О решении задач теории упругости при заданных напряжениях Текст научной статьи по специальности «Физика»

Таким образом, функция <р> как и в первом случае, зависит только от параметров Ъф{у ...,Ап) и вектора £(Ю.

Следовательно, можно сделать такое же заключение о стабилизации системы (1), что и в.случае 1. Третий случай аналогичными преобразованиями сводится к первому.

Итак, доказана следующая теорема.

Теорема. Система (1) стабилизируема управлением (2), если после подстановки в функцию <р(х(к), £(к), и (к))

х(к)= У х

и(к) = д-1 У .....

/м-•••+/?„,=1

х#(к)...Й-(к)-Нх X У Ь03ь...,/3т) х

где Ь^З], — формальное решение

системы уравнений (5), нелинейное приближение второго уравнения системы (1) имеет асимптотически устойчивое нулевое решение.

В заключение отметим, что задача стабилизации системы (1) решается в два этапа. Сначала стабилизируют соответствующую линейную систему некритической части системы (1), а затем путем подбора параметров Ъфх, (или, что то же самое, па-

раметров а(а1, строится стаби-

лизирующее управление для всей системы (1).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Хитров Г. М. К задаче стабилизации в 2. Шиманов С. Нм Казссва Н. И. Основная

критических случаях // Теория устойчивости и теорема о критических случаях разностных си-

ее приложения. Новосибирск, 1979. С. 136 — стем // Дифференциальные уравнения. 1971.

142. Т. 7, № 5. С. 910 — 918.

УУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУ

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

00000000000000000^0000000000000000

О РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ПРИ ЗАДАННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ

В. А. КАРТАШОВ, кандидат технических наук

Пусть упругое тело отнесено к системе координат х1, х2, х3 с соответствующей метрикой. По тем или иным соображениям заданы контравариант-ные компоненты о4* тензора напряжений, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям равновесия

У^« + X* = 0 (¡=1,2,3) (1)

и условиям на поверхности тела.

В (1) Уа — символ ковариантной

производной по переменной а; X1 —

контравариантные компоненты объемных сил. Переменная а играет роль индекса суммирования.

Уравнение (1) можно записать в виде

Э^« + а^ 1^+Х» = 0 (¡=1,2, 3). (2)

© В. А. Карташов, 1997

Здесь да — символ частной производной по а; — символы Кристоффеля второго рода.

Компоненты тензора деформаций

связаны с компонентами тензора напряжений формулами закона Гука

ЪтъаР

(3)

В этих формулах а= *т*ф <х1>

х2, х3) — компоненты тензора коэффициентов податливости (тензора четвертого ранга), зависящие от координат.

Уравнения неразрывности деформаций обобщенно представлены выражением

^гв^^гв етп V™ еП8 Уп$ етг

0. (4)

Здесь V

¡к

ковариантная про-

изводная второго порядка по переменным { и к.

Подставив в (4) зависимости (3), получим уравнение неразрывности, выраженное через напряжения:

+ УГ5(атпа/? <*Ф) -

Vmr(aп$ар - УП5(атга/* &Ф)

0. (5)

Выражение (4) обобщенно представляет шесть уравнений, в которых индексы шгпб имеют значения, равные

1212, 2323, 3131, 1213, 2321, 3132

[1 — 4, 8]. Очевидно, что эти положения, касающиеся индексов, распространяются и на систему шести уравнений (5).

Решение названной системы уравнений (5) дает те функциональные зависимости

^¡кге = а|кга(х1, х2, х3),

(6)

которым должны подчиняться компоненты тензора упругости для обеспечения неразрывности деформаций при заданном поле напряжений. При наличии в трехмерной задаче шести уравнений (5) накладываются условия на шесть компонент тензора упругости. Следовательно, этот тензор должен содержать не менее шести независимых компонент. Поэтому, вообще говоря, нельзя добиться цели, предполагая из-

готовить неоднородно-изотропное или неоднородное трансверсально-изотроп-но!е тело (для первого из них мы располагаем только двумя независимыми упругими характеристиками, для второго — пятью). Если же представляется возможность использовать материал, имеющий более шести упругих параметров, то те из них, которые не детермикнируются решением системы (5), могут назначаться произвольно, точнее говоря, исходя из каких-либо практических соображений. Например, в случае материала с анизотропией общего вида мы можем свободно выбирать 15 компонент тензора упругости, в случае же неоднородного орто-тропного тела таких компонент будет три.

В случае плоской задачи из шести уравнений (5) остается только одно. Для неоднородного изотропного тела в декартовых координатах оно приводится к виду [6]

д2а . „ ¿)2а

(сгу ~ УС7Х)

Ох

2

-2(1 + V) гху

()х 0\

+

, , ч Э2а д(ах ~ а у) да

+ (сгх - УС у) —- + 2-г-— ---Ь

ду

2

<3х

Ох

, ~ д(ах - ау) да ^

+ 2-г--- -—Ь

ду

0 у

+ а У2(ах 4- а у) = 0.

(7)

В этом

а(х, у)

уравнении а =

коэффициент податливости или коэффициент деформации (по терминологии, восходящей к П. Бехтереву). Он представляет собой величину, обратную модулю упругости Е = Е (х, у),

т. е. а = |г - Коэффициент Пуассона

V принят не зависящим от координат. Для напряжений использованы обозначения, применяемые обычно в декартовых координатах.

В плоской полярно-симметричной задаче [7] имеем уравнение

да . <70 — + а

с\{от + ое)

с1г

с!г

сг,

с!(уа) 6г

0.

(8)

Здесь г — расстояние от полюса; сгг и erg — нормальные радиальные и окружные напряжения. Упругими характеристиками являются зависящие от г коэффициент податливости а = а (г) и коэффициент Пуассона v = v(r).

Как видим, в отличие от трехмерной задачи, в плоской задаче двух упругих характеристик изотропного тела хватает с избытком и одна из них мо-лкет быть назначена произвольно.

Решение системы (5) в общем случае чрезвычайно сложно. Поэтому в

каждом конкретном случае требуется применение своего специфического способа решения, имея в виду в том

числе приближенные методы. Некоторые относящиеся к рассматриваемой проблеме плоские задачи решены в статьях (5 — 7 ).

Для изготовления тел с требуемыми переменными упругими характеристиками наиболее подходящи композиционные материалы, заданные свойства которых легко достигаются.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

U Амензаде Ю. А. Теория упругости. M.: Высш. шк., 1976. 272 с.

7. Гольденблат И. И. Некоторые вопросы механики деформируемых сред. M.: Гостехиздат,

1955. 271 с.

3. Демидов С. П. Теория упругости. М.: Высш. шк., 1979. 432 с.

4. Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1990. 310 с.

5. Карташов В. A.t Коешов Н. М. Расчет клина, нагруженного силой в вершине, при заданном распределении напряжений //

Вестн. Морд, ун-та. 1995. № 1. С. 72 — 74.

6. Карташов В. А., Коешов н. м. О решении плоской задачи теории упругости в декартовых координатах при заданных напряжениях // Вестн. Морд, ун-та. 1995. №3. С. 63 — 68.

7. Карташов В. А. О решении полярно-симметричной задачи теории упругости при заданных напряжениях // Вестн. Морд, ун-та. 1996. № 1. С. 54 — 60.

8. Седов Л. И. Механика сплошной среды: В 2 т. Т. 1. М.: Наука, 1973. 536 с.

фффффффффффффффффффффффффффффффффффффффффффффффффффффффффф

МОДЕЛИРОВАНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В ГАЛОГЕННЫХ ЛАМПАХ НАКАЛИВАНИЯ

И. И. БАЙНЕВА, аспирант,

А. В. ХАРИТОНОВ, кандидат физико-математических наук

Рост световой отдачи тепловых источников света (ТИС) в первую очередь связан с повышением рабочей температуры тела накала (ТН), которое влечет за собой увеличение интенсивного термического испарения вольфрама. Наполнение лампы инертным газом (ИГ) уменьшает перенос частиц вещества с поверхности ТН на стенки колбы, но вместе с этим появляются тепловые потери в газе (Рг), которые необходимо учитывать в уравнении баланса мощности ламп [2].

Передача тепла от ТН осуществля-

ется путем теплопроводности в застойном слое, возникающем вокруг раскаленного ТН, и за счет конвекции за его пределами. Величина Рг зависит от рода и давления ИГ, геометрических размеров ТН [2].

При расчете и конструировании ламп накаливания (ЛН) средняя рабочая температура газа принимается приблизительно равной температуре внутренней поверхностй стенки колбы, и распределение температуры по радиусу колбы для ЛН имеет вид кривой, изображенной на рис. 1а.

© И. И. Байнева, А. В. Харитонов, 1997