CC BY
23
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №12_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Н.Ф.Олифтаев
НАИЛУЧШИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ И ТОЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В Ь2
Таджикский государственный университет коммерции
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 22.03.2015 г.)
В работе рассматривается экстремальная задача вычисления точных значений п-поперечников различных классов функций из ), определяемых т-модулями гладкости m-го порядка r-ой производной f (г)(0.
Ключевые слова: наилучшее приближение, модуль непрерывности, ряд Фурье, п-поперечник, т-модуль непрерывности.
1. Пусть N - множество натуральных чисел; Ъ+ = N^{0}; М+ - множество положительных чисел вещественной оси; := [0,2л] - пространство 2 л -периодических измеримых функций, квадрат которых суммируем на [0,2 л] с конечной нормой
( 1 2я У/2
<
-\\/ (x)\2 dx
УЖ 0 J
Пусть
a n—1
= j Tn-i(x): Tn-i = -£■ + 2 (ak cos kx + ß sin kx) \
k=1
- подпространство всевозможных полиномов порядка < n — 1.
Общеизвестно, что для произвольной функции f G L2, имеющей формальное разложение в ряд Фурье
а ( Л
№ ~ + Е К (/) cos Joe+ bk (/) sin kx), 2 k=i
величина ее наилучшего приближения в метрике L2 подпространством 32и_! равна
En—i(f)d=finf §f — Tn—1||: Tn—i е32п—i| =
fx ^ i/2
HIf — Sn—i(f)\\ = \TÄ(f)\ ' (D
Адрес для корреспонденции: Олифтаев Нодир Фезилобекович. 734055, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул.Дехоти, 1/2, Таджикский государственный университет коммерции. E-mail: [email protected]
где
а ( f) n—1
Sn-\ (f; x) = af + Z а (f) cos kx + bk (f) sin kx) 2 к=1
частная сумма порядка n — 1 ряда Фурье функции f (x) ,
р2(/) = аЦ/) + ЬЦ/).
Через г £ N обозначим множество функций у которых производные (г — 1)-го
порядка абсолютно непрерывны, а производные г -го порядка /(г) е Ь2. Символом НА™ (/)|| - обозначим норму конечной разности т -го порядка функции / е Ь2 с шагом к :
11
А Г (f )|| Ч - J
Z (—1)"
к=0
С т^
V к J
f (x + kh)
2 1
dx >
1/2
и равенством
а
(f; 0=fsup{|Ah(f)||: |h|< t}
(2)
определим модуль непрерывности т -го порядка функции / е Ь2.
Для исследования структурных и конструктивных свойств величины наилучшего приближения функций алгебраическими полиномами в пространствах Ь [а, Ь](1 < р <ю) и С[а, Ь] Камен Г.
Иванов [1,2] ввёл в рассмотрение новые модификации модулей непрерывности, так называемые т -модули гладкости, и изучил их свойства и связи с известными дифференциально-разностными характеристиками. Мы воспользуемся указанными величинами для решения ряда экстремальных задач теории полиномиальной аппроксимации в Ь2, предварительно развивая и обобщая в Ь (^ > 1) —
норме ранее известные результаты С.Б.Вакарчука [3] для т -модулей гладкости.
Пусть Л(х) — произвольная положительная 2ж -периодическая функция, а w(х) — непрерывная неотрицательная функция периода 2ж. т -модулем гладкости т -го порядка функции / е •) [0,2ж] (р, р > 1) называют величину
(f, w;!)pp = w(-)am (f,-M(0) p
(3)
где
1
M( x)
|1/p
ат(f,x;A(x)),=\^^ J |A"hf(x)
2M(x),
dh!
M( x)
Условимся, что если w(x) = 1, то вместо тт (f, 1; А) . будем писать просто тт (f; А) .. В
[1] доказано, что если, например, X(x) = u = cons/ > 0, f е L [0,2л], w(x) = 1 и Р е[0, p],1 < p <ю, то
Tm(f>U)p,p (4)
где символ "х" означает соотношение слабой эквивалентности.
Для выяснении структурных и конструктивных свойств функции f е LLr) посредством т -
модулей гладкости m -го порядка, с нашей точки зрения, определенный интерес представляет отыскание точного значения следующей экстремальной величины
2m/2 E ( г)
у (т,р; h) , = sup -2 E"-lU )2-^, (5)
Д»*I J^(f(r), 1;i)p,2
V 0 у
где l< p <2, 0 < if < 2, /ге Ж и — неотрицательная суммируемая не эквивалентная нулю на отрезке [0, h] функция.
Следуя работе [3], введём обозначение
Jm(p) = \(l-ca&t)mdt. (6)
В работе [4] нами установлена следующая общая
Теорема. Пусть г,т е М, И е Ж+ и 1 / г < с/ <2. Тогда при любых п е N справедливо равенство
'nh у1/<г
(7)
2. Используя результат (7), продолжим исследование в этом направлении. Прежде чем сформулировать нужные нам результаты, напомним необходимые определения и обозначения, которыми воспользуемся при вычислении различных n -поперечников заданных классов функций.
Пусть M ^ L2 - некоторый класс функций и пусть LB ^ L - некоторое подпространство заданной размерности n. Величину
En(M)^ := E(M, L)l = sup{E(f;Ln\ : f е M} =
= sup {inf | f - |2: ^ е Ln}: f е m} (8)
и
0
называют наилучшим приближением класса M подпространством Ln размерности n. Величина (8) характеризует отклонение класса M от подпространства Ln в метрике пространства L2. Величины
bn (Ш, L2) = sup {sup {г > 0; eS ^Лп+1 с Ж }:Лп+1 с L2 j, dn (ШГ, L ) = inf {sup {If\\: f eMt ^Лn }:Лn с L2 }, dn(Ш,L2) = inf }sup{inf {||f - g\\: g }: f e ШГ}:Лп с L2}, 5п(Ш,Ь2) = inf{inf{sup{|/-£/||: / e Ш}: £Z2 с Лй}: Л„ с L2], Пй(Ши2) = inf {inf {sup{||/- £х/|: / e Ш?}: £% cz Л 1: A„ c= L2
называют соответственно бернштейновским, гельфандовским, колмогоровским, линейным и проекционным п -поперечниками. Поскольку Ь2 - гильбертово пространство, то между перечисленными п -поперечниками выполняются соотношения:
Ьп(М,Ь2) < ¿п(М,Ь2) < <(МЬ 2) = ^(МЬ) = Пп(М,Ь). (9)
Исходя из полученных результатов, связанных с характеристикой гладкости тт (/; и) ,, определим следующие классы функций. Через Ж?(г'\т{; к) обозначим класс функций / е ), для которых при любых геМ, И. е Ж и \ / г < q <2 выполняется неравенство
1 к
1(/(г); t )2,2 Л < 1. к 0
Через Жуг)(т;Ф) обозначим множество функций / е Ь(2), для которых при любых геМ, 1 / г < с/ < 2, // се ТО выполняется условие
1 А
- и* (f(r); u)„ du <Ф^), hJ
0
где Ф(к) - неотрицательная возрастающая функция такая, что Ф(0) = 0.
Теорема 1. Пусть гёК, и \ / г < q <2. Тогда при любых йеМ имеют место ра-
венства
(ЖГ; к); 4) = V1ЖГ; к); 4) =
= En -W )(г1; h))2 = 2-1/2 n"
( л nh г ■ 2 ^ -/q
-f f 1 - snO dt
yh Jo f t J ,
(10)
В частности, при q = 2 имеем
КПГ h); L2) = ^пПГ h);L2) =
Г nh Л
= К rЧг,; h))2 = nr- , 0 < nh <ж. (11)
n-1( 2 ( 1; ))2 ^ 2(nh - Si(nh)))
Отметим, что равенства (11) в определенном смысле являются обобщением одного результата Л.В.Тайкова [5] о наилучшем полиномиальном приближении периодических функций, принадлежащих пространству Ь2 [0,2л], структурные свойства которых характеризуются усредненными значениями модулей непрерывности первого порядка производной /(г) е Ь2 на случай, когда указанные свойства характеризуются т -модулем первого порядка производной /(г) е Ь2. В качестве следствия из теоремы 1 рассмотрим следующую задачу. Если Ш - некоторый класс функций, принадлежащий пространству Ь2, то требуется найти величину
Щ(ШГ) = sup{| а(/) 1,1 Ъп(/) |: / е Ш},
где аи (/) и Ъп (/) - косинус- и синус-коэффициенты Фурье функции / (х).
Теорема 2. Если геМ, \/ г <q <2, 0 <к <Ъж / (4 п), то справедливы равенства
8ир{|а (/) |,| Ъп (/) |: / еж;г )(г1;1, к)} =
[лпъг ■ 2 1-1/;
= 2-"2 П-1"{к| [1 -Т^} *} • <'2>
В частности, при ; = 2 имеем
пк
1/2
sup{ I an (f) I , I bn (f) I : f g W*(') (тг; 1, л / n)} = n
2(nh - Si(nh)) ^
Вычислим теперь точные значения n -поперечников класса W?r)(^;Ф). Следуя работе [6],
^ n sin t полагая при t = 0 значение функции - равным 1, через t„ обозначим значение ее аргумента, при
котором эта функция достигает на полусегменте [0,да) своего наименьшего значения. При этом t„ (4,49 < 4 < 4,51) есть минимальный положительный корень уравнения tgx = x. Положим
1 - siní , =<
1 sin t
1--, если 0 < t < t,,
t
n sin t„
1--, если t < t < да.
t
В этих обозначениях имеет место следующее утверждение.
Теорема 3. Если мажоранта Ф при любых к е Ж+, 0 < с/ <2, удовлетворяет ог-
раничению
(13)
_Ф!(П_ г (,—Г/.ГЛТ',
Ф(г/п) пк I I t ), Г t ) J
то при любых имеют место равенства
л2п—1(Жг)(т1;Ф); Ь) = л,я (Ж?Г)(Тх;Ф); Ь2) =
{II —1/9
¡(1 — фф, (14)
где Лп (•) — любой из перечисленных выше п -поперечников. При этом множество мажорант, удовлетворяющих условию (13), не пусто.
Из теоремы 3 вытекает следующее
Следствие. При выполнении условий теоремы 3 имеют место равенства АпЖ^ГФ); Ь) = Л п(ж2(Г)(т;Ф); Ь) =
= Еп—1(Ж2(г)(т1;Ф); Ь) = Г • -! фМ. (15)
^2(г— &(г)) п у п )
Хорошо известно, что, если / е Ь2), то и все производные /(г 4) также принадлежат Ь2, а
'¿2 '
потому определенный интерес представляет изучение поведения величины Еп_ г (/(г 4) \ , 5 = 0,1,..., г
на классах функций Ж2 г) (т ; Ф).
Теорема 4. Пусть q = 2, Если функция Ф при любом /геК+ удовлетворяет усло-
вию
пк , ,
БШ t
2
К1—т
л
т_ > ^—(,6)
ф(г/п)) „к (1 «¡Т
г
то для 5 = 0,1,., г справедливо равенство
Бир{Еп1(/(г—4))2: / е Ж2(г)(т1;Ф)} = Г •-!Ф(г]. (17)
л/2(г — <&(г)) п У п )
Поступило 22.03.2015 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ivanov Kamen G. On a new characteristic of functions. I - Сердика Бълг. Мат. Списание, 1982, т.8, №3, с.262-279.
2. Ivanov Kamen G. On a new characteristic of functions. II - Direct and converse theorems for the best algebraic approximation in C[-1;1] and Lp[-1;1] Сердика Бълг. Мат. Студ., 1983, т.5, с.151-163.
3. Вакарчук С.Б. О наилучших полиномиальных приближениях в L2 некоторых классов 2п-периодических функций и точных значениях их «-поперечников. — Матем. заметки, 2001, т.70, №3, с.334-345.
4. Шабозов М.Ш., Олифтаев Н.Ф. Наилучшие приближения и точные значения поперечников некоторых классов периодических функций в L2. — Известия АН Республики Таджикистан. Отделение физико-математических, химических, геологических и технических наук, 2013, №4(153), с.23-32.
5. Тайков Л.В. Неравенства, содержащие наилучшие приближения и модуль непрерывности функций из L2. — Матем. заметки, 1976, т.20, №3, с.433-438.
6. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшие полиномиальные приближения в L2 некоторых классов 2п-периодических функций и точные значения их поперечников. — Матем. заметки, 2011, т.90, №5, с.764-775.
Н.Ф.Олифтаев
НАЗДИККУНИИ БЕХТАРИН ВА ЦИМАТХОИ АНИЦИ ЦУТРХОИ БАЪЗЕ СИНФХОИ ФУНКСИЯХОИ ДАВРЙ ДАР ФАЗОИ Li
Донишго^и давлатии тицорати Тоцикистон
Дар макола масъалаи экстремалии хдсобкунии киматх,ои аники n -к,утрх,ои синфх,ои функсиях,ои гуногун аз фазои L2), ки бот -модулхри бефосилагии тартиби m -уми х,осилаи тартиби r -ум муайян шудаанд, хдл шудааст.
Калима^ои калиди: наздиккунии беутарин, модули бефосилаги, цатори Фуре, n -цутр, т -модули бефосилаги.
N.F.Oliftaev
THE BEST APPROXIMATION AND AN EXACT VALUES OF WIDTHS FOR SOME CLASSES PERIODIC FUNCTIONS IN L2 SPACE
Tajik State University of Commerce
In this paper an extremal problem of calculation the values of «-widths for different classes functions from L) defined by modulus smoothness of m-th order and r-th derivative is considered. Key words: the best approximation, modulus of continuity, Fourier series, «-widths, т-modulus of continuity.
