CC BY
8
мы хирургии в акушерстве и гинекологии. М., ду опущения и выпадения внутренних гениталий
1995. С. 227. // Проблемы хирургии в акушерстве и гинеко-
4. Рижинашвили И. Дм Савельева И. С. логии. М., 1995. С. 237 — 239. Реабилитация больных, оперированных по пово-
Математика
/О гО <0 <0 'О /О 'О /О /О <0 /О <0 /ч) 'О /О >0 л) /О л) <0 /О л) /О <\) ^О >0 л) <0 л) /О /О л; 'О /О /О /ч/Юл) /О л) /О /О
УСТОЙЧИВОПОДОБНЫЕ СВОЙСТВА АВТОНОМНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ НА БАЗЕ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА
A. А. ШЕСТАКОВ, доктор физико-математических наук,
B. Н. ЩЕННИКОВ, доктор физико-математических наук
В работе с помощью функций Ляпунова изучаются устойчивоподобные свойства решений автономного функционально-дифференциального уравнения
х1 (Э) = X 0 + Б), - Г < Б < О,
(1)
где С Ц-г,0], Яп)
банахово про-
странство непрерывных функций <р (б),
отображающих отрезок [-г,0] в с топологией равномерной сходимости и с нормой
I\<р\I
шах
[-Г, 0 ]}
V, хх = х (X + в) — элементы пространства С.
Пусть правая часть f (Х|) уравнения (1) удовлетворяет условиям:
А1: f (0) = 0,
А2: * € С (В^, Кп),
где С (Вр, Яп)
множество всех не-
прерывных функций из открытого шара
^ЕС: I \<р\ I <р}
стве
Известно
в простран-
[2], А1
что и
при выполне-А2 уравнение
нии условии (1) имеет по крайней мере одно решение хШ - ха0, <р) (О, проходящее че-
Предположим, что решение единствен-
ное.
Производная V (<р) функции V (х) е Е С (Яп, Я) определяется формулой
V (<р) = Ш И4 (V (х (10, <р) (Х0 +
ь-* о +
+ Ь» - У(<Р)).
(2)
Если функция У(х) обладает непрерывными частными производными,
то формула (2) принимает вид
/
V (<р) = (¿гас!х V (х), Ц<р)).
Пусть М есть подмножество пространства С, а Я(М) — множество значений функций где (р Е М.
Подмножество М С В
Р
называется
положительно инвариантным справа от 10 > о (соответственно инвариантным) относительно уравнения (1), если для каждого <р Е М и I > 10 решение х1(10, (») Е М (здесь х(10, <р) (г) —
решение (1), определенное для всех X > Х0У соответственно для всех 1 € Я).
Справедлива теорема.
Теорема 1. Пусть выполнены условия:
1) У(х) Е С(ЯП, И);
2) М С С
положительно инва-
рез каждую точку (Х0, ^)еВ х Вр. риантное справа от Х0 - 0 множество;
3) существует р\ € (0,/>) такое, что для каждого е > О и любого
О S М С В
ра В
Р\
гае В
р\
замыкание
W
4) функция V(x) определенно-поло-жительна на множестве R(M);
5) производная V(<p) неположительна на множестве
ia- найдется такое S « ó (t«,, с) > 0, что выполняется неравенство 11 х (t0, <р) (t) 11 < е При любых ítn, <р) € {t £
Ф(М)
{<р е М: max V(p(s))
zlsáo
(3)
Тогда нулевое решение уравнения (1) положительно устойчиво относительно множества М, то есть для каждого е > 0 и каждого Х0 £ О существует
число <3 = <5 (г0, е) > О такое, что для всех е В<$ и справедливо не-
равенство
• 1х 0о> <Р) 0) 11 < * при ^^ (4)
Теорема 2. Пусть выполнены ус-
R непрерывно
4 тео-
ловия:
1) функция V:
дифференцируема;
2) выполнены условия 2 ремы 1;
3) производная V (р) определенно-отрицательна на множестве (3).
Тогда нулевое решение уравнения (1) асимптотически устойчиво относительно множества М, то есть выполнено неравенство (4) и, кроме того, для каж-
ого t0 6 RT = {t: t > t £ 0 } существует число/Oj =/>(t0) G (0,/o) такое, что
lim 11 x(t0, <p) (t) 11
t -»4-ое
0
для всех <р & Вр1 и всех <р е М.
Теорема 3. Пусть выполнены условия:
t
R+
0 х_ к
И
<рев
кроме того, для любого
(О, />),
существует р\ =/>i(t0)
11 х (t0» <Р) (t) 11 - О + 00
ДЛЯ
всех
р i#
На примерах можно показать, что теоремы 2 и 3 несправедливы для неавтономного функционально-дифференциального уравнения
х (I) = I ^ Х|), f: И С
Теоремы 1 — 3 являются прямым обобщением классических теорем второго (прямого) метода Ляпунова [11 для автономного обыкновенного дифференциального уравнения
х (0 = ! (х), !: Я" -Введем обозначение:
Z(V) + $)] =
= {у Е. С : max * V [х (р) (t +
Г 25 8 25 О
max V [(р (s) 1, t G R+} (5)
-r s s s o
и, кроме того, через Е(У) будем в дальнейшем обозначать наибольшее подмножество множества (5), являющееся инвариантным относительно уравнения (1).
Справедлива следующая теорема о локализации положительного предельного множества Я {(р) положительной траектории {Х| (у>) : X е R+} уравнения (1).
Теорема 4. Пусть: 1) существует функция У : Rn
R
1) функция V: U(0) S R непрерывно такая, что
дифференцируема на открытой окрест ности U(0) нуль-точки 0 € Rn;
2) V : 11(0) R определенно-поло-жительна на 0(0);
3) производная V(<р) определенно-отрицательна на открытом шаре В^ таком, что R(B/,) С 11(0).
Тогда нулевое решение уравнения (1) асимптотически устойчиво, то есть
V (<р) ^ О, У (<р) Е С,
V [<р (0) ] « шах V (<р (5));
Т £ 8
2) существует функция <р е С такая, что решение х (у>) (•) определено и ограничено на R+
Тогда
й (у>) Q Z (V).
(6)
Замечание. Из включения (6) Теорема 4 является модифика-следует, что цией одного из результатов рабо-
(<р) Е (V) при X + оо. ты 13
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчи- 3. Haddock J„ Terjeki J. Liapunov-Razumichin в ост и движения // Собр. соч.: В 5 т. М.: Изд-во functions and invariance principle for functional
АН СССР, 1956. T. 2. С. 7 — 264. differential equations // J. Diff. Eqs. 1983.
2, Хейл Дж. Теория функционально-диффе- Vol. 48. P. 95 — 122.
ренциальных уравнений: Пер. с англ. М.: Мир, 1984. 421 с.
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
л
®®®<8>®®®®®®®®®®®®®®<8>®®®<8>®®<8><8>®®®®®<8>®® О РЕШЕНИИ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ ПРИ ЗАДАННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ
€ •
В. А. КАРТАШОВ, кандидат технических наук, Н. М. КОЕШОВ, аспирант
рованного ных. в том
В ряде работ, часть которых приведена в прилагаемом библиографическом списке [1 — 8, 10], рассматриваются проблемы напряженно-деформи-
сосгояния неоднород-числе анизотропных, тел, упругие характеристики которых известны. Возможен и обратный подход, когда в целях реализации желательного распределения напряжений отыскиваются необходимые для этого упругие параметры тела. Настоящая статья касается такого рода обратной задачи для неоднородных изотропных тел в случае плоского напряженного состояния.
Заданы
напряжения
СТХ, Оу
т
ху
удовлетворяющие дифференциальным уравнениям равновесия
дох дт —- +
ôx ду
дТуХ доу
дх ду
0;
(1)
0
и условиям на поверхности
Деформации выражаются формула-
ми
у
а (ах
а (сту
voy);
(2)
Уху = 2 (1 + v) а Гху
Здесь а в а (х,у) — коэффициент деформации (коэффициент податливости) , являющийся функцией координат. Он представляет собой величину, обратную модулю упругости Е-Е (х, у),
т. е.
а
1 Е
(3)
Коэффициент поперечных деформаций V будем полагать не зависящим от координат.
Подставив выражения (2) в уравнение неразрывности деформаций
д2е
дх
2
+
â2ex ду2
(4)
после некоторых преобразований получим следующее дифференциальное
