CC BY
9
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2018, том 61, №1_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Академик АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозов, Г.А.Юсупов, К.К.Палавонов*
СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ И ЗНАЧЕНИЯ ПОПЕРЕЧНИКОВ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ ИЗ L2
Таджикский национальный университет, Таджикский государственный университет коммерции
Для дифференцируемых функций, принадлежащих классу Ь2\ г е М, получены точные константы в неравенствах типа Джексона, содержащих усреднённые значения модулей непрерывности т-го порядка а>т (f(г), t). Также для классов функций, определённых указанными характеристиками гладкости и мажоранты Ф, удовлетворяющих некоторым ограничениям, найдены точные значения ряда п -поперечников.
Ключевые слова: неравенства Джексона, усреднённые модули непрерывности, мажоранта, наилучшее приближение, п -поперечники.
1. Обозначим через N множество натуральных чисел; Ж = N 'и {01: Ж+ - множество положительных чисел вещественной оси; Ь2 := ¿2[0,2л] - пространство суммируемых с квадратом по Лебегу 2л -периодических действительных функций с конечной нормой
( Л 2п У/2
1 Р
ll/IHI/IL= -Jl/0012dx
Множество всех тригонометрических полиномов порядка n — 1 обозначим через T2n_ 1. Если
а ( f) n—i
^n—1 (f; x) := + É— (f) cos kx + bk (f) sin kx)
k=1
- частная сумма порядка n — 1 ряда Фурье
ад
f(x) „ + Yj,ak (/) cos kx + bk (/) sin kx\
k=1
то хорошо известно, что наилучшее приближение функции f в метрике пространства Ь2 тригонометрическими полиномами Тп_ 1 е2п_ 1 реализуется частичной суммой ряда Фурье Sn_х(/, х) :
Е„М) := шДЦ / -7^ ||: Тп_х{х) е Т2п_х} =
Адрес для корреспонденции: Шабозов Мирганд Шабозович. 734025,Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]
, 1/2
где р\(/) := а2к(/) + Ъ1к(/), к >п, ак(/), Ьк(/) - косинус- и синус-коэффициенты Фурье функции { е Ь2.
Через Ь(2г} (г
е Ъ+, 1'2' = Ь2) обозначим множество функций / е Л2, у которых производные (г -1) -го порядка /"(г абсолютно непрерывны, а производные г -го порядка /(г) е Ь2.
Модуль непрерывности т -го порядка произвольной 2ж -периодической суммируемой с квадратом функции ( е Ь2 определяем равенством
^(/,0 = 8ир{||АГ/0||:|//|<^}, (1)
где
m , ( m ^
К№ = , f(x+ (m - k)h) (2)
к=0
V к J
- разность m -го порядка функции f в точке x с шагом h. Заметим, что для произвольной функции f е ) имеет место равенство
f(r) (x) = fhr í ak (f) cos (kx + bk (f) sin ^ kx + ^ (3)
в смысле сходимости ряда в правой части (3) в пространстве L2. Непосредственным вычислением, применяя равенство Парсеваля, с учётом (2) и (3), получаем
2 ^
Цдт/ОфЦ = 2m - cos kh)mk2p2(f),
k=1
откуда, пользуясь равенством (1), находим
{ад
2m £(1 - cos kh)mk 2rp2k(f ):|h|< t
к=1
Неравенствами типа Джексона-Стечкина в широком смысле называют соотношения, в которых погрешность приближения индивидуальной функции в рассматриваемом банаховом пространстве оценивается через модуль непрерывности заданного порядка самой приближаемой функции или некоторой её производной. При этом естественным образом возникает экстремальная задача получения точных неравенств, неулучшаемых на рассматриваемых классах функций. При решении экстремальных задач теории аппроксимации в пространстве L2, связанных с нахождением точных констант в неравенствах типа Джексона-Стечкина
En—1(f ) <%nfam | f(r),nJ,
где
t> 0, /eZ(2r), meN, reZ+, /(0)=/,
многими математиками в разное время рассматривались различные экстремальные характеристики, способствующие уточнению оценок сверху констант % (см., например, [1-12] и приведённую там литературу).
Л.В.Тайков [2] для произвольной функции f е L(2r), у которой f Ф const, при условии 0 < nh < ж / 2, доказал справедливость следующего равенства
sup /liUfL = 1. . (4)
(") г т_ „г--, , . 2 nh — sin nh
fa2( f(r), t )dt
f eL2 L¿(f(r )
f Ф const
0
Обобщая результат (4) для произвольных модулей непрерывности m -го порядка, С.Б.Вакарчук [6] доказал, что
(к уm/2 Г m/2
sup „'^(Л(/<r);t>*f = W^} ■ <5)
f eL") (")
f' ' = const
В [7] доказано, что для произвольных т, п, г е N, 1 / г < р < 2, 0 <пк<ж справедливо равенство
[h Г"Р \ V Am' Г"^
sup nrEn_i(f)-|j<(/(rt)dt| = jj^2sin2J dt I . (6)
/ ( r )= const
Очевидно, что при p = 2 / m, m e N из (6) следует (5).
2. В нижеследующей теореме 1 мы приводим своеобразный аналог результата (6) для усреднённых значений модулей непрерывности m -го порядка.
Теорема 1. Для произвольных т,п<= N, г е Z+ 0<р<2 и /zeIR+, удовлетворяющих
неравенству 0 < nh <ж, справедливо равенство
•\m+1/p r-1/p
2m pnr—1 pEn_ 1(f )
sup \ V/P
feL") I hf i t ^ Л
j[ 1 fa (f(r), u)du
dt
,(r)
f Ф const
Vt о J J
'nh/2f 1 t \ J—1/P
J I -J(sinuУ du dt .
0 Vt 0 J J
3. Прежде чем привести дальнейшие результаты работы, излагаем нужные нам необходимые определения и обозначения. Пусть S - единичный шар в L2; M - выпуклое центрально-
симметричное подмножество из L2; Лn с L2 - n -мерное подпространство; Лn с L2 -
подпространство коразмерности и; С '. Ь2 —> Ап - непрерывный линейный оператор, переводящий
элементы пространства Ь2 в Ли; С1 : Ь2 —> Ап - непрерывный оператор линейного проектирования
пространства L2 на подпространство Лп . Величины
bn(ШГ,L2) = sup{sup{s > 0; sSпЛп+: с ШГ}: Лп+1 с L2}, (7)
d\m,L2) = mf{sxiv^\f\\1:f &тслКп}:Кп ci2}, (8)
dn(^L2) = M{sup{inf{\\f-g\\2.gGAn}:fGDn}:An^L2}, (9)
^(2n,Z2) = inf{inf{sup{||/-£/||2:/G2n}:£Z2eA„}:A„eZ2}, (10)
ПДШТЛ) = infjinf {sup[|| /-&/1|2: / e ШТ}: £XZ2 Ля (11)
называют соответственно бернштейновским, гельфандовским, колмогоровским, линейным, проекционным n-поперечниками в пространстве L2. Поскольку L2 - гильбертово пространство,
справедливы следующие соотношения между вышеперечисленными величинами (см., например, [13,14]):
bn(M,L2) < dn(M,L2) < dn(M,L2) = ^(M,L2) = n(M, L2). Положим также
En.j(M)l2 :=sup{En_/ / e M}.
Непрерывную возрастающую на полусегменте [0, да) функцию Ф(и), такую, что Ф(0) = 0, будем называть мажорантой. Множество всех мажорант обозначим символом N . Через Nk, где k G N, обозначим множество мажорант Ф(и) е 9Т, для которых выполняются условия
1. t-xk Ф(0< t2' Ф&);0< ti< t2 < л;
2. lim t~k Ф(/) = 0.
Для meN, 0 < /; < 2 и произвольного h e Ж вводим в рассмотрение следующие
классы функций:
h ( Л t \
W(r)(h) := i / e L(r): jl 1 (/),u)du
0 Vt о
dt < 1'
(Ф) = ] / е ¿2): I }I 1 }<(/(г),п)ёп
К)
> ур dt
V У
<Ф(^ к
где Ф - некоторая мажоранта.
Теорема 2. Пусть 1 / г < р < 2, г е М, /г е [0, л- / «], и е N. Тогда при любом п е справедливы равенства
Лп-1 -Ч^), ¿2 ) = V {К\И), Ь2 ) = Е- -\И))
¿2
= 2^ РУ п
-!тД| - г Д' пИПГ 1 t
Р и Р
ГЦ А / 1 {
| I -1(sinп)тр ёп
о V о
> |-1/Р
V У
(12)
где \ (•) - любой из перечисленных выше к -поперечников (7)-(11).
Следствие 1. Пусть выполнены все условия теоремы 2. Тогда при р = 2/т, иёМ имеют место равенства
(кт ш 4)=V! (кт ш ь2)=
Еп- №1(Н) \ _ п
т/2
п I
2(пк - Si(nh)) I '
(13)
0.. , г Sinи
Si(t) = I-аи - интегральный синус.
о и
В самом деле, положив в выражение, стоящее в правой части равенства (12), р = 2/т, т е ?! и, вычисляя полученный интеграл, будем иметь
nh/2 л / t
т+т/2) п^г+т/2 |
п ^ 1 / (
| -1 18т2пёп
-т/2
ёХ
nh/2 * { 2t
_ 2- п
т/2 „-г+т/2
ГЦ 1 / ¿.I \
| —I |(1 - cos и)ёи ё(2Х)
2Х
о ^1 V о
_ 2--т/2 п-г+т/2
111 - ^Х
у У
-т/2
а (2х )
У У
\-т/2
У
_ 2-т/2пг+т/\^ - Si(nh))-mr2 _ п
т/2
л т/2
п I
2(nh - Si(nh)) ] '
откуда и следует равенство (13).
Теорема 3. Пусть мажоранта Ф е при любом ШёМ удовлетворяет ограничениям
ф(^) ^ 1 Jnh - Si(nh), если 0< h < — / n,
Ф(ж/п) ж-£/'(ж) [2nh-ж-£/(ж), если h >ж/п. Тогда для любых йеМ и г е имеют место равенства
V (^2(/Гт (Ф), ¿2 ) = V (Ф), ¿2 )
, m/2
= n-r J-П--ф[ —
2(ж - &'(ж)) V п,
где V (•) - любой из к-поперечников (7)-(11).
Множество мажорантных функций Ф(^), удовлетворяющих условию (14), не пусто. Условию (14) удовлетворяет, например, функция Ф«(^) = ^, где а = ж/(ж-5У(ж)), (2,41 < а <2,42).
Поступило 14.10.2017 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Черных Н.И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в L2. - Матем. заметки, 1967, т.2, №5, c.513-522.
2. Тайков Л.В. Неравенства, содержащие наилучшие приближения и модуль непрерывности функций из L2. - Матем. заметки, 1976, т.20, №3, с.433-438.
3. Бабенко А.Г. О точной константе в неравенстве Джексона в L2. - Матем. заметки, 1986, т.39, №5, с.651-664.
4. Лигун А.А. Некоторые неравенства между наилучшими приближениями и модулями непрерывности в пространстве L2. - Матем. заметки, 1978, т.24, №6, с.785-792.
5. Иванов В.И., Смирнов О.И. Константы Джексона и константы Юнга в пространствах Lp. - ТулГУ, 1995, 192 с.
6. Вакарчук С.Б. Неравенства типа Джексона и поперечники классов функций в L2. - Матем. заметки, 2006, т.80, №1, с.11-19.
7. Шабозов М.Ш. Поперечники некоторых классов периодических дифференцируемых функций в пространстве L2[0,2^] - Матем. заметки, 2010, т.87, №4, с.616-623.
8. Шабозов М.Ш., Вакарчук С.Б. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами и точных значениях поперечников функциональных классов в L2. - Analysis Mathematica, 2012, т.38, №2, с.154-165.
9. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшие полиномиальные приближения в L2 некоторых классов 2п-периодических функций и точные значения их поперечников. - Матем. заметки, 2011, т.90, №5, с.764-775.
10. Shabozov M.Sh., Yusupov G.A. Widths of Certain Classes of Periodic Functions in L2. - Journ. of Approx. Theory, 2012, v.164, issue 1, pp.869-878.
11. Yusupov G.A. Best polynomial approximations and widths of certain classes of functions in the space L2. - Eurasian Math. J., 2013, v.4, №3, pp.120-126.
12. Yusupov G.A. Jackson's - Stechkin's inequality and the values of widths for some classes of functions from L2. - Analysis Mathematica, 2014, v.40, №1, pp.69-81.
13. Pinkus A. «-Widths in Approximation Theory. - Berlin: Springer-Verlag, Heidelberg, New York, Tokyo, 1985,252 p.
14. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений, МГУ 1976, 325 с.
М.Ш.Шабозов, Г.А.Юсупов, К.К.Палавонов*
НАЗДИКШАВИИ МИЁНАКВАДРАТИИ ФУНКСИЩОИ ДАВРЙ ВА КИМАТИ КУТР^ОИ СИНФИ ФУНКСИЩО АЗ Li
Донишгохи миллии Тоцикистон, * Донишгохи давлатии тицорати Тоцикистон
Барои фупксияхои дифференсиронидашаванда, ки ба синфи , г е N, тааллук; доранд, доимидои аник дар нобаробарии намуди Ч,ексон, ки кимати миёнаи модули бефосилагии тартиби m -ум <m (f(rt) -ро дар бар мегиранд, ёфта шудаанд. Инчунин барои синфи функсиядое, ки ба воситаи характеристикаи суфтагй ва мажорантаи Ф, ки баъзе шартдои муайянро каноат мекунонад, кимати аники як катор n -кутрдо дисоб карда шудааст. Калимахои калиди: нобаробарии Цексон, модули бефосилагии миёнакардашуда, мажоранта, наздиккунии беутарин, п -цутр^о.
M.Sh.Shabozov, G.A.Yusupov, K.K.Palavonov* MEAN-SQUARE APPROXIMATION OF PERIODIC FUNCTIONS AND VALUES OF WIDTHS OF CLASSES FUNCTIONS IN L2
Tajik National University, Tajik State University of Commerce
For differentiable functions belonging to the class Z(2r) ,r e N, received the exact constants in Jackson's inequalities type containing the averaged values moduli of continuity of the mth order <am (f(r), t). Also, for classes of functions defined by the indicated characteristics of smoothness and majorants Ф, satisfying some restrictions, exact values of the series of п -widths are found. Key words: Jackson inequality, averaged moduli of continuity, majorant, best approximation, п-widths.
