CC BY
12
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2017, том 60, №1-2_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
О.А.Джурахонов
дратически
функциями экспоненциального типа
о наилучших среднеквадратических приближениях целыми
типа
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 01.06.2016 г.)
В статье получены точные неравенства типа Джексона-Стечкина между наилучшими среднеквадратическими приближениями целыми функциями и усредненными с весом значениями модулей непрерывности m-го порядка.
шчениям, функция экспоненциальное.
Ключевые слова: наилучшие приближения, модуль непрерывности, це. типа, пространства измеримых функций, неравенства.
1. В работе рассматривается экстремальная задача среднеквадратического приближения функций, суммируемых с квадратом на всей оси R := (—да, да), целыми функциями экспоненциального типа. Обстоятельный обзор полученных точных результатов по этой тематике в пространстве и их сравнение с аналогичными результатами, полученными на различных
классах периодических функций в пространстве £2[0,2^] с хронологическим анализом, приведены в статье [1]. Всюду далее под будем понимать пространство всех вещественных измеримых на
К функций / , удовлетворяющ ю
Через Lip (Ш,
целых функци
где
< да.
, у которых производные (г — 1) -
обозначим класс фуг
о . А \
го порядка /'' ''(геМ, /<0) = / ) локально абсолютно непрерывны, а производные г-го порядка /(г) принадле:
(М). Символом Вет (0 < <7 < да) обозначим сужение на К множества всех го типа <7, принадлежащих пространству Z^ (К) . Величину
/) := 4ДА2(М) = т\\/-9а II ВЛ,
называют наилучшим приближением функции / элементами множества Вст в
метрике пространства , (I В [2,3] доказано
для произвольной функции f е L2 (М) существует единственная целая
функция Ло
: наименее уклоняется от / в метрике пространства , ( М ) и имеет вид
Адрес для корреспрнденции: Джурахонов Олимджон Акмалович. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр.Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]
ЛД/, X) := \еЬстХа(т)F(/, т^т = Ге^(/, т^т,
где F(/) - преобразование Фурье функции / ; %а - характеристическая функция множества (—с, с). При этом для квадрата величины наилучшего среднеквадратичного приближения функции / е Л2(К) множеством имеет место равенство [2]
4(/Н1/-лд/)||2= /
|т|>ст
неравенство
В [2] отмечалось, что для произвольной праведливо также
ч
с/) (/(?У Ч / , V^ (2)
Равенством
где
¿2'А
%(/tX):=£(-1Г" (m ]/ (X+kh) -
ядка функции / в точке X с шаг<
2(К) не эквивалентна
конечная разность П1 -го порядка функции / в точке X с шагом к, определим модуль непрерывности т -го порядка функции
Пусть теперь функция К) не эквивалентна нулю, а /' -преобразование Фурье
\ч \n лг/л
функции / . Используя свойство преобразования Фурье, запишем равенство
-1)^ (/, t). (3)
А/ Л/ оЬ
Так как Ато по теореме [ии имеют одинаковые нормы, а потому и;
по теореме Планшереля функция А™ (/)) е I. , (К) и обе эти
_ • \
функции имеют одинаковые нормы, а потому из (3) следует, что
ункции им
а;:(/)И2=2'"||
F(f, и) |2 (1 - cos(hu))"' du. (4)
Учитывая определение модуля непрерывности m -го порядка и равенство (4), запишем
(/, t) = 2m sup f | F(/, u) |2 (1 - cos(hu))mdu >
> sup
\h\<t
J \F(f, u)\2
hu
2sin— | du. 2
(5)
Воспользовавшись тождеством (см.,напр.[4], с.39,1-320)
. hu
ч 2m
2sin— I = C2mm - 2^(-1)l+1 C2mml cos(hlu
l=1
перепишем неравенство (5) в следующем виде
(
ol(f,t) > sup J \ F(f,u)\2 • cm -
\h\<t V l=1
= Cm ■ A
C2 m Ла
cos(hlu) du =
(/) — 21п| | и)|2 £(—1)'+1С2т—'' ССВ^/и)^. (6)
Юказательстве утверждения теоремы 2, приведенной
мов Тп—1
лижения
/С ) /С у /Л 7
атов на классах функций.
Неравенством (6) воспользуемся при дс чуть ниже.
2. В случае аппроксимации 2л -периодической функции f е Х2[0,2л] подпространством 3п_1 тригонометрических полиномов 1п_ 1 порядка п — 1 в метрике пространства L2[0,2л] для величины наилучшего приближен
К-л
получен ряд точных результатов на классах функций.
Так, например, в [5] фактически доказано, что для произвольной ¿2[0,2л] и любых
о равен
фиксированных m, п е N справедливо _____
¡авенство
2л/.
_ /-rim 4-1/2
\ 1/2 = (C2m ) ,
(7)
)V„ (t)dt
t) - модуль непрерывности m -го порядка функции
0,2 л], f Ф const, то nrEn-X(f )
,1/2 (C2m)
-1/2
(8)
П J 0m (f (Г), t)фп (t)dt
Неравенства (7) и (8) на случай наилучшего среднеквадратичного приближения целыми функциями экспоненциального типа сеМ+ в пространстве Л-,(К) распространены В.Ю.Поповым
m
[3]. Он доказал, что для любого { е Л2 (М), / - не эквивалентна нулю и для любых фиксированных т,п еМ (и> т) справедливо равенство
А. (/)
эир -
К) ( -
-1/2 (С2т)
V4 0
| а2т(/,)dt
(9)
а если /е/1!!(1), и /" - не эквивалентна нулю, то
К г )
игА,
.V
эир -
( 2л!а
к) сг
И О
и(f)
—1/2
| «та(г), ое. (t)dt ^ ^^
А л'
ставляет вычисление экстремальных характеристик,
где ( (t) = sin(иt /2) + (1/ 2^п и
Хорошо известно [6, с.232], что если / е Л2(М), то все промежуточные производные /'' 1'(V = 1,2,...,г-1;г = 2,3,..,) также принадлежат пространству Л-,(К), как и сама функция / а поэтому определенный интерес представ
содержащих величины наилучших приближении ') промежуточных производных
элементами подпространства в :
Теорема 1. Пусть z, 2 иеМ, V = 0,1,2,...,г; г = 2,3,...; ы и > т. Тогда справедливо равенство
^ А ( f(г—у)) - ,-1/9
(11)
[их приближений г))
Верхняя грань в левой ча
(3) вычисляется по венство (11) при V = 0 вытекает из ра
- 4 £ Ж
f г) которых не эквивалентны нулю.
Равенство (11) при V = 0 выте (9) име
о всем функциям еДг)(М), производные венства (9). В самом деле, если V = 0, то в силу
,1/2
I ®2(/( г),!)( №
А. (д)
и I и
I ®1(д, t (^
,1/2
(С22т )
1/2
(12)
Пусть теперь V е [!,/"]. Если полагать /'' '' = дг, то очевидно, что } = д ' ' е I,-,(М), то
(г) - „(')
есть д е Д'г) (М), а потому в силу (10) имеем:
/ еП
вир
(г) _2л"/сг
а^ (/(г-"))
а 4
вир
деП
Гу'1 ( 2л! а '■'-'.-в-. /Т /•
л/а \
| со2т(/{г), ((t)dt
^т Г
а' Аа (д)
. 1/2 \ 2т ) '
:-еоремы 1.
откуда и вытекает требуемое равенство (11), и этим завершается доказательство теоремы 1. Из доказанной теоремы вытекает ряд следствий.
во нераве,
Следствие 1. В условиях теоремы 1 справедливо неравенство
Аа (/Г <
I, ' 1, 2,...?
Доказательство. В самом деле, из равенства
которой производная / г) не эквива.
А
(13)
(14)
произвольной функции /' е /^''(К)
Неравенство (13) вытекает из (14), поскольку при
0</<2ж/а
®т(/(г);t) <®т(/(г);2^/ а) и а
о • А>
кт,что
Георема 2. Для произвольного фунщии / е Х(2г)(1К), у которого /-(,) - не эквивалентна нулю и , ^) выпуклая вверх функция, при
2л/а
о г
- Г (Ра ^)dt = 1 4 *
и тот факт
Теорем
(г), I) выпуклая вверх функция, нство
Аа (/'
любом <7 > 2, V = ОД,..г, спраеедлиео
//^т \-1/2 ^ (г-')) < (С2т ) „ / V т
3ж
Г
(15)
При г = ' = 0 константу (С2т„) 12 в правой части неравенства (15) при любых фиксированных шеМ и О" > 2 нельзя заменить меньшей во всем классе функций из (К) .
Доказательство. Пусть оз2т(/(г),I) - выпуклый вверх модуль непрерывности функции f е . Тогда в интегральном неравенстве Иенсена (см., например, [7], с.288):
и
|ф(( )) р(Х
а_
ъ
|р{г
и
() р(г
а_
ъ
|р(г )dt
(16)
V а
где Ф - непрерывная выпуклая вверх функция, заданная на всей ос:
ункци ункци
и, функ
и ( и р заданы на
[а, Ъ], причём ( измерима и почти везде конечна, а р и р ■( суммируемые и |р(7)& > 0, полагая
) - произвольная функция, имеем:
а := 0,6:= 2л-/С7,(р{1)= Г,Ф{1)= а~п{/{г\г) где /
2 л/и | «2(/(г),
Учитывая, что
из неравенства (5) получаем
Из соотношени
Докажем теперь, что при любых фиксированных т и и > 2 при г = V = 0 константа
—1/2 Лгч тт
словами, при сделанных выше предположениях в
ий (14)
ерь, что при любых (С2тт ) 12 в неравенстве (15) неулучшаема. Другими CJ неравенстве
Г > / т
1/2 (/,3л/4.) (19)
части нельзя заменить меньшей во всем классе функции из (М). В
/V Аи (/) < (С
нту « '*) 1 в правой
пользуясь неравенством (6) и схемой рассуждений В.Ю.Попова [3], покажем, что для любого числа £>0 (0 < в < л / 2 <т) и любых фиксированных чисел <Т> 2 и ш е N существует функция /¡. е Ь2 (К) такая, что
I и да
/,):= \\\Fe(u)\2du - 2 щ| Г | Fг(u)|2x
а
да
i=i
x^(-1)l+1 cm cos ihu du}: {Af \ Z e. (20)
Тогда из равенства
al 2fe, 3 я- / (4г)) = A2 2fs Cm i + S(fB)],
\,
вытекающего из (6), (20) и (1), будет следовать, что константа (Ст ) в неравенстве (19) в классе всех функций f е Л2(М) неулучшаема. Доказательство неравенства (20) буквально повторяет
«э-
РАТУ Р
схему рассуждений при доказательстве следствия 4 работы [3], а потому мы его опускаем.
Отметим, что аналогичные результаты, когда вместо весовой функции (ра (t) рассматривается функция sin nt, получены в [8].
ЛИТЕРАТУРА
1. Vakarchuk S.B. On some extremal problems of approximation thory of function on the real axis. - I. J. of
Math. Sciences, 2013, v. 188, №2, pp.146-166.
01.06.2016 г.
6-166.
2. Ибрагимов И.И., Насибов Ф.Г. Об оценке наилучшего приближения суммируемой функции на вещественной оси посредством целых функций конечной степени. - ДАН СССР, 1970, т. 194, №5, с.1013-1016.
3. Попов В.Ю. О наилучших среднеквадратических приближениях целыми функциями экспоненциального типа. - Изв. вузов. Математика, 1972, №6, с.65-73.
4. Рыжик И.Н., Градштейн И.С. Таблицы интегралов суммы рядов и произведений. - М.: Физматгиз, 1971, 1108 с.
5. Черных Н.И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в /еЬ2. - М.: Мир, 1967. т. 24, вып.5 с.513-522.
6. Бекенбах Э., Беллман Р. Неравенства. - М.: Мир, 1965, 273 с.
7. Натансон И.П. Теория функции вещественной переменной. - М.: Наука, 1974, 480 с. чук С.Б., Шабозов М.Ш., Лангаршоев М.Р. О наилучших среднеквадратических
ижениях целыми функ
функциями экспоненциального типа в / е П2(К) и средних у-поперечниках • \
. - Известия вузов. Математика, 2014, №7, с.1-19.
m
О.А.Ч,урахонов
оид ба наздиккунии бе^тарини миёнаи квадрати бо
функсищои бутун
Донишго^и миллии Тоцикистон
Дар макола баъзе нобаробарихои аники намуди Джексон-Стечкин байни наздиккунии бехтарини мичнаи квадрати бо функсияхои бутун ва кимати бо вазн миёнакардашудаи модули бефосилагии тартиби m -ум ёфта шудааст.
Калима^ои калиди: наздиккунии беутарин, модули бефосилаги, фазой функсияхои ченш___________
функсияхои бутуни типашон экспоненсиали, нобаробариуо.
ечкин
ефосилаги, фазои функсияхои ченшаванда,
O.A.Jurakhonov
about the best mean squared approximations entire functions
Tajik National University
Exact inequalities type of Jackson-Stechkin between th e best mean squared app iroximations entire functions and the values of modulus of continuity m-th order averaged with weight are received in paper. Key words: best approximation, modulus of continuity, space of measurable function, entire functions of exponential type, inequalities.
A ¿v v
