ANIQ INTEGRALLARNI TAQRIBIY HISOBLASH UCHUN MONTE-KARLO USULI ALGORITMI Текст научной статьи по специальности «Техника и технологии»

QISQA XABARLAR

UDK: 004.9

ANIQ INTEGRALLARNI TAQRIBIY HISOBLASH UCHUN MONTE-KARLO USULI

ALGORITMI

Turakulov Azambek Abdullayevich Namangan muhandislik-texnologiya instituti, f.-m.f.n., dotsent

Annotatsiya. Ushbu maqolada texnologik jarayonlarni boshqarish masalalarini keng tarqalgan sonli yechish usullaridan keskin farq qiladigan Monte-Karlo usulidan foydalanish imkoniyatlanini ko'rib chilgan. Usbu usulda matematikaning "Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika" bo'limi ilmiy yutuqlaridan foydalaniladi. Bunda masalalarni sonli yechish taqsimot qonuni va sonli xarakteristikalari malum bo'lgan tasodifiy miqdorlarning variatsion hisoblariga olib kelinadi. Usulni kompyuter yordamida amalga oshirish uchun esa kompyuterning psevdotasodifiy miqdorlarni generatsiya qilish imkoniyatlaridan foydalaniladi.

Аннотация. В данной статье рассматривается возможность использования метода Монте-Карло, резко отличающегося от распространенных численных методов решения задач управления технологическими процессами. В этом методе используются научные достижения раздела математики "теория вероятностей и математическая статистика". При этом численное решение задач сводится к вариационным расчетам случайных величин с известным законом распределения и численными характеристиками. Однако для компьютерной реализации метода используются возможности компьютера по генерации псевдослучайных величин.

Annotation. This article discusses the possibility of using the Monte Carlo method, which differs sharply from common numerical methods for solving problems of process control. This method uses the scientific achievements of the mathematics section "probability theory and mathematical statistics". In this case, the numerical solution of problems is reduced to variational calculations of random variables with a known distribution law and numerical characteristics. However, for the computer implementation of the method, computer capabilities are used to generate pseudorandom quantities.

Kalit so'zlar: monte-Karlo usuli, tasodifiy miqdor, psevdotasodifiy miqdor, tekis taqsimot qonuni, normal taqsimot qonuni, markaziy limit teorema, tasodifiy jarayonlar, matematik model, Monte-Karlo usuli afzalliklari, Monte-Karlo usuli kamchiliklari, aniq integralni taqribiy hisoblash.

Ключевые слова: базовые слова и фразы: метод Монте-Карло, случайная величина, псевдослучайная величина, закон плоского распределения, закон нормального распределения, центральная предельная теорема, случайные процессы, математическая модель, преимущества метода Монте-Карло, недостатки метода Монте-Карло, приближенное вычисление определенного интеграла.

Keywords: monte Carlo method, random variable, pseudorandom variable, law of equiprobability distribution, law of normal distribution, central limit theorem, random processes, mathematical model, advantages of the Monte Carlo method, disadvantages of the Monte Carlo method, approximate calculation of the definite integral.

Kirish.

Turli texnologik jarayonlar muammolarning matematik modellari hisoblangan matematik masalalarni analitik usullar bilan yechish imkoniyati bo'lmagan hollarda ularni sonli yechishga zarurat tugiladi. Biz ko'rib chiqqan sonli usullarning deyarli hammasida nomalum o'zgaruvchi malum bir oraliqda tekis yoki notekis usulda bo'laklab olinadi. Nomalumlar (yani funksiyaning o'lchovi) ortib borgani sari tugun nuqtalar soni juda tez ko'payadi va murakkab

Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali 5-jild, 4-son, 2024

QISQA XABARLAR

hisoblashlar soni ham ortib ketadi. Masalan, funksiya 3 o'lchovli bo'lgan holda differensial tenglamani yechish yo'ki aniq integralni hisoblash uchun x, y va z o'zgaruvchilar oraliqlari atigi 100 bo'lakka bo'linganda tugun nuqtalar soni 100*100*100 = 1 000 000 ta bo'ladi. Vaholanki, bo'laklar soni N=100 bo'lganda masala yechish aniqligi O(h) bo'lsa, u atigi 0,01 ga teng bo'ladi. Endi, masalan, bizga 10-6 aniqlik kerak bo'lsa, tugun nuqtalar soni 10-18 ta bo'lar edi. Bu esa juda katta hisoblash resurslarini talab qiladi. Buday hollarda bizga "Monte-Karlo" usuli nomi bilan mashxur bo'lgan usul qo'l keladi [1-5].

Usullar.

"Monte-Karlo" usulining mohiyati masalalarni sonli yechishni psevdotasodifiy miqdorlarni generatsiya qilishga olib kelishdan iborat. Aniqroq qilib aytganda, masalaning yechimini "Ehtimollar nazariyash va matematik statistika" kursidan malum bo'lgan "Katta sonlar qonuni", "Markaziy limit teorema" kabi tushunchalaridan foydalanib, ehtimoliy baholashdan iborat. Albatta ushbu usulning aniqlik darajasi avval biz o'rgangan sonli usullar aniqligiga nisbatan past bo'ladi, lekin masalaning o'lchami oshgani sari hisoblash tugunlari soni O(Nmesn) emas, balki O(N) miqdorda qoladi.

Ushbu usulning afzallaiklariga quyidagilarni kiritish mumkin:

- analitik yoki sonli usullar bilan yechib bo'lmaydigan masalalarni ham yecha oladi;

- masalalarning keng sinflariga qo'llash mumkin bo'lgan universal usul;

- masalalarga tashqi tasodifiy ta'sirlarni hisobga olish imkoniyatini beradi;

- amalga oshirish uchun sodda va tushunarli;

- masalaning o'lchami ortishi bilan hisoblashlar soni keskin ortib ketmaydi;

- hozirgi zamonaviy matematik tizimlarning deyarli hammasida psevdotasodifiy miqdorlar olish imkoniyati mavjud.

Shu bilan birga Monte-karlo usulining bazi kamchiliklari ham mavjud:

- masalani taqribiy yechish aniqligining pastligi;

- hisoblashlarning tasodifiy miqdorlar generatoriga bog liqligi;

- natijalarning bir qiymatli emasligi (masalani bitta masalani qayta-qayta yechganda turli natijalar olinadi);

- o'zgaruvchilar orasidagi bog'liqlikni aniqlash imkoniyatini bermaydi;

- immitatsion modelni yaratish qiyinligi.

Monte-Karlo usulining umumiy sxemasini sodda qilib quyidagicha ifodalash mumkin.

Faraz qilaylik, birorta S miqdorni hisoblab topish talab qilinayotgan bo'lsin.

Biz matematik kutilmasi Af«f — m, dispersiyasi DÇ = d2 bo'lgan f tasodifiy miqdorni

olamiz.

Endi taqsimot qonuni f bilan bir xil bo'lgan ... ,fjV erkin (bir bin bilan bog liq

bo'lmagan) tasodifiy miqdorlarni ko'rib chiqaylik.

Agar tasodifiy miqdorlar soni - N yetarlicha katta bo'lsa, u holda "Markaziy limit teorema"ga asosan tasodifiy miqdorlar yig indisining taqsimot qonuni

a = m ■ AT, a = d ■ y[Ñ

parametrli "Normal taqsimot qonuni"ga yaqin bo'ladi.

Eslatib o'tamiz, "Normal taqsimot qonuni" deganda zichlik funksiyasi

1 ,x—a,

f{_x) =-— 11

er ■ y¡2n

ga teng bo'lgan uzluksiz tasodifiy miqdor tushuniladi.

U holda, ehtimollar nazariyasining "3cr qoidasi" ga asosan:

P(Nm - 3d VÏV < f < Nm - 3rfViV) ^ 0,997 bo'ladi. Ushbu ifodani shakl almashtirish orqali

Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali 5-jild, 4-son, 2024

QISQA XABARLAR

ko'rinishga keltirish mumkin. Ushbu tenglik Monte-Karlo usuli uchun juda muhim ifoda hisoblanib, u usulning xatoligini ham baholash imkoniyatini beradi.

Yuqorida takidlab o'tganimizdek Monte-Karlo usulining qo'llanish sohalari juda keng. Quyiga undan foydalanish imkoniyatlaridan birini bir o'lchovli va karrali aniq integrallarni taqribiy hisoblash misollarida ko'rib chiqamiz. Natijalar.

Faraz qilaylik, bizdan

aniq integralning taqribiy qiymatini hisoblash talab qilinayotgan bo'lsin. Bu ishni amalga oshirish uchun [a;b] oraliqda tekis taqsimlangan usluksiz X tasodifiy miqdorni ko'rib chiqamiz. Ma lumki, ushbu tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi

formula yordamida topiladi. Tekis taqsimlangan tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi esa

/00= 1

¿j — a

ga teng. Budnan foydalanib,

yoki

tenglikka ega bo'lamiz.

Oldingi bo'limda keltirilgani kabi, X tasodifiy miqdorni taqsimot qonuni bir xil bo'lgan N ta xlrx2r... erkin tasodifiy miqdorlar (tanlanma yoki X tasodifiy miqdorning tasodifiy qiymatlari) to'tlami bilan almashtirsak,

X^x^Oj

MOO)) =

N

bo'ladi. Bundan foydalanib, berilgan integralni taqribiy hisoblash uchun

(1)

formulaga ega bo'lamiz.

X tasodifiy miqdorning [a;b] oraliqfa tekis taqsimlargan va zichlik funksiyasi

Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali

5-jild, 4-son, 2024

OISOA XABARLAR /00

b — a

ga tengligini hisobga olsak, xi tasodifiy miqdorni

ifodadan foydalanib, tasodifiy son orqali hisoblash mumkin. Ushbu ifodadagi integralni topib, hosil bo'lgan tenglamani xi ga nisbatan yechsak,

ifodaga ega bo'lamiz.

Muhoklamalar.

Kompyuter uchun algoritm yozishdan avval integralni taqribiy hisoblash ketma-ketligi bo'yicha aniq tasavvurga ega bo'lishimiz lozim. Buning uchun quyidagi sodda intergal misoliga hisoblashni "qo'lda" amalga oshirib ko'ramiz. Misol: Monte-Karlo usuli yordamida

integral qiymatini taqribiy hisoblang.

Bajarilishi lozim bo'lgan ishlarning ketma-ketligini yozib olamiz:

1. Soddalik uchun [5;10] oraliqdan olinadigan tasodifiy miqdorlar sonini N=15 deb

olaylik.

2. [5;10] oraliqdan olinadigan tasodifiy miqdorlar turini tekis taqsimlangan uzluksiz tasodifiy miqdorlar deb olamiz.

3. [0;1] oraliqda yotuvchi 15 ta tekis taqsimlangan tasodifiy miqdor generatsiya qilamiz (1-jadvalga qarang).

1-jadval

Kompyuter tomonidan generatsiya qilingan psevdo-tasodifiy miqdorlar jadvali.

N 1 2 3 A 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

n 0,0137 0,7053 0,9478 0,4158 0,2297 0,2319 0,8S99 0,4242 0,1238 0,6523 0,4516 0,7606 0,9812 0,0769 0,479

4. Ularni (2) formulaga asosan [5,10] oraliqqa normallaymiz (2-jadvalga qarang).

Normallangan tasodifiy miqdorlar jadvali.

2-jadval

N 1 2 3 <1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

n 0,0137 0,7053 0,9478 0,4158 0,2297 0,2319 0,8899 0,4242 0,1238 0,6523 0,4516 0,7606 0,9812 0,0769 0,479

5,0683 8,5264 9,7388 7,0789 6,1486 6,1596 9,4493 7,121 5,619 8,2614 7,2581 8,8031 9,9059 5,3845 7,3949

5. <p(x) = x2 + 1 funksiyaning xt nuqtalardagi qiymatlarini hisoblaymiz (3-jadvalga qarang).

3-jadval.

Integral ostidagi funksiyaning tasodifiy miqdorlardagi qiymatlari jadvali.

N l 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

n 0,0137 0,7053 0,9478 0,4158 0,2297 0,2319 0,8899 0,4242 0,1238 0,6523 0,4516 0,7606 0,9812 0,0769 0,479

5,0683 8,5264 9,7388 7,0789 6,1486 6,1596 9,4493 7,121 5,619 8,2614 7,2581 8,8031 9,9059 5,3845 7,3949

<pixi) 26,688 73,7 95,844 51,11 38,805 38,941 90,289 51,709 32,574 69,251 53,68 78,494 99,127 29,993 55,685

Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali

5-jild, 4-son, 2024

QISOA XABARLAR

6. S = 5^=^00 yigindini hisoblaymiz: S=885,89.

7. Endi (14.1) formula bo'yicha berilgan aniq integralning taqribiy qiymatini hisoblaymiz:

8. Berilgan I integralning aniq qiymati I K 296,67 ekanligini hisobga olsak, taqribiy qiymatning nisbiy xatoligi

Sf =

V I

1296,67-295,29671

1,37

295,2967

P 295,2967

ga teng ekanligini ko'rishimiz mumkin.

Yuqoridagi hisoblardan xulosa qilib, aniq integralni Monte-Karlo usuli yordamiga taqribiy hisoblash jarayonini kompyuterda amalga oshirish algoritmini quyidagi blok-sxema

ko'rinishda tasvirlashimiz mumkin (1-rasmga qarang).

(^lamünT^

1-rasm. Aniq integralni Monte-Karlo usulida taqribiy hisoblash algoritmi blok-sxemasi.

Ushbu algoritm bo'yicha C++ tilida dasturi tuzilib, integral ostidagi funksiyaning turli ko'rinishlari uchun bajarib ko'rilgan va yaxshi natijalar olingan.

Xulosalar

1. Texnologik jarayonlarni boshqarish masalalarini sonli usullar yordamida taqribiy yechishda keng tarqalgan sonli yechish usullaridan keskin farq qiladigan Monte-Karlo usulidan

foydalanish kompyuter dasturi bajarilish vaqtida amalga oshirilishi lozim bo'lgan arifmetik operatsiyalar sonini 0(n2) dan 0(n) ga kamaytirish imkoniyatini beradi.

Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali

5-jild, 4-son, 2024

QISQA XABARLAR

2. Usbu usulni kompyuterda amalga oshirish jarayonida psevdotasodifiy miqdorlar generatsiyasidan foydalanish katta samara beradi.

3. Ushbu usul yordamida aniq integralni taqribiy hisoblash uchun kompyuter dasturi uchun sodda va tushunarli algoritmi taklif qilindi. Ushbu algoritmdan foydalanib, texnologik jarayonlarning boshqa masalalarini yechish algoritmlarini ham ishlab chiqish mumkin.

ADABIYOTLAR

1. D. P. Kroese, T. Taimre, and Z. I. Botev. Handbook of Monte Carlo Methods. John Wiley & Sons, New York, 2011.

2. C. P. Robert and G. Casella. Monte Carlo Statistical Methods. Springer-Verlag, New York, second edition, 2004.

3. G. S. Fishman. Monte Carlo: Concepts, Algorithms and Applications. SpringerVerlag, New York, 1996.

4. R. Y. Rubinstein and D. P. Kroese. Simulation and the Monte Carlo Method. John Wiley & Sons, New York, second edition, 2007.

5. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. Главная редакция физико-математической литературы издательства "Наука", 1973.

Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali

5-jild, 4-son, 2024