О множестве значений системы функционалов для однолистных ограниченных типично вещественных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.54

В. Г. Гордиенко, Е. В. Разумовская

О МНОЖЕСТВЕ ЗНАЧЕНИИ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛОВ ДЛЯ ОДНОЛИСТНЫХ ОГРАНИЧЕННЫХ ТИПИЧНО ВЕЩЕСТВЕННЫХ

ФУНКЦИЙ

Обозначим через Sм , М > 1, класс аналитических и однолистных в единичном круге Е = {г : |г| < 1} функций /(г) = 1 + а^г + а2г2 + ..., удовлетворяющих в Е неравенству |/(г)| < М. Экстремальные задачи о начальных коэффициентах в классе 5м и его подклассах изучались многими авторами, см., например, [1, 2]. Класс 5м представим интегралами уравнения Лёвнера - Куфарева [3, 1]. По аналогии с этим определим класс 5м (а, 7), 0 < а < 1,0 < 7 < Пуст ь С - класс Каратеодори функций р(г),р(0) = 1, аналитических в Е, Яер(г) > 0. Выделим его подкласс С (а, 7) функцп й ^(г) = (1-а)-^)+о, + Т,Р(г) £ С. Обозначим через СДа,7) класс функций

h(z, t) = 1 + hi(t)z + h2(t)z2 + ..., (1)

определенных па E х [0, log M] и удовлетворяющих условию: h(-,t) G C(a,Y) для почти всех t G [0,/ogM]; h(w, •) измерима па [0,/ogM]Vw G E. Будем говорить, что функция f (z) G SM(a, 7), если f (z) представима в виде

/ (г ) = М/ (г>дМ,Л), (2)

где /(г, £, - решение дифференциального уравнения Левнера - Куфарева

— = £ [0,%М],й £ СДа,7)

с начальным условием = г, г £ Е. Будем также говорить, что

/(г) £ 5м(а, 7) , если /(г) £ 5м(а, 7) и удовлетворяет в Е : /(г) = /(г).

В работе [4] описана верхняя граница множества значений системы (а2, а2а3) в классе 5м(а, 7). В настоящей статье исследуется нижняя граница этого множества. Рассматриваем задачу как задачу оптимального управления, введя вектор фазовых координат:^ (£) = а2(£), ж2(£) = а3(£):

^ = -и1е- = /1,Х1(0) = 0,

dt

= -2xiuie t - u2e 2i = f2, x2(0) = 0,

и поставим задачу о поиске минимума функционала: а2а3 = - J0logM [x2(t)u1(t)e-t + 2ж?(t)u1(t)e-i + x1(t)u2(t)e-2i] dt = = - Jo°g M f0dt. В задаче введем вектор управлений u1(t) = h1(t), u2(t) = h2(t), (h1,h2) E G, где G - множество взаимного изменения коэффициентов h^t) и h2(t) функции (1) в классе Cr(а,7), описанное в работе [1]. Составляя функцию Гамильтона и применяя принцип максимума Понтрягина, найдём, что оптимальное управление, доставляющее максимум функции Гамильтона при почти всех t E [0, logM] ,

G

G функции Гамильтона при различных значениях параметров 07 получаем условия выбора оптимального управления с учётом выхода на границу изменения управления u1(t). Последующее интегрирование динамической системы приводит к следующему утверждению.

Теорема. Нижняя граница множества значений системы функционалов (а2, а2аз) в классе SM (а, 7) при 0 < 7 < 1 в параметрическом виде определяется следующими условиями:

А ^ t ^ 2(1-а)(1-y)

если 0 < £ < ——M— 5 т0

а2 =£ log M, а2аз > а2 (1 + (1 -а)(1а- ^)log m) + + (1 - а) (1 - 7) (M - 1) а2, 0 < а < 1,

а2 = £ log2 м,а2аз > 1 - (1 - 7 )iog m) +

+ (1 - а) (1 - yИ 1 - Ms) а2, 2 < а < 1;

2(1-M(1-Y) < £ < (1 - а)(1 - Y),то

если м

а2 = ±2(1 - а)(1 - 7)(М - 1), а2аз > а| ± а|(М + 1)(1 - а).

Каждая точка границы этого множества значений доставляется единственной функцией, представимой в виде (2), где

1 - 7

^=(1 - „);,(;,/) ■ а + 7.

, /) = (1 + ^2^)(1 + *)Т±* + (1 - ррё)(1 - *) ) (1 + рр2^)(1 - *)Ш + (1 - рё)(1 + *),

р (/) [С - < 2(1 - а)11 - 71

Р1( ) I 2(1 - а)11 - 71- 5дп(-^), > 2(1 - а)|1 - 71

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

3, Александров И. А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций, М, :Наука, 1976, 344 с,

1, Васильев А. Ю. Взаимное изменение начальных коэффициентов однолистных функций,- Мат,заметки,-1985,-Т,38,.№1,-е,56-65,

2, Васильев А. Ю. Взаимное изменение начальных коэффициентов в подклассах однолистных функций, -Выч,методы и программирование, - Саратов, :Изд-во Сарат, ун-та,1985,-с,55-64,

4, Разумовская Е. В. Об одном коэффициентном функционале в подклассе однолистных ограниченных «типично» вещественных функций // Сб. науч. тр. Механика, Математика, Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 2009, С, 52-54,

УДК 517.984

О. Ю. Дмитриев

РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ШЕСТОГО ПОРЯДКА

На отрезке [0,1] рассмотрим краевую задачу

У(6) - Ау = 0, (1)

ВД = агу(г-1)(0) + у (г-1)(1) = 0, г = 1,6, (2)

где а — константы и А - спектральный параметр. Эта задача порождается соответствующим дифференциальным оператором шестого порядка Ь, заданным дифференциальным выражением у(6) и краевыми условиями (2).

В данной статье продолжается изучение условий разложения произвольной функции в ряд по собственным функциям линейного дифференциального оператора п-го порядка с нерегулярными краевыми условиями. Ранее в литературе изучались случаи распадающихся краевых условий [1] или случаи нечетных значениий п [2, 3].