Полиномиальные приближения периодических функций и значения поперечников некоторых классов функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ____________________________________2010, том 53, №9________________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

Академик АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозов, С.С.Хоразмшоев* ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ И ЗНАЧЕНИЯ ПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ

Институт математики Академии наук Республики Таджикистан,

Таджикский технический университет им. М.Осими

Для классов дифференцируемых периодических функций, задаваемых обобщенными модулями непрерывности т-го порядка (./ ;/), удовлетворяющих условию

й

о

где т е К, г е Ж+, Ф(0 - произвольная непрерывная возрастающая функция, такая, что Ф(0) = 0, вычислены точные значения различных п -поперечников.

Ключевые слова: наилучшее полиномиальное приближение - экстремальная характеристика -обобщенный модуль непрерывности - п-поперечники.

1. Пусть N - множество натуральных чисел; 7/^ : = Л'' и {01. Обозначим через Ь2 := Л;[0,2л] пространство 2л -периодических суммируемых с квадратом в смысле Лебега действительных функций / (х) с конечной нормой

Li

-t Z.JL

- \\f(x)\2ck о У

< СО,

а через 1'2(Г е N - множество 2л -периодических функций / е Л2. у которых производные (г-1)-ТО порядка /(г абсолютно непрерывны, а производные г-го порядка / 0 > е 1,2.

Пусть 7~п_х - подпространство всевозможных тригонометрических полиномов порядка

< п — 1. Общеизвестно, что для произвольной / е Ь2, имеющей формальное разложение в ряд Фурье

/(Х)~ —+ ^ аксо$1а + Ък$т1а ,

2 к=\

величина ее наилучшего приближения в метрике Ь2 подпространством 7~п_} равна

Адрес для корреспонденции: Шабозов Мирганд Шабозович. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул.Айни, 299/1, Институт математики АН РТ. E-mail: [email protected]

ббі

Е,(Л = М |/-^1|:Г„_,(дг)£^1 =

, 1/2

11/2

=II/ - (/)! = 1>»! + *;) := Е А

•1+4:

\^к=п J [к=п

где

$п-і(/>-х) = ~ + Х аксо&кх + Ьк$,ткх

2 к=\

- частная сумма порядка п -1 ряда Фурье /єі2.

Через

а>я{/,І) = Щ> АГ/0)

(1)

= эир =

£=0

ук у

/(х + (т — к)К)

:\И\ <і

(2)

обозначим модуль непрерывности порядка т функции / ЄІ2.

Для оценки наилучших приближений 2л -периодических функций /єі2 наряду с величиной (2) используют усредненную характеристику гладкости (см., например, [1-4]):

п.

і і і (/;')= -["||д;7(-)||Ч■"«'л,, ,

(3)

где ґ>0; ь-={\,кг,...,кт\ =А1/1 о-.-оД1^.

Заметим, что в ходе исследования важных вопросов конструктивной теории функций в метрическом пространстве Ь (0 < р < 1) усредненная характеристика гладкости функции, подобная (3),

рассматривалась К.В.Руновским [5] и Э.А.Стороженко, В.Г.Кротовым, П.Освальдом [6].

В данной работе мы вводим в рассмотрение следующую экстремальную аппроксимационную характеристику

лг~тр (

■И^(Ю = вир ------------------

fє6[) (К

\тП2^(/{г\т)с1т

п/2 ’

где ш,яеК, геЖ+, г >т и И > 0 - произвольное число.

Теорема 1. Пусть т,п,г еН, г>т и И - произвольное число, удовлетворяющее условию 0 < к < л / п. Тогда

п

О

Mm,nAh) = \Snh? -2(1 - COSИЙ)] ” .

Для произвольной 0 < h < л / п имеют место неравенства

ґ sin nh^~m'2 °m/2~r

2 nrE ,(/) (nh)”

< sup -------------n:lKJ ’ <• v ’

v nh ) /eiW Q m(f('\h) \(nh)2 -2(1-cos nh)\

f(r>^COnst L

Следствие і. В условиях теоремы 1 справедливы соотношения

п/п - {л1 -4)~т/2,

1 ^...I п"ЕпМ) .

< sup<! ч : / є 4Г)>/(г) * const Г ^ 2_Я!/2

Vі жЪ

2. Всюду далее через Ьп(ЭДТ,1.2), сіп(т,Ь2), (1п(ЭДТ,1.2), 8п{т,Ь2) и Пп(9Л,/.;) обозначим соответственно бернштейновский, гельфандовский, колмогоровский, линейный и проекционный п -поперечники некоторого центрально-симметричного компакта М в пространстве 4 (см., например, [7], [8]). Указанные п -поперечники связаны соотношениями

К (ЭД 1-2)<л' (т, 4) < <іп (шт, 4) = (п% і,2) = п„ (ал, 4)

Также полагаем

£й0:=8ир{£й(/):/єШІ}.

Пусть Ф(7), / > 0 - произвольная возрастающая функция, такая, что Ф(0) = 0. Через да, г є N обозначим класс функций / єіі2\ для которых при любых к >0 выполняется неравенство

А

pnf (/<'>,

0

Теорема 2. Если мажоранта Ф(7) удовлетворяет ограничениям

ф(И) 1 | (nh)2 - 2(1 - cos nh), если 0 <h<n I п,

Ф(л / п) л2 - 4 \2{nh)2 - л2 - 4, если h>n I п,

то для любых m, n е N u г е Z+ при г>т имеют место равенства

т/2

_1^.ф ж ,

И и —Ч П

ббЗ

где рк (•) - любой из к-поперечникое Ьк (•), с1к (•), <Лк (•), дк (■) или п*(0- Множество мажорант (Ф(Т)}, удовлетворяющих условию (4), непусто. Этому условию удовлетворяет, например, функция ф(7) = /4-2/(-2-4).

Следствие 2. В условиях теоремы 2 справедливы равенства

Р2„Ж'( Ф.)Л)=«”(«>. )Л) =

= (ж- -4)-""!

где рк(-) - любой из перечисленных выше к-поперечников.

Следствие 3. Если выполнены условия теоремы 2, то имеют место равенства

I т/2

1 п2

sup{| an(f) |,| bn(f) |: / є 0^ (Ф)} - —\~Г^Ф

п \7Г -4

л

Knj

где an(f) и bn(f) соответственно косинус и синус коэффициенты Фурье функции f є ■

Поступило 21.07.2010 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Вакарчук С.Б. - Матем. заметки, 2005, т.78, 5, с.792-79б.

2. Vakarchuk S.B., Zabutna V.I. - East J. on Appr., 2GGS, v.i4, 4, pp.4ii-42i.

3. Саидусайнов М.С. - ДАН РТ, 2010, т.53, 6, с.420-423.

4. Юсупов ГА. - ДАН РТ, 2010, т.53, 2, с.85-93.

5. Руновский К.В. - Матем. сборник, 1984, т.185, 8, с.81-Ю2.

6. Стороженко Э.А., Кротов В.Г., Освальд П. - Матем. сборник, 1975, т.98(140), с.395-415.

7. Шабозов М.Ш. - Матем. заметки, 2010, т.87, 4, с.616-б23.

S. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. - ДАН России, 2010, т.435, 2, с.178-181.

М.Ш.Шабозов, С.С.Хоразмшоев*

НАЗДИККУНИИ ПОЛИНОМИАЛИИ ФУНКСИЯ^ОИ ДАВРЙ ВА ЦИМАТИ ЦУТР^ОИ БАЪЗЕ СИНФИ ФУНКСИЯ^О

Институти математикаи Академияи илмх;ои Цум^урии Тоцикистон,

Донишго^и техникии Тоцикистон ба номи М.Осими

Барои синфи функсиях,ои даврие, ки ба воситаи модули бефосилагии умумикардашудаи тартиби т -уми дода шуда, шарти

о

бб4

- ро капоат мекунанд, ки дар ино те N, г е Z+, Ф(7) - ихтиёри функсияи бефосилаи афзун-шаванда буда, барояш Ф(0) = 0 аст, кима ги аник;и п-кутрхои гуногун хисоб карда шудааст.

Калима^ои калиди: наздиккунии беутарини полиномиали - характеристикаи экстремали - модули бефосилагии умумикардашуда - n-цутр^о.

M.SH.Shabozov, S.S.Khorazmshoev*

THE POLYNOMIAL APPROXIMATION OF PERIODICAL FUNCTIONS AND VALUE OF WIDTHS OF SOME CLASSES FUNCTIONS

Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan,

M.Osimi Tajik Technical University

In the article for periodical functions, defined by the generalized modulus of continuity of m -order

Q;u ( /';/) and satisfy the conditions of

h

0

were m e N, r e Z+, Ф(7) - is arbitrary increasing function, for which Ф(0) = 0, the exact value of different n -widths are calculated.

Key words: the best polynomial approximation - the extremal characteristic - the generalized modulus of continuity - n -widths.