О РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ОДНОЙ УСЛОВНО КОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ Текст научной статьи по специальности «Техника и технологии»

QISQA XABARLAR

УДК. 34G10

О РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ОДНОЙ УСЛОВНО КОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ

Гафаров Илгор Ахмеджанович Наманганский инженерно-строительный институт, E-mail: ilgorgafarov2@ gmail.com

Пулатова Халима Хошимовна Наманганский инженерно-строительный институт, E-mail: xalimapulatova1970@ gmail.com

Аннотация. Рассматривается одна некорректная задача, когда не имеет непрерывная зависимость от начальных данных. Рассматривая задачу как условно корректной, исследуются методы регуляризация с помощью семейство линейных операторов зависящих от целочисленного параметра и сведением задачу к интегральному уравнению.

Annotatsiya. Boshlang'ich shartlarga uzluksiz bog'liq bo'lmagan bir korrekt bo'lmagan masala ko'rib chiqiladi. Masalani shartli korrekt masala sifatida ko'rib, butun sonli parametrga bog'liq bo'lgan chiziqli operatorlar oilasi va masalaning integral tenglamaga keltirilgan holda regulyarizatsiya usullari tekshiriladi.

Abstract. One ill-posed problem is considered when does not have a continuous dependence on the initial data. Considering the problem as conditionally ill-posed, regularization methods are investigated using a family of linear operators depending on an integer parameter and reducing the problem to an integral equation.

Ключевые слова: корректность, некорректность, регуляризация, функция Бесселя, задача, решение, оценка.

Kalit so'zlar: korrektlik, nokorrekt, regulyarizatsiya, Besseb funktsiyasi, masala, yechim, baho.

Keywords: correctness, ill-posedness, regularization, Bessel function, problem, solution, estimate.

Понятие корректности постановки задач для дифференциальных уравнений было сформулировано в начале нашего века Ж. Адамаром.

Задача называется поставленной корректно, если выполняется следующие условия:

1) решение задачи существует;

2) решение задачи единственно;

3) решение задачи непрерывно зависит от данных.

Как известно [1], некорректно поставленной задачей или просто некорректной задачей можно назвать любую задачу, которая не удовлетворяет одному из условий корректности и некорректно поставленные задачи встречаются при математическом описании самых разнообразных явлений природы.

Назовем задачу математической физики поставленной корректно по Тихонову (условно корректной), если выполняются следующие условия:

1) априори известно, что решение задачи существует и принадлежит некоторому заданному множеству М функционального пространство;

2) решение задачи на множестве М единственно;

3) решение задачи на множестве М непрерывно зависит от данных, т.е. бесконечно малым вариациям данных задачи, не выводящим решение за пределы множества М, соответствуют бесконечно малым вариации решения.

Множество М называется множеством корректности, чаще всего это множество является компактным.

Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali 5-jild, 3-son, 2024 Maxsus son

QISQA XABARLAR

Одним из методом построение приближенного решения по приближенным данным для условно корректных задач является метод регуляризации [2].

В данной работе рассматривается регуляризация одной условно корректной задачи. Рассмотрим следующую задачу:

Au (т,ф)-к2и (гф) = 0, (r 0, R1), (1)

u(R2,p)=f ф), R2 <R. (2)

Если решение искать в виде

u (r ,ф) = R (r )Ф ф)

тогда из (1) имеем

1 п2

R" (r ) + - R- (к2 + П-)R(r) = 0 , (3)

r r2

Ф" (ф) + п2Ф(ф) = 0. (4)

Уравнение (3) имеет регулярное решение вида

Jn(iKr)=in trnr+, k+n=nnr),

k=0 Г (k +1) Г (k + п +1) 2

а уравнение (4) имеет решение

Фп (ф) = an cos пф + bn sin пф. Обшее решение уравнение (1) имеет вид

(r ,ф) = S J п (1кг )(an cos Пф + bn sin пф).

(5)

u ч

n=0

Если

да

f (ф) = S (cn cos Пф + dn sin Пф),

n=0

то решение задачи (1), (2) имеет вид

uФ) = ¿ 1П(К\ (cncos nV + dnsin ф

In (KR2) где

2ж 2ж

сп = Í f (^)cos dn = Íf (^)sin

2n 0 2n 0

Используя представления решение задачи (1), (2) не трудно доказать, что задача

имеет единственное решение.

Допустим, что задача имеет два решения щ(r,ф) и u2(r,ф) . Рассмотрим разность

u(r, ф) = u (r, ф) — щ (г, ф), тогда получаем следующую задачу:

Au (r, ф) — K2u (r ,ф) = 0, u (R ф) = 0.

Отсюда и из формулы (5) имеем u(Г,ф) = 0 , значит ux (г,ф) = u2 (г,ф).

Теперь покажем, что не имеет место непрерывная зависимость решения от начальных данных. Пусть

Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali 5-jild, 3-son, 2024 Maxsus son

QISQA XABARLAR

I (КГ) 1

un (r ,ф) = r, n\cnsm пф, чП,ф) = cn sin пф, c,

In №)

yfñn

Тогда

u

(R1,p)\\

1 II(kR)

'¿2[0,2„] n2 I„(КЯ2 )

u

,( Ri>v)\\ =

1 In (KR)_ 1 n InMa) n

f ,, \

Ri

V R2 У

I

1

Mr ^2k

=0 Г(k +1)Г(k + n +1)

V 2 У

I-

1

Mr, ^2k

£0 Г (к + 1)Г(к + п +1) ^ 2 У

при П ^да, так как ^ > .

Отсюда следует, что не имеет место непрерывная зависимость решения от начальных данных, т.е. задача некорректна.

Рассмотрим семейство линейных операторов Вп зависящих от целочисленного параметра, определяемых следующим образом:

вя/ф) = X !к((К:\ (ск кФ + sin кф).

Нетрудно убедиться, что семейство операторов Вп будет регуляризующим семейством по отношению к нашей задаче, если рассматривать данные

f (ф) = I (Cn cos пф + dn sin пф),

n=0

и решение и(г,ф) как элементы гильбертовых пространств L2 [0,27]. Пусть

2ж 2ж

— f и2(R w)dp < 1, — f и2(R,p)dp < s2. 7 J J

Тогда

(6)

7

27

J u2{R^(p)d(p = < 1 и - J u2{R2,(p)d(p = £¿?„2 < s

0 n=0 J-n (KR2) 7 0 n=0

27

7

j2 / „2

' n

(7)

где

c2 = c2 + d2.

n n n

Из (5), (6) и (7) следуют

IKf (Ф) - u (r ,Ф)|Г = I

с

y < J

k'

(8)

(9)

Легко видеть, что сумма в правой части (8) достигает при условии (9) максимального значения в случае, когда коэффициенты сд равны:

2

n

1

2

Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali 5-jild, 3-son, 2024 Maxsus son

QISQA XABARLAR

ck =0,k фп + \c2 x = = 1

И значит

In+^r) In+l(KR2)_ In+l(KT)

\BnfiV) - и {Г,Р)\ , , г г

1П+1(КК1)

Пусть известен элемент fs :

У - f.\2 *£2.

Тогда

\\ВУ - 4 * I\ВУ. - ВпП +1Ш - 4 * £7^ + 7^ . °0)

При фиксированной точности £ приближённых данных значение параметра п при котором достигается

К(кг) . К)

inf {S-^-- 4

(11)

In(к**) ,

будет оптимальным в смысле оценки (10).

Эквивалентное интегральное уравнение 1-го рода к задаче (1), (2). Рассмотрим вспомогательную задачу Дирихле:

Au(r, р) - к2и(г, р) = 0, и (R,p) = р(р).

Если предположить, что Ц/(р) разложимая в тригонометрический ряд, то задача (11) имеет следующее решение:

~ I (Kr)

u(r,P) = X Лол (Л C0S nP + Vn nP) (12)

n=0 in (KR)

где

2n 2n

In о 2n о

Из (2) и (12) имеем

f (р)=X Y^lЛ cos n(+jsin np)

n=0 in (KR1)

или

2n

f (p) = J K

0

где

К(p,4) = -L XXTT^cos n(p - 4). 2n n=0 In KR)

Метод регуляризации.

Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali 5-jild, 3-son, 2024 Maxsus son

https ://mextex.uz/

QISQA XABARLAR Рассмотрим следующее уравнение

2ж

ау(ф) + J K = fs ф)

0

где a -параметр регуляризации, / (ф) удовлетворяет следующему неравенству

||/(ф) - fs (Ф)|| ^.

Пусть

fs (ф) = Z (°s cos пФ + dl sin пф).

п=0

Функцию ty (ф) будем искать в виде

х

¥(ф) = Z (ап' cos пф + Ъп' sin пф).

т=0

Подставляя их получим Оценим разность:

и({1)(г,ф) - и(г,ф) ^ и((1)(г,ф) - их(1)(г,ф)

(г,ф) - иа(г,ф) + |\иа(Г,ф) - Чг,ф)||.

+

+

u

Здесь

a(Sy

N

u

N a(S)

(г,ф)=Z

In (кг)

=0 aIn (kR) + In (kR2)

(csn cos пф + dl sin пф),

u

, ч ^ I (кг) . , .

(г, ф) = Z s ^ \ (cn cos пф + dn sin пф),

u.

(г ,ф)=Z

п=0 In (kR2)

In (кг)

=0 aIn (kRj) + In (KR2)

(cn cos пф + dn sin пф),

u

a(S)

2 х

u((n)(r,ф) - ua(S)(r,ф) = Z 2 ^

(Г,ф) - ua(r,ф) =Z

^I2(Kr )

n=N+i [aIn(KRj) + In (KR2)] Ж^(кг)

2(cf + dl ),

n=0

[aIn(KRi) + In (KR2)]

J(cn- c )2 + (dn - d )2

2 n nJ V n n/

u

;(г ,ф) - u (г,Ф)||2=Z

жа!п (кг) I„2(kRi)

n=0

I2^) [aI„ (KRi) + In (kR2)]

2(c„2 + d„2),

где а параметр регуляризации.

Параметр регуляризации найдём из уравнения невязки

-|2

Ж

Z

In (KR2)

- 1

(cn + dl) = n2

я=0а №) + 1я №) Существование решения и методы нахождения решений этого уравнения подробно изложено в ([1], стр.71).

Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali

5-jild, 3-son, 2024 Maxsus son

n

0>шдл ХЛБЛЯЬЛЯ

Замечание 1.

Допустим, что контур не окружность, а любой замкнутый контур. Тогда решая задачу Дирихле внутри контура £2 : г = (ф) , и зафиксировать значение на круге строго

лежащего в £2 , приходим рассмотренному случаю. Замечание 2.

Внешняя задача для уравнения

Аы(г,ф) - к2ы(г,ф) = 0

Исследуется аналогично, только на месте функции Бесселя положительных порядок будут участвовать функции Бесселя с отрицательными порядками.

ЛИТЕРАТУРА

1. А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. "Методы решения некорректных задач" М.: Наука, 1979 г.

2. М. М. Лаврентьев, Л. Я. Савельев. "Теория операторов и некорректные задачи" Издательство института математики Новосибирск 1999г.

Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali 5-jild, 3-son, 2024 Maxsus son