ф(и) - ихтиёрии функсияи бефосила аф-зуншаванда ва барои Ф(0) = 0 аст.

Калима^ои калидй: наздиккунии беутарин - модули бефосилаги - доимии анщ - характеристикаи экстремали. - функсияи вазндор - n -цутр^о.

Q.Q.Palavonov

APPROXIMATION OF FUNCTIONS IN L2[0,2n] AND THE VALUES OF WIDTHS

FOR SOME CLASSES FUNCTIONS

Tajik National University The exact values of diverse n -widths of periodical functions belong Z2[0,2ж] space and satisfying the condition of

f 2 h Vp

,2

J tam (f(r); t)dt <0(h),

h 0 У

where 0 < h < x, 2 / г < p < 2, reN, om (/i');/) is the module of continuity of m -order derivative

f r g Z2[0,2^], O(u) is an arbitrary increasing function and O(0) = 0 were found in the article.

Key words: the best approximation - modulus of continuity - exact constant - extreme characteristic weight function - n-widths.