CC BY
12
УДК 519.833.5
СВОЙСТВА С-ЯДРА ДИСКРЕТНОЙ КООПЕРАТИВНОЙ ИГРЫ С ПОБОЧНЫМИ ПЛАТЕЖАМИ
© 2004 г. А.Б.Зинченко, С.И.Головань
The core of discrete cooperative game with side payments is defined. Some properties of this
core are given.
Дискретные кооперативные игры расширяют область их приложений с трансверабельной полезностью.
С-ядро (ядро, core) классической кооперативной игры с побочными платежами определяется как множество недоминируемых дележей или как множество дележей, удовлетворяющих минимальным требованиям всех коалиций. В статье показано, что для дискретной игры эти определения не эквивалентны. Введено определение с-ядра дискретной игры, отличное от данного в работах [1-3]. Приведены некоторые свойства с-ядра.
Дискретная кооперативная игра [1] Tz = <N,v>, как и классическая, определяется множеством игроков N = л>3 и суперадди-
тивной характеристической функцией v, но функция v должна быть целочисленной. Предполагается, что побочные платежи между членами любой коалиции измеряются целыми числами.
Будем рассматривать О-редуцированную форму дискретной игры. Тогда множество ее дележей есть непустое множество целочисленных точек симплекса, определенного условиями Х/е д- xi = v( Y). х, > 0, / е N.
Недискретную игру, соответствующую дискретной игре Г2 (т.е. игру с тем же множеством игроков и той же характеристической функцией, допускающую нецелочисленные дележи), будем обозначать через VИ = < Y.v> и называть релаксироеанной игрой. Множество дележей дискретной и релак-сированной игр будем обозначать через Dz(v) и D,v(v) соответственно.
В [2] с-ядром дискретной кооперативной игры названо множество недоминируемых дележей и сформулирована следующая теорема: с-ядро игры Гz есть множество дележей, удовлетворяющих условию
Y^iesXi>v(S)-\S\+l,S cN. (1)
Это множество будем обозначать через С*z(v).
Покажем, что множество С*z(v) может содержать дележи, дискриминирующие промежуточные коалиции, что противоречит принципу «справедливости», положенному в основу понятия с-ядра.
Например, в дискретной игре трех лиц с характеристической функцией v(l) = v(2) = v(3) =0, v(l, 2) = v(l, 3) = 1, v(2, 3) = 0, v(7V) = 2 множество С*z(v) совпадает с множеством всех дележей Dz(v) и состоит из 6 точек: х1 = (2,0,0),
х2 = (0,2,0), х3 = (0,0,2), х4 = (1,1,0), х5 = (1,0,1), х6 = (0,1,1). Дележи х1, х4, х5, х6 удовлетворяют минимальным требованиям всех коалиций, дележ х2 дискриминирует коалицию {1, 3}, приписывая ей доход, меньший, чем ее собственные коалиционные возможности, а дележ х3 дискриминирует коалицию {1, 2}.
Поскольку прямое применение принципа недоминирования к определению с-ядра дискретной игры нарушает условие групповой рациональности, мы предлагаем следующее определение.
С-ядром дискретной кооперативной игры будем называть множество целочисленных точек с-ядра релаксированной игры, т.е. множество дележей, удовлетворяющих условию
Y*sXi><S),S^N, (2)
и обозначать это множество через С ¿Су).
Сравнивая системы (1) и (2), получаем включение Cz(v)cC*z(v). Для приведенного выше примера имеем C*z(v)\Cz(v)={x2, х3}.
Рассмотрим пример симметричной 0-редуцированной дискретной игры трех лиц, характеристическая функция которой имеет вид v(l) = v(2) = v(3) = 0, v(l, 2) = v(l, 3) = v(2, 3) = 3, v(N) = 3. Множество недоминируемых дележей C*z(v) в данном случае состоит из единственной точки (1,1,1). Поскольку | C*z(v) I =1, а множество Cz(v) является пустым, то, скорее всего, этот исход игры будет одобрен всеми коалициями.
Из приведенных примеров вытекает, что дележи из множества С*z(v) могут рассматриваться всеми коалициями как «справедливые» только в случае, когда Cz(v) = 0.
Рассмотрим свойства с-ядра Cz(v) игры Гz.
Утверждение 1. Для игры трех лиц С¿(у)Ф0 тогда и только тогда, когда выполняется условие
v(l, 2) + v(l, 3) + v(2, 3) < 2 v(N). (3)
Доказательство. Линейную систему, определяющую с-ядро игры трех лиц, можно привести к виду X] + х2 + х3 = v(N), 0< хг < v(N) - v(2, 3), 0 < х2 < v(N) -v(l, 3), 0 < x3 < v(N) - v(l, 2). Матрица этой системы является абсолютно уни-модулярной, поэтому с-ядро релакстрованной игры CR(v)- целочисленный многогранник (см. теоремы о целочисленности многогранника [4]). Поскольку (3) является необходимым и достаточным условием непустоты множества С,/v). то Cr(v) содержит по крайней мере одну целочисленную точку. Следовательно, Cz(v) Ф 0.
Утверждение 2. Для игры четырех лиц возможен случай, когда Q?(v) ^ 0, но Cz(v) = 0.
Доказательство. Рассмотрим дискретную игру Гzчетырех лиц с характеристической функцией vQV) = 5, v(l) = v(2) = v(3) = v(4) =0, v(l, 2) = v(l, 3) =
10
v(l, 4) = 2, v(2, 3)= v(2, 4)= v(3, 4) = 3, v(2, 3, 4) = 4, v(l, 2, 3) = v(l, 2, 4) = v(l, 3, 4) = 3. Нетрудно проверить, что CR(v) = {(0.5,1.5,1.5,1.5)}, следовательно, C/(\') = 0.
Утверждение 3. Если дискретная кооперативная игра Гz четырех лиц имеет непустое с-ядро, то ее характеристическая функция удовлетворяет условиям
v(l, 2) + v(l, 3) + v(l, 4) + 2 v(2, 3,4) <3 v(A0, (4)
v(l, 2, 3) + v(l, 2, 4) + v(3, 4) < 2 v(A0, (5)
v(l, 2, 3) + v(l, 2, 4) + v(l, 3, 4) + v(2, 3, 4) < 3 v(A0 (6)
и аналогичным (4), (5) неравенствам, с учетом перестановок игроков.
Доказательство. Пусть D. = 2n\N\0- множество собственных коалиций. Известно [5], что CR(v)*0 тогда и только тогда, когда для коэффициентов Q^(S))sec¡ любого минимального сбалансированного покрытия выполняется условие
IW(S)v(S)<v(A0. (7)
Все типы минимальных сбалансированных покрытий (для игры четырех лиц) и их коэффициенты приведены в таблице. Остальные покрытия получаются перестановкой игроков.
Покрытия 1-6 типов можно не рассматривать, так как соответствующие им неравенства (7) являются следствиями других неравенств и условий супераддитивности характеристической функции. Покрытия 7-9 типов определяют неравенства (4), (5), (6) соответственно. Утверждение доказано, так как необходимое и достаточное условие непустоты с-ядра релаксированной игры Гд является необходимым условием существования с-ядра дискретной игры Гz.
Утверждение 4. Нецелочисленными вершинами непустого с-ядра релаксированной игры Гд четырех лиц могут быть только векторы х1 и х2, имеющие следующие координаты:
х} = (2v(N) - К2,3) - v(2,4) - КЗ,4)) / 2, xl2 = (v(2,3) + v(2,4) - КЗ,4)) / 2 ,
хз = (v(2,3) - v(2,4) + КЗ,4))/2 , х\ = (~v(2,3) + v(2,4) + КЗ,4))/2 ,
х\ = (КЛО + v(lA) ~ К2,4) - v(3,4)) / 2 , X2 = (v(N)~ КМ) + v(2,4) - v(3,4)) / 2 ,
хз = (КЛО - v(l,4) - v(2,4) + КЗ,4)) / 2 , х| = (-КЛ0 + v(l,4) + v(2,4) + КЗ,4))/ 2 , или аналогичные векторы, получающиеся перестановкой номеров игроков.
Утверждение 5. Для игры четырех лиц справедливо соотношение I CR(v) | > 1 => Сz(v) ^ 0.
Доказательство утвер’лсдений 4 и 5 аналогично доказательству теоремы 5 из [2].
Типы минимальных сбалансированных покрытий и их коэффициенты
№ Минимальное сбалансированное покрытие Количество аналогичных покрытий Коэффициенты покрытия
1 {{1},{2},{3},{4}} 0 (1,1,1,1)
2 {{1>2},{3},{4}} 5 (1,1,1)
3 {{1,2},{3,4}} 0 (1,1)
4 {{1,2,3},{4}} 3 (1,1)
5 {{1,2},{1,3},{2,3},{4}} 3 (1/2, 1/2, 1/2, 1)
6 {{1,2},{1,3},{2,3,4},{4}} 3 (1/2, 1/2, 1/2, 1/2)
7 {{1,2},{1,3},{1,4},{2,3,4}} 3 (1/3, 1/3, 1/3, 2/3)
8 {{1,2,3},{1,2,4},{3,4}} 5 (1/2, 1/2, 1/2)
9 {{1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,4}} 0 (1/3, 1/3, 1/3, 1/3)
Несмотря на специальную структуру системы ЕгеЯ*/
Т.геМхі =У{Щ
:, і є N
(8)
определяющей с-ядро дискретной игры п лиц, можно (аналогично доказательству из [3]) показать, что задача поиска дележей с-ядра является ХР-полной. Решить ее можно, например, используя идею метода Лэнд и Дойг [6], разработанного для задач целочисленного линейного программирования. Ветвление задачи (8) на подзадачи осуществляется изменением верхних или нижних границ переменных.
При реализации этого метода нужно многократно решать оценочные (релак-сированные) задачи ЛП с большим количеством ограничений (0(2И)) и малым числом переменных, равных количеству игроков п. Так как скорость решения задачи ЛП определяется количеством ограничений, то рациональней решать двойственные задачи, требующие обращения базисов порядка п. Двойственные релаксированные задачи имеют очевидное опорное решение (начало координат), при их разбиении на подзадачи будут меняться только коэффициенты целевой функции. Эго удобно для вычислений, так как не нужно пересчитывать матрицу, обратную к текущему базису.
Литература
1. Аъзамхужаев М.Х., Морозов В.В. // Мат. методы оптимизации и управления в сложных системах. Межвузовский тематический сб. науч. тр. Калинин, 1986. С. 84-88.
2. Аъзамхужаев МХ. И Программное оборудование и вопросы принятия решений. М., 1989. С. 210-219.
3. Морозов В.В., Аъзамхужаев М.Х. II Применение вычислительных средств в научных исследованиях и учебном процессе. М., 1991. С. 49-62.
4. Емеличев В.А, Ковалев ММ., Кравцов М.К. Многогранники, графы, оптимизация. М., 1981. С. 116-117.
5. Бондарева О.Н. //Проблемы кибернетики. Вып. 10. М., 1963. С. 119-139.
6. ТахаХ. Введение в исследование операций. Т.1, М., 1985. С. 357-361.
Ростовский государственный университет 27 февраля 2004 г.
