CC BY
31
3. Докажем справедливость формулы (25) для п = к + 1. Разобьем некоторый контур Е^, ] = 1, к, на контуры Е.1, Е2 соответственно с инвариантами А1, А2. По формуле (26) |Аj1 = |А1||А2|. Поэтому
к+1
в силу предположения (27) |А| = |А111Д21 ■ ■ ■ |Аj-1 ||А1||А2||А^+1| ... |Дкт. е. |А| = П |Аг|.
г=1
Теорема 3 доказана. Библиографический список
1. Розенфельд, Б.А. Геометрия групп Ли. Симметриче- 2. Ромакина, Л.Н. Геометрии коевклидовой и копсев-
ские, параболические и периодические пространства / доевклидовой плоскостей / Л.Н. Ромакина. - Саратов:
Б.А. Розенфельд, М.П. Замаховский. - М.: МЦНМО, Научная книга, 2008. - 279 с. 2003. - 560 с.
УДК 517.984
ОБ АНАЛОГЕ
ТЕОРЕМЫ ЖОРДАНА - ДИРИХЛЕ ДЛЯ РАЗЛОЖЕНИЙ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ОДНОГО КЛАССА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ ОПЕРАТОРОВ
В.А. Халова
Саратовский государственный университет, кафедра дифференциальных уравнений и прикладной математики
E-mail: [email protected]
В статье получен аналог теоремы Жордана - Дирихле о сходимости разложений по собственным функциям оператора Ly = ay' (x) - y' (1 - x) с граничным условием
U(y) = ay(0) + by( 1) - (у,ф) = 0.
Ключевые слова: теорема Жордана - Дирихле, резольвента.
On Analogue of Jordan - Dirichlet Theorem about the Convergence of the Expansions in Eigenfunctions of a Certain Class of Differential-Difference Operators
V.A. Khalova
Saratov State University,
Chair of Differential Equations and Applied Mathematics E-mail: [email protected]
An analogue of Jordan - Dirichlet theorem is established of convergence of the expansions in eigen functions of the operator Ly = ay' (x) - y' (1 - x) with the boundary condition
U(y) = ay(0) + by(1) - (y,<p) = 0.
Key words: Jordan - Dirichlet theorem, resolvent.
Рассматривается оператор
Ьу = ау'(х) - у'(1 - х), х е [0,1], а2 = 1, (1)
с граничным условием
и(у)= ау(0) + Ьу(1) - (у, ф) = 0, (2)
1
где у'(1 — х) = ¡¡7у(С)|{=1-х, а, Ь — заданные постоянные, (у, ф) = / у(1)ф(1) ф(1) е С[0,1]. 5 о
В настоящей статье для разложений по собственным и присоединенным функциям (в дальнейшем с.п.ф.) оператора (1)-(2) установлен аналог теоремы Жордана - Дирихле из теории тригонометрических рядов Фурье [1, с. 121-122]. Данная работа продолжает исследования функционально-
дифференциальных и интегральных операторов с операторами отражения. В работе [2] такой резуль-
1
тат был получен для оператора дифференцирования у'(х) с краевым условием / у(Ь) ¿а(Ь) = 0, где
о
а(Ь) — функция ограниченной вариации, имеющая скачки в точках 0 и 1. В работе [3] аналог теоремы Жордана - Дирихле установлен для разложений по с.п.ф. оператора
Ьу = ву'(х) + у'(1 - х), х е [0,1], в2 = 1,
с интегральным граничным условием
и (у) =
т
га (1 — г)
■ у(г) ¿1 = 0, 0 <а< 1.
1. Обозначим через Я\ = (Ь — ХЕ)-1 резольвенту оператора (1)-(2). Следующие утверждения приведем без доказательств (см., например, [3, 4]). Лемма 1. Если у(х) = Я\/(х), то х(х) = (х1(х), х2(х))т, где х1 (х) = у(х), х2(х) = у(1 — х), является решением следующей краевой задачи в пространстве вектор-функций:
х' (х) — ХВо х(х) = Во Г (х), 1
Ро X (0) + до х (1) — I Фо (г)х(г) ёг = о,
(3)
(4)
где Во =
1
1
а2 - П-1 -(
Ро =
а Ь 00
о ах*о«)=у «.у« («)<
/(1 — х))Т, Т — знак транспонирования.
И наоборот. Пусть х(х) = (х1(х), х2(х))т — решение задачи (3)-(4) и Г(х) = (/(х),/(1 — х)). Если при Г(х) = 0 задача (3)-(4) имеет только нулевое решение, то Я\ существует и Я\/ = х1 (х), (х) = Х1(1 — х).
Пусть Г= ; 1 ,, = ^
-ё
1 + аё
Тогда краевая задача (3)-(4) примет вид
, ё =
1
. В (3)-(4) выполним замену х(х) = Гь(х).
у'(х) — ХТ'у(х) = ВГ (х), 1
и(у) = Рь(0) + дь(1) —i Ф(г)ь(г) ¿г = 0,
о
(5)
(6)
где V =
ё 0 1 0 -ё.
а_ 1 —7
'27 и —1
ё аё +1 ё р = рг = Р1 Р_
2 I —ё —(аё + 1) , о I 0 0
д = доГ= Г 0 , Р, = а + 1Ь, р_ = -,а + Ь, *(*)=[ ^ г) ^М .
Для определенности, считаем, что Ие Хё > 0 > Ие(—Хё).
Лемма 2. Если Х таково, что А-1(Х) существует, то для решения у(х) = у(х,Х) задачи (5) -(6) имеет место формула
у(х,х) = —V(х,х)А-1(Х) I и(д(х,г, х))вг(г) ёг + I д(х,г,Х)ВГ(г) ёг,
где V(х, Х) =
,Adx
0
, А(Х) = И^(х,Х)), д(х,г,Х) =
д1(х,г,Х) 0
, д1 (х,г,Х) =
0 е-Хс1ху V у 0 д_(х,г,Х)/
= —е(г,х)вы(х-*'), д2(х,г,Х) = £(х,г)е-ы(х-^, е(х,г) = 1 при г < х, е(х,г) = 0 при г > х, Их означает, что условие (6) применяется по переменной х.
Следствие. Имеет место формула Я\/(х) = у1 (х, Х) + _(х, Х).
1
2. Пусть /(х) е С[0,1] п V[0,1] и и(/) = а«(0) + Ь«(1) — / ф)«(г) ёг = 0.
о
Лемма 3. Для компонент вектора ВГ(х) = ^(х), Ф2(х))т справедливы формулы
ё_ ё
Ф1 (х) = — 2^ [/(х) — 1/(1 — х)] = 2[(аё + 1)/(х) + ё/ (1 — х)1
1
а
о
1
1
ф2(х) = -Фх(1 - х), (7)
Фх(х) + 7Фх(1 - х) = с?/(х). (8)
Доказательство леммы непосредственно следует из того, что Ф^(х) = (х) + (1 — х), где
— компоненты матрицы В.
Лемма 4. Для компонент вектора
1 /1 1 4 т J д(х,*,А)ВР(*) С* = I J д1(х,^,А)Ф1 (*) д2(х,*, Л)Ф2(*) С* 0 \0 0 справедливы формулы
1 1
j д2(х,*,Л)Ф2(*) С* = j д1(1 — х,*,Л)Ф1 (*) С*, (9)
00 1 1
I д1(х,*,А)Ф1 (*) С* = лСеМ:Е-1) Ф1 (1) — АСФ1 (х) — АСС / СФ1 (*), (10)
д1 (х,*,А)Ф1(*)С* +1 д2(х,*,А)Ф2(*)С* = — а/(х) + асФ1 (1)[еМх-1) + Те-Лйх] + д1 (х,А), (11)
00 где 1 1
(х, Л) = — лСс I У е^-^ СФ1 (*) + -у J еЛ^1-х-<) СФ1 (*) I . (12)
\ж 1-х /
Доказательство. Имеем
1 1
J д1(х,*,Л)Ф1 (*) а = —у еЛ^(х-') Ф1(*) С*, (13)
0 х
1 х
У д2(х,*,Л)Ф2(*) а = ! е-Л^(х-')Ф2(*) а. (14)
00
Выполняя в (14) замену т = 1 — * и учитывая (7) и (13), получаем (9). Интегрируя (13) по частям, приходим к (10). В силу (8)-(10) следует справедливость равенства (11). □ Лемма 5. Имеет место формула
1
У И*(д(х, А))ВР(*) С* = (Р(А), Р(А))т,
0
где
Р (А) = АС Ф1 (1)е-Л^[ии + ^21] + Ц (д1 (х, Л)), (15)
Цд = Ц? (еЛ^х) (условия применяются по переменной х),
1 1
ВД)= Р1 /(0) — у ¥>(*)/(*) С*, Ц(/)= Р2/(1) — 7 У у(1 — *)/(*) С*. (16)
00
Доказательство. Из (13), (14) имеем д1 (1, Л) = д2(0, Л) = 0. Тогда
/ 1 \
1 /л/ д1 (0,*,Л)Ф1 (*) С* — /И
I И (д(х,*,Л))ВР(*) С* = 01
0
(17)
д2 (1,*,Л)Ф2 (*) С* — /2,
1
1
/1 =У ) i д!(т,^,Л)Ф1 (£) ^ + д2(г,^,Л)Ф2(^) ^ | ¿т, 0 \0 0
/2 = У р(1 - т) Ку д1 (т,^,Л)Ф1 (*) ^ + i д2(т,*,Л)Ф2 (*) ¿т. (18)
0 0 0
Выполняя в (18) замену £ = 1 — т и учитывая (9), получаем, что /2 = /1. Далее, из (9) следует, что 1 1
/ д1 (0, ^,Л)Ф1 (£) ^ = / д2(1,£, Л)Ф2(£) Поэтому (17) можно записать в виде
00
1
I и*(д(х,*,Л))ВР(*) ^ = (Р(Л), Р(Л))т,
0
1 1 /1 1 \ где Р(Л) = Р1 / д1(0,Л,Л)Ф1 (£) ^ — / р(тИ / #1(т,£,Л)Ф1 (£) ^ + 7/ #2(т,£,Л)Ф2(£) ^ ¿т.
0 0 \0 0 / Учитывая (10)—(11) и (12) при х = 0, получаем
1 1
Р (Л) = — Ф1(0) + Л/ ^(т )/ (т) ¿т — ^ Ф1 (1^ ^(т )е-Л'Т ¿т+
00
+Л^е-Л^Ф1(1) (р1 — [ Р(т)вЛ^т | + (^(ОД)- I Так как р1 Ф1 (0) = —р2Ф1(1) + ¿(а/(0) + 6/(1)), то в силу условия и(/) = 0 получаем Р(Л) = Ф1 (1)^ | — 7 I Р(т¿т | +
+Л^е-Л'Ф1(1Н Р1 — I *(т| + ( Р1 д1 (0, Л) — I ^(т)д1(т,Л) ¿т
Выполняя в интеграле / ^(т)вЛ^(1 т) ¿т замену переменных £ = 1—т и учитывая (16), можно записать
0
Р(Л) = -^Ф1 (1)в-Л^[^1 (вЛЛЕ) + и2(еЛ^х)] + (х, Л)). Ля
Так как Ц (вЛ^х) = Цд, то приходим к утверждению леммы. □
1
Теорема 1. Если /(х) е С[0,1] П V[0,1] и Ц(/) = а/(0) + 6/(1) — / <?(*)/(£) ^ = 0, то
0
Д0,л/ = — Л/(х) + (х, Л) + д2(х, Л), (19)
где
д2(х, Л) = —(х,Л))[вЛ^Х(хц + х12) + 7в-Л^Х (х21 + х22)], (20)
х^ — компоненты матрицы А-1 (Л). Доказательство. Имеем
v (Х,Л)а-1 (Л) / м *=(Р;Л;ееЛл:(х;;1^) •
В силу леммы 2 и следствия из нее имеем
1 1 Да/ = -Р(Л)(еА^(жп + Х12)+ те-ААЕ(ж21 + Ж22)) + ^01 (ж,£,Л)Ф1(£) ^ + 02(ж,£,Л)Ф2(£)
0 0
Учитывая (11) и (15), получаем
Да / = - ЛЯ Ф1(Х)е-Л" (^11 + ^21)(ел^х (жи + Ж12) + те-л^ (Ж21 + Ж22 ))-
-Т/(х) + ^Ф1 (1)[еМх-1) + 7е-ЛАЕ]+ д1 (ж, Л) + д2(ж, Л). (21)
Л Ля
.^21 иие-л^
Так как Д(Л) = и(У(ж, Л)) = 11 21 -ЛЛ и А-1(Л)Д(Л) = Е, то
ГиПЖ11 + ^21Ж12 = 1, ГиП Ж21 + ^21Ж22 = 0,
\е-Л^ (Ц21Ж11 + ипЖ12) =0 и \е-Л^ (^21x21 + ^11x22) = 1.
Отсюда
ел^
ж11 + х12 = 77-¡-7^", х21 + х22 = 77—-77-. (22)
и11 + и 21 и11 + и 21
Подставляя (22) в (21) приходим к утверждению теоремы. □
Лемма 6. Если а2 + Ь2 — 2ааЬ = 0, то р1р2 = 0 и имеет место следующая асимптотическая формула:
det Д(Л) = еЛ^(р2е-2Л^ - р2 + о(1)).
Доказательство. В силу леммы 4 из работы [5] = еЛ^(^1е-Л^ + о(1)), и21 = ел^(р2 + о(1)). Поэтому det Д(Л) = е-Л^(и121 - Щ) = еЛ^(р?е-2Л^ -р2 + о(1)). □
Следствие. Обозначим через область, получающуюся из полуплоскости Ие ЛЯ > 0 удалением всех нулей функции р2е-2Л^ - р2 вместе с круговыми окрестностями одного и того же радиуса 50. Тогда в £г0 при больших |Л| имеет место оценка
| det Д(Л)| > С|ел^(23)
где С > 0 и не зависит от Л.
Здесь и далее через С будем обозначать различные константы, не зависящие от Л. Лемма 7. В области при больших |Л| справедливы оценки
Ж11 + Ж12 = 0(е-Л^), Ж21 + Ж22 = 0(1). (24)
Доказательство. Из (22) имеем
Х11+х12 = dedx(А)е-Л'(и11 - и21), Х21+х22 = dedx(А)(Ull - и21)
Так как |и11 - и21| < |ел^||р1е-л^ -р2 + о(1)| < С|ел^|, то в силу (23) приходим к (24). □ Лемма 8. Имеют место следующие оценки:
J д1 (ж, Л) ЯЛ = о(1), (25)
|Л|=г
У д2(ж, Л) ЯЛ = о(1). (26)
I Л|=г
Доказательство. Имеем
д1(ж,А) = -^ I У (¿) + у I е^(1-х-<)йФ^)
\х 1-х
1 х
= -¿( / вЛ^(х-')^Ф1 (¿) + у / е-Л^(х-^Ф2(¿) | . (27)
Так как
х+Г, 1
х+Г,
'еЛ^(х-') ¿Ф1 (¿) = У + У = О^ ХХХГ!(Ф1^ + О(|е-Л^! |),
х х+Г! х-гх х
е-Мх-0 ¿Ф2 (¿) = у + у = О(|е-Л^! |) + О (д (Ф2))
0 х-гх
(г1 — достаточно малое положительное число), то из (27) получаем
о, (.,А)=о (тАТ1е-Л-г! 1)+о ( |А| х+г,(ф. ^+о ( щ х-; (ф2 0 • (28)
Обозначим через / ' интеграл по части контура |А| = г, для которого Ие Ай > 0 > Б,е(-Ай), а
|Л|=г
через I — для которого Ие Ай < 0 < Ие(-Ай) (г считаем таким, что |А| = г находится целиком в
|Л|=г
области $50).
В силу произвольности выбора г1 из (28) получаем / (ж, А) йА = о(1). Аналогичная оценка
|Л|=г
имеет место и для интеграла / . Следовательно, оценка (25) доказана.
|Л|=г
Далее, в силу леммы 7
Шж, А)| = (О1 (ж, А))(еЛ^х(жц + Ж12)+ уе-Л"х(Х21 + Х22))| =
= |и (01(ж, А))|(О(еЛ^(х-1)) + О(е-Л^х)). (29)
Имеем
1
^1(01 (ж, А)) = Р101(0,А) - I <р(т)01 (т, А) йт. (30)
0
Аналогично (28) получаем
1 Г1 \ / 1
°1(0,л)=^ 0Н+Ч ш|е-МГ! 0 •
Следовательно,
У 01 (0, А)(О(еЛ^(х-1)) + О(е-Л^х)) йА = о(1). (31)
|Л|=г
Рассмотрим
ф )01 (т, А) йт = А^У р(т ) | I еМт(¿) + у I е-Л^(т-^Ф2 (¿) | • (32)
00
1
х
1
1
1
т
Меняя порядок интегрирования и применяя лемму 4 из работы [5] к внутренним интегралам, имеем 1*1 1
I е-Л^Ф1 (¿) / еЛ^тр(т)йт = / е-Л^(о(еЛ^) + о(1))^Ф1(£) = I(о(1) + о(е-Л^))йФ1(£). (33)
I еЛ^Ф2(¿) J е-Л^т^(т)йт = I еЛ^(о(е-Л^) + о(е-Л^О)^*) = у (о(еЛ^-1)) + о(1))^Ф2(£). (34) 0 * 0 0
В силу (32)-(34)
(О(еЛ^(х-1)) + О(е-Л^х)) / р(т)01 (т, А) йтйА = о(1).
(35)
|Л|=г
Таким образом, учитывая (29)-(31), (35), получаем
02(ж, А) йА = о(1).
|Л|=г
Аналогичная оценка имеет место и для интеграла / Значит, оценка (26) доказана. □
|Л|=г
Теорема 2. Если /(ж) = С[0,1] П V[0,1], и(/) = а/(0) + Ь(/) - (у, <р) =0, а2 + Ь2 - 2ааЬ = 0, то выполняется соотношение
Нш шах
г^те 0<х<1
/ (ж) +
2пг
Дл/йА
|Л|=Г
= 0.
Доказательство. По теореме 1 в силу леммы 8 имеем
Дл /йА = -
/ (ж)
йА + о(1).
|Л|=г
|Л|=Г
Отсюда следует утверждение теоремы. □
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 10-01-00270) и гранта Президента РФ для государственной поддержки ведущих научных школ (проект НШ-4383.2010.1).
Библиографический список
1. Бари, Н.К. Тригонометрические ряды / Н.К. Бари. -М.: Физматгиз, 1961.
2. Молоденков, В.А. Разложение по собственным функциям одной краевой задачи для оператора дифференцирования / В.А. Молоденков, А.П. Хромов // Дифференциальные уравнения и вычислительная математика. -Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1972. - Вып.1. - С. 17-26.
3. Хромов, А.П. Об аналоге теоремы Жордана -Дирихле для разложений по собственным функциям дифференциально-разностного оператора с интегральным граничным условием / А.П. Хромов // Докл.
РАЕН (Поволжское межрегиональное отделение). -2004. - № 4. - С. 80-87
4. Халова, В.А. Конечномерные возмущения интегральных операторов с ядрами, имеющими скачки производных на диагоналях: дис. . .. канд. физ.-мат. наук / В.А. Халова. - Саратов, 2006. - 123 с.
5. Хромов, А.П. Теоремы равносходимости для инте-гродифференциальных и интегральных операторов / А.П. Хромов // Мат. сборник. - 1981. - Т. 114 (156), № 3. - С. 378-405.
1
1
1
1
1
1
А
