CC BY
12
УДК 519.833.5
О СТРУКТУРЕ МНОГОГРАННИКОВ, ИСПОЛЬЗУЮЩИХСЯ В КООПЕРАТИВНОЙ ТЕОРИИ
© 2007г. А.Б. Зинченко, Л.С. Оганян
Some classes of vertices of the polyhedrons of balanced, superadditive, (0-1)-reduced cooperative games small dimensionality and of auxiliary polyhedrons are described. Graphs of polyhedrons are constructed. The results may be used for generation of data in the calculating tests, composition of educational tasks, derivation of sufficient conditions balancing the game, calculation of nucleolus.
Супераддитивные кооперативные игры Г=<^у>, N={1,...^}, v■.2N ^Я1,
у(51 )+У(52) <У( 51 и?2), 51 гЯ2=0 (1)
с трансферабельными полезностями (ТП-игры) широко применяются для моделирования конфликтных, но неантагонистических ситуаций, возникающих в экономике, политике, социологии и других областях [1-4]. Такие игры допускают совместные действия игроков и перераспределение выигрыша. Каждая существенная ТП-игра стратегически эквивалентна своей (0-1)-редуцированной форме
у(1)=0,v(N)=1; 0<У(5)<1, £N.(2) Поэтому будем рассматривать только игры, удовлетворяющие (2).
Игра Г имеет непустое с-ядро тогда и только тогда, когда она сбалансированна [2, с. 34], т.е.
с N Я (5 М>5) < 1, 1 = О , (3)
где
Я = (Я (1),...,Я (п),Я (1,2),...,Я (п -1,п),...,Я (2,...,п)),
I = 1,1, - вершины многогранника Мп сЯт ,
т = 2п - 2, заданного условиями
2 5 с N )Х( 5) = Х( N), Я(5) > 0, 5 с N (4) (Х(5) - характеристический вектор коалиции 5).
Из (3) следует, что проблема аналитического описания множества сбалансированных, супераддитивных, (0-1)-редуцированных игр Вп сводится к задаче нахождения всех вершин вспомогательного многогранника Мп. Размерность Мп экспоненциально растет при увеличении числа игроков, однако количество ненулевых компонент его вершин Я не больше п. Например,
для шести игроков имеем 62-мерные векторы Я с не более чем 6 ненулевыми компонентами. В связи с этим
Я еМп задают в виде пары (Р1 ,а'), где Р1 = = {5 с N: Я (5) > 0} - семейство коалиций, соответствующих положительным компонентам вершины Я1
(минимальное сбалансированное покрытие),
а1 = (Я (5) е Я : Я (5) > 0) - вектор ненулевых компонент вершины Я (вектор весов).
В полиэдральной комбинаторике Мп называют ре-лаксированным многогранником разбиений [5, с. 136], так как существует биекция между целочисленными вершинами Мп и разбиениями множества N [5, с. 135]. Описания нецелочисленных вершин многогранника Мп при произвольном п пока нет, поэтому актуально их нахождение хотя бы для малых п.
Сведений о вершинах множества Вп в известной авторам литературе нет.
Рассмотрим игру трех лиц. Вершины Мъ [6, с. 29] ^=(1,1,1,0,0,0), Я2=(1,0,0,0,0,1), ^=(0,1,0,0,1,0), ^=(0,0,1,1,0,0), Я5=(0,0,0,1/2,1/2,1/2) соответствуют следующим минимальным сбалансированным покрытиям: Р1={{1},{2},{3}}, Р2 ={{1},{2,3}}, Р35 ={{2},{1,3}}, Р4={{3},{1,2}}, Р5 ={{1,2},{1,3},{2,3}} с весами а!=(1,1,1),
а2 =а3 = а4 =(1,1), а5 =(1/2,1/2,1/2). Подставляя Я в (3), учитывая (1), (2) и исключая зависимые неравенства, получаем систему v(1)=v(2)=v(3)=0,
0<у(1,2),У(1,3),У(2,3)<1, У(1,2)+У(1,3)+У(2,3)<2, которая определяет многогранник В3 с семью вершинами: v1=(0,0,0,1,0,0), v2=(0,0,0,0,1,0), v3=(0,0,0,0,0,1), v4=(0,0,0,1,1,0), v5=(0,0,0,1,0,1), v6=(0,0,0,0,1,1), v7=(0,0,0,0,0,0), соответствующими простым играм. Получили, что множество всех сбалансированных, супераддитивных, (0-1)-редуциро-ванных игр трех лиц является выпуклой оболочкой простых сбалансированных игр
V = 27=1 аУ, 27=1 а =1, а > 0,1 = 17
Для п=4 в литературе дано противоречивое описание вершин Х1еМ 4 и условий сбалансированности игры.
Например, в книге Э. Мулена [1, с. 192] утверждается, что супераддитивная игра четырех лиц имеет непустое с-ядро тогда и только тогда, когда
у(1,2)+У(2,3)+У(3,4)+У(1,4) < 2, (5)
у(1,2,3)+У(2,3,4) +У(1,4)< 2; (6)
у(1,2,3) +У(1,2,4)+У(1,3,4)+У(2,3,4) < 3, (7)
а также выполнены неравенства, получающиеся из (5), (6) перестановкой игроков. Доказать утверждение предлагается читателю. В качестве контрпримера рассмотрим игру: у(1)=0, 1=1,2,3,4; у(1,2)=у(1,3)=у(2,3)=0, у(1,4)=У(2,4)=У(3,4)=У(1,2,4)=У(1,3,4)=У(2,3,4)=0,5; у(1,2,3)=0,8; у(^)=1. Она супераддитивна, удовлетворяет (5)-(7), но не имеет с-ядра. Заметим также, что неравенство (5) является избыточным, так как {х(1,2), х(2,3), х(3,4), х(1,4)} - линейно зависимое множество ( х(1,2)=х(2,3) - х(3,4) + х(1,4) ), т. е. соответствующий (5) вектор ЯеМп - не вершина.
В более поздней работе Э. Мулена [3, с. 141] доказывается, что с-ядро супераддитивной ТП-игры четырех агентов не пусто тогда и только тогда, когда выполняются условия (6), (7) и пять аналогичных (6) неравенств с учетом перестановок агентов. Доказательства неверно из-за утверждения, что при п=4 игра
(8)
(9)
(10)
«имеет всего 23 сбалансированных покрытия».
Утверждение 1. Множество В4 супераддитивных, сбалансированных, (0-1)-редуцированных игр четырех лиц определяется условиями (6), (7) и v(1)=v(2)=v(3)=v(4)=0; v(S)>0, 51=2; v(S)<1, 51=3; v(S1) < v(S2), I 1=2, I 521=3, 51 (52; v(1,2)+v(3,4) <1; 2v(1,2,3)+v(1,4)+v(2,4)+v(3,4)<3, а также аналогичными (6), (9), (10) неравенствами, получающихся перестановкой игроков.
Доказательство. Условия (8), (9) соответствуют (1), (2). Зависимость отброшенных неравенств очевидна. Вычисления показали, что игра четырех лиц имеет 41 минимальное сбалансированное покрытие (таблица). Ограничения (6), (7) и (11) соответствуют мини-
8 9 7
мальным сбалансированным покрытиям Р°, РУ и Р .
Оставшиеся покрытия Р1 - Р6 порождают зависимые неравенства, так как содержат непересекающиеся коалиции [6, с. 28]. Утверждение доказано.
Условия сбалансированности игры четырех лиц опубликованы также в работе О.Н. Бондаревой [7, с. 139]. Они отличаются от (6)-(10), так как в [7] супераддитивность игры не предполагалась.
Используя метод нахождения вершин многогранника, получаем, что целочисленные вершины В4
имеют вид V1 =(0,0,0,0, /), 1 = 1,49 , где / - вершины 10-мерного единичного куба, удовлетворяющие (7)-(9). Выпуклую оболочку векторов V1, 1 = 1,49 , можно использовать для генерирования примеров
Типы покрытий для игры четырех лиц
i Класс эквив. Минимальное сбалансированное покрытие Вектор весов N
1 Р1 = {{1},{2},{3},{4}} =(1,1,1,1) 1
2 «2 P2={{1,2},{3},{4}} а2 =(1,1,1) 6
3 «3 P3={{1,2},{3,4}} а3=(1,1) 3
4 «4 P4={{1,2,3},{4}} а4 =(1,1) 4
5 «5 Р5={{1,2},{1,3},{2,3},{4}} а5 =(1/2,1/2,1/2,1) 4
6 «6 P6={{1,2},{1,3},{2,3,4},{4}} а6 =(1/2,1/2,1/2,1/2) 12
7 «7 P7={{1,2.3},{1,4},{2,4},{3,4}} а7 =(2/3,1/3,1/3,1/3) 4
8 «8 P8={{1,2.3},{2,3,4},{1,4}} а8 =(1/2,1/2,1/2) 6
9 «9 P9={{1,2.3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4}} а9 =(1/3,1/3,1/3,1/3) 1
кой игроков.
Для классификации игр и других приложений полезно знать графы многогранников Мп при фиксированных значениях п. С помощью программы проверки смежности вершин нами было установлено, что граф О^ многогранника М3 получается из полного 5-вершинного графа, удалением ребра, соединяющего вершины, соответствующие минимальным сбалансированным покрытиям {{1},{2},{3}} и {{1,2},{1,3},{2,3}}.
Построен также граф 64 многогранника М4 . Поскольку геометрическая иллюстрация 41-вершинного графа громоздка, множество его вершин было разбито на классы эквивалентности Щ,..., Щ9, каждый из которых содержит элементы, получающиеся перестановкой игроков. В таблице дан полный набор представителей множеств Щ1,...,Щ9 . На рисунке приведен граф З4, полученный из 64 объединением вершин каждого класса эквивалентности.
Каждое минимальное сбалансированное покрытие Р={5\,...,5р} имеет дополнительное покрытие
Р = \N\Бр}, поэтому вершины графа 34 можно разбить на три класса: К1 ={ Щь Щ2, Щ }, К2 ={ Щ9 , ^8, Щ } - покрытия, дополнительные к покрытиям из К\ и К3 ={ Щ , Щ4 , ^6 } - покрытия, дополнительные к которым принадлежат этому же классу. Из рисунка видно, что граф З4 имеет вершину Щ4, смежную всем остальным вершинам; при ее удалении Щ граф распадается на два изоморфных подграфа; вершины, содержащие дополнительные покрытия, несмежны; подграфы, порожденные классами К1 и К2 , изоморфны; подграф, порожденный классом К3 -полный.
Аналогичными свойствами обладает и граф 33.
Докажем утверждения, позволяющие получать некоторые классы нецелочисленных вершин многогранника
сбалансированных игр четырех лиц. Нецелочисленных вершин «слишком много» для их полного перечисления в статье. Например, вершинами В4 являются
векторы (0,0,0,0, в), 1 = 1,7, где в принимают значения: (0,1/2,.,1/2), (0,0,1/2,.,1/2), (0,1/2,.,1/2,1), (0,0,1/3,2/3,. ,2/3), (0,1/3,1/3,2/3,.. .2/3), (1/3,.. ..,1/3,1), (0,1/2, .,1/2,3/4,3/4,1/2), а также аналогичные им, получающиеся перестанов-
Мп .
Утверждение 2. Пусть
^-коалиция, I 5 I =2,3,., п-1, (71,...,7)) - разбиение 5, тогда множество Р={5,71 и (N \ 5),...,7 и (N \ 5)} (11) есть минимальное сбалансированное покрытие с весами
а = (1-1//,1//,...,1//).
Доказательство. Пусть 7^еКт - вектор, определенный парой (Р,а), т. е. положительные компоненты X соответствуют коалициям из Р, а их значения определяются а. Линейная независимость векторов х(5), Х(71 и (N \ 5)),., х(7 и (N \ 5)) очевидна.
Граф 34
Подставив Я в (4), получаем (1 -1/0х(5) + + (1/t)2Ux(Ti и (N \ 5)) = (1 -1/0х(5) + + (1/Г)(%(Б) + Х(N \ 5)) = + ХФ \ 5) = х(N). Следовательно, Я - вершина многогранника Мп, а Р - минимальное сбалансированное покрытие.
Утверждение 3. Пусть 8 - коалиция, I 8 I =2, 3,., п-1, (ТЬ...,Т) - разбиение 8, тогда множество
Р={5,N \ Т1,...,N \ Т}
(12)
есть минимальное сбалансированное покрытие с весами а = (1//,...,1//).
Доказательство. Из линейной независимости векторов х(5), Х(N\^),..., х(N\Т) и соотношения
(1//)(х(5) + 2/=1 х( N \ Т )) = = (1//)( /Х( N \ 5) + )) = Х( N) получаем, что соответствующий (Р,а) вектор Я является вершиной множества М п . Следовательно, Р- минимальное сбалансированное покрытие.
Утверждение доказано.
Покажем теперь, что при n =4 все минимальные сбалансированные покрытия, порождающие отличные от условий супераддитивности ограничения (6), (7), (10), можно получить из (11), (12).
1. S={1,4} - коалиция, {{1},{4}} -разбиение S , {N\S}={2,3} - дополнение S. Из (11) получаем покрытие P={{1,4},{1,2.3},{2,3,4}}dR8 (таблица), порождающее условие (6).
2. S={ 1,2,3}, {{1 },{2},{3}} - разбиение S. Из (12) получаем покрытие P={{1,2,3},{1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,4}}ёЯ9, порождающее (7).
3. S={ 1,2,3}, {{1 },{2},{3}} - разбиение S, {MS}={4}. Из (11) получаем покрытие P={{1,2.3},{1,4}, {2,4}, {3,4}}dR7, порождающее (10).
Полученные в статье результаты можно использовать для генерирования данных при вычислительном тестировании, составлении учебных заданий, выводе достаточных условий сбалансированности игры [8], вычислении N-ядра игр малой размерности [9].
Литература
1. Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. М., 1985.
2. Розенмюллер И. Кооперативные игры и рынки. М., 1974.
3. Мулен Э. Кооперативное принятие решений: аксиомы и модели. М., 1991.
4. Жак С.В., Зинченко А.Б. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки, 2001. № 4. С. 15-17.
5. Емеличев В.А., Ковалев М.М., Кравцов М.К. Многогранники, графы, оптимизация. М., 1981.
6. Кукушкин Н.С., Морозов В.В. Теория неантагонистических игр. М., 1984.
7. Бондарева О.Н. // Проблемы кибернетики. 1963. Вып. 10. С. 119-139.
8. Зинченко А.Б. // Системное моделирование социально-экономических процессов: Тез. докл. 23 Междунар. школы-семинара им. академика С.С. Шаталина. Воронеж, 2000. С. 160-161.
9. Bruyneel Guido. // Oper. Res. Verfahren. 1978. Vol. 34. Р. 35-51.
Ростовский государственный университет
16 мая 2006 г.
