Значения квазипоперечников некоторых классов периодических функций двух переменных в l 2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2014, том 57, №11-12_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

М.О.Акобиршоев

ЗНАЧЕНИЯ КВАЗИПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ В Ь2

Технологический университет Таджикистана

((Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 09.06.2014 г.)

В гильбертовом пространстве суммируемых с квадратом периодических по каждой из переменных функций найдены точные оценки квазипоперечников некоторых классов дифференцируемых функций, у которых усредненные модули непрерывности высших порядков частных производных мажорируются заданными функциями.

Ключевые слова: наилучшие приближения - модуль непрерывности - периодическая функция - нормированные пространства - линейные и колмогоровские квазипоперечники.

1. Рассмотрим экстремальную задачу нахождения точных значений колмогоровских и линейных квазипоперечников для классов дифференцируемых 2ж -периодических функций двух переменных в гильбертовом пространстве (0), Q = {0 < х, у < 2к} с нормой

Г7 f (X У) I2 dxdy [

>1 1/2

L2(e) | 4n Q) j

Напомним необходимые понятия и определения, нужные нам в дальнейшем (см. напр. [1,2,3,4,5]). Пусть (Х,||-|| ) и (Г,||-|| ) - линейные нормированные пространства функций одной переменной, а

ит = храп{ио(х\u1(x),..., ит (х)} у = $рап\уо( y), v1(y),..., уп (у)} - их конечномерные подпространства, ит ^ X, Уп ^ Г . Выражение вида

т п

9т,п (X У) = Е ХК(У) + Е ГМ(У^/Х)

v=0 /=0

где {фм(х)} ^ и (у)^ - наборы произвольных функций из пространств X и Г, назовем

обобщенным полиномом, порожденным подпространствами ит и У . Указанные обобщенные полиномы образуют подпространство

, У) = ит ® Г+V ® X,

\ т~ п; т п "

Адрес для корреспонденции: Акобиршоев Мухиддин Отамшоевич. 734055, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Н.Карабаева, 63/3, Технологический университет Таджикистана. E-mail: [email protected]

где операции " 0' и " +" обозначают соответсвенно операции декартова произведения и прямой суммы множеств. Обозначим

€(/;С(ит,Уп))2 =т{{||/ -дя„(ЛЦ : дт,п(/) еО(ит,У„)}, (1)

£{Ш-0{ит,Уп))г =8ир{8(/;0(ит,Гп))г : / е Щ.

Величина (1) характеризует наилучшее приближение элемента / е М множеством (КИт,Уп ). а £(9Л,С(ит,¥пУ)г - отклонение множества ЭДТ от подпространства (¡(IIш,Уп) в нормированном пространстве (Z,||-|| ) .

Для центрально-симметричного множества М с Z величину

называют квазипоперечником множества М по Колмогорову [1-4].

Пусть & - линейный оператор, действующий на функцию / е М, образ которого принадлежит множеству 0(ит,Уп) . Положим

в(Ш,^)2 = вир{|/-^(/")||2 : / е },

е(М,у ))г = 1пГ{е(М,&)г : &(/) е ОД., У)}. Следуя [5], величину

<„ (М, 2) = 1пГ {в(Ш; в(ит ,Уп)\ : ия с Х,Уп с 7 } (3)

назовём линейным квазипоперечником множества М в пространстве 2 . Непосредственно из приведенных определений следуют неравенства

е(Я%0{ипУп)\ >8(Ш;С(ит,Уп))2,

¿тпп (М, 2) > йтпп (М 2).

В задачах (2) и (3) наибольший интерес представляет отыскание экстремальных подпространств и°т с X, Уи0 с 7 , для которых выполняется равенство

8(Ж,0(У1Уп))2 = е(ж,0(у1Уп))2 = <И(Ш?,2)

Далее всюду полагаем X = 7 = [0,2 л] - пространство суммируемых с квадратом 2 л -периодических функций /(х) на отрезке [0,2л], 2 = (О) .

В этой работе для некоторых центрально-симметричных множеств периодических функций M с L2 (Q) вычисляются величины

dm/t (®U2(0) = inf {е(тскияуя))^: Um,Vn cz L2[0,2k]},

d^(M,L2(Q)) = inf {e(M;G(Um,Vn(Q) : Um,Vn с L2[0,2n]}. Хорошо известно [1-3], что если

U2m-1 = SPan {(cOs , (sin Jx)m=1} , Wi = SPan {(COs Vfe , (sin № }

- подпространства тригонометрических полиномов порядка 2m-1 по переменной x и 2n-1 по переменной y , то величина наилучших приближений функции f подпространствами () равна

ЫМ^.КЛКю = {S1Ы/)|2} , (4)

lj_/|>m \l\>n J

где

c (f ) = -^7 jj f (x, y)e'<Jx+ly)dxdy 4n (e)

- коэффициенты Фурье разложения f (x, y) в виде двойного ряда Фурье

+О0 +00

/(х,у)~ТИсА/Уих+1у)- (5)

j——СО /=—СО

В частности, из (4) и (5) следует, что если f (x, y) = р( x)^( y), то

m-1 n-1

где

¿G^-iW*] = mf {||<?"Tp(g)\\ыо 2ж]: Tp(g) e

- величина наилучшего среднеквадратического приближения функции g(x) тригонометрическими полиномами G2p_x = span j(cos jx)^ ,(sin jx)^} порядка 2p-1 в пространстве L2[0,2ж]. Для произвольной функции f (x, y) e L (Q) определим смешанный модуль непрерывности равенством

^,(f;^q) = sup{|A*;,(x,y} :| u |< i,| v |< r}, (6)

где

k p fkVp^ <,f(x,y) = ,, p f(x Vy + m)

v=0 m=0

vV)

M)

- конечная разность m -го порядка с шагом u по переменной х и п -го порядка с шагом v по переменной у функции /(х, у) е £2 (О). Используя равенство Парсеваля, величину (6) можно записать в следующем виде

К р (/1,Т) ь1(О) =

= 2k+p sup j (f)\2(1 - cos juf (1 - cos Iv)p :\u\< t,\v\<rk (7)

[ j=-ш l=-ш J

В частности, для функции f (x, y) = cosmx cos ny из (7) имеем:

<p (fo; t, r\ (Q) = 2k+p (1 - cos mt)k (1 - cos nr)p.

Понимая под N множество натуральных чисел, обозначим через C(^) (Q), г, s е N - множество функций f (x, y), имеющих в квадрате Q непрерывные частные производные f(v"il\x,y) = dM+vf/8xvdyM,v<r,ju<s, а через L^'s){Q), /\s е N - множество функций

f (x, y) е C(r м 4(Q), r, s > 1, у которых частные производные f (r,)(x,y), ¡л = 0, s -1, f (vs)(x, y),

V = 0, r -1 существуют, кусочно-непрерывны, допускают перемену порядка дифференцирования и f(r,s)(x, y) е L (Q) . Легко проверить, что для произвольной функции f (x, y) е Ls)(Q) выполняется неравенство

которое является точным в том смысле, что для функции

f0(x,y) = cosmxcosny e L(^'S\Q), r,s g N

обращается в равенство. С нашей точки зрения, определенный интерес представляет изучение экстремальной характеристики

def

K,{(p\Krj) = =

2^+-?) ; G(U*m l, F2* J ))L (Q) = SUP -

{{< p (f(r,s); t,T)p(t,T)dtdr

V 0 0

где т,п,к,р<=1Я, де!+1{0}, 0 <к<ж/т, 0 < /7 <ж / п,<р^,г) - неотрицательная

суммируемая на прямоугольнике [0, И]х[0,ц] функция, не эквивалентная нулю. В принятых обозначениях имеет место следующая

Теорема 1. Пусть т,п,к,р<=1Я, 0<q<2, 0 <Ъ<л!п, 0 < 77 < 7г/п,<р^,т) -

неотрицательная измеримая суммируемая в прямоугольнике [0, И]х[0,ц] функция, не эквивалентная нулю. Тогда справедливы неравенства

к

р<ц<ж

где

А, =А, r, s, 9 k, р) =

кч/ ___\рд Л17 9

и ц

Следствие. Пусть выполняются все условия теоремы 1 и р(?,т) = д(?)ц(т), причем функции д(?) и ц(т) соответственно на отрезках [0, И] и [0, ц] являются неотрицательными и дифференцируемыми. Если при некоторых и любых / е (0, /-?) и г е (0, //) выполнены дифференциальные неравенства

(щ - 1)д(?) - Хд' (?) > 0, (яд - 1)ц(т) - тц (т) > 0,

то имеет место равенство

8ир

2т-\' 2п-1//12(е)

/)(е/ И ц

{{< р (/("); Т)д (Г )ц(т)йгйт

\1' 9

Ли ц

/1

^0 0

V 0 0

. т?

81П — 2

к9 /

пт

81П-

V 2

N-1/9

д (? )ц(т)Жёт

(8)

Существует функция /0 е ^ЧбХ для которой верхняя грань в соотношении (8) достига-

ется.

чем

Пусть Ф . (и)(_/ = 1,2) - произвольные непрерывные возрастающие при и > 0 функции, при-Ф (0) = 0 (7 = 1,2). Через ж)(ф2)<=^Ш(г'ж)(ф2;^;И,ц) обозначим множество функций

у) £ (б)' которые при любых к,р, г,^ е М, 0 < с/ <2 и произвольных /г, // е К удовлетворяют условию

h r

J i < p (f(r,;); t, —)dtd— < ф? (h)oq (r),

0 0

а через w2) =W(r,;')(Ф\2';^Р'; h,r) обозначим множество функций f (x, _y) e ,;)(0), которые при любых k,p,r,s & N, 0 < q < 2 и произвольных /7, // e R+ удовлетворяют условию

i h r

T J J < p (f(r ,;); t, —)dtdz < Ф? ФЩ (r). hr 0 0

Далее воспользуемся обозначением

(sin t = {(sin t)aq, если 0 < t <л/ 2; 1, если t >л/ 2}.

Результат следствия, в частности при g(t) = щ(т) = 1, позволяет при выполнении некоторых ограничений относительно мажорант ф (u )(j = 1,2) сформулировать следующие утверждения.

Теорема 2. Пусть при всех // е R+, k,peN, 0 <и <71, 0<q <2 функции Ф . (u)(j = l, 2) удовлетворяют условиям

л ( t "\kq " ( t "\kq

Ф? (u) J[sin - J dt <Ф* (uu)J[sin - J dt,

ил / \pq л / \pq

Ф^ (u) J [ sin dz <Ф\ (uu)j" I sin — | dt.

o

Тогда при любых m, n, k, p,r,s e N, max{r ,s } < q < 2 справедливы равенства

d2m-1,2и-l(Wk(,p;q(Фl,2); L2Q)) = d2m-1,2n-1 s)(^^1,2);L2Q)) =

,p,q V 1,2/' 2 V^// 2m-1,2n-1V k,p,q V 1,2/' 2V

л/2 л/2 V1 q f \ f

= 2-(k+p+2/q) m-r+1qn-;+1/q I J J sinkqt sinpq zdtdz

Ф1

v

m)

л n

V 00 )

Теорема 3. Пусть при всех /л е М+, k,p& N, 0 <и < ж, 0<q<2 функции Ф^ (u)(j = 1,2) удовлетворяют условиям

ил f t ^q л Í f \kq

Ф® (u) sin - J dt <Ф? (uu)||sin -J dt,

urI zjpq r[ zjpq

Ф2(u) J[sin— J dz < Ф2(uu)J|sin—j dt.

Тогда при любых m, n, k, p,r,s e N, max¡r 1, .s 1 ¡ < ¿/ < 2 справедливы равенства

¿т^х^ЧФу); 4Q))_d2 Ш)) _

Л л/2 ж/2 V17 q А

_ 2-(k+p+2/q™

л2 qnfrns I J J sin kqt sinpq zdtdz

0 0

Ф,

У

л)Ф2

m)

л

n

Поступило 10.06.2014 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Вакарчук С.Б., Шабозов М.Ш. О точных значениях квазипоперечников некоторых функциональных классов. - Укр. мат. журнал, 1996, т.48, 3, с.301-308.

2. Вакарчук С.Б., Шабозов М.Ш. Квазипоперечники и оптимизация методов смешанной аппроксимации многомерных сингулярных интегралов с ядрами типа Гильберта. - Укр. мат. журнал, 1996, т.48, 6, с.753-770.

3. Шабозов М.Ш., Акобиршоев М.О. Квазипоперечники некоторых классов дифференцируемых периодических функций двух переменных. - ДАН России, 2005, т.404, 4, с.460-464.

4. Шабозов М.Ш., Акобиршоев М.О. О точных значениях квазипоперечники некоторых классов дифференцируемых периодических функций двух переменных. - Укр. мат. журнал, 2009, т.61, 6, с.855-864.

5. Шабозов М.Ш., Акобиршоев М.О. Точные значения квазипоперечников некоторых классов дифференцируемых периодических функций двух переменных. - Analysis Mathematica, 2009, т.35, с. 61-72.

М.О.Акобиршоев

ЦИМАТИ КВАЗИЦУТР^ОИ БАЪЗЕ СИНФИ ФУНКСИЯ^ОИ ДАВРИИ

ДУТАГЙИРЁБАВДА ДАР Ь2

Донишго^и технологии Тоцикистон

Дар фазой гилбертй барои функсияхои даврии аз руи хар як тагйирёбанда чамъшаванда бахои аники квазикутрхои баъзе синфи функсияхои дифференсиронидашаванда, ки модули бе-фосилагии миёнакардашуда аз хосилаи тартиби олй бо функсияхои додашуда махдуд шудаанд, хисоб карда шудааст.

Калима^ои калиди: наздиккунии беутарин - модули бефосилаги - функсияи даврй - фазовой нор-миронидашуда - квазщутр^ои хатти ва Колмогоровы.

M.O.Akobirshoev

THE VALUE OF QUASIWIDTHS OF THE SOME CLASS OF PERIODICAL FUNCTIONS WITH TWO VARIABLES IN L2

Technological University of Tajikistan In the Hilbert space of square-integrable periodic in each variable functions found accurate estimates quasiwidths of certain classes of differentiable functions whose averaged moduli of continuity of higherorder partial derivatives are majorized by given functions.

Key words: the best approximation - modulus of continuity - periodical function - normalized space - liner and Kolmogorovs quasiwidths.