Допустимые исходы для веерных структур коалиций Текст научной статьи по специальности «Математика»

(ui,u2) E G. Из уравнения Лёвнера - Куфарева получаем динамическую систему [2] и рассматриваем задачу о минимизации функционала:

log м

а^аз = - J [x2(t)u1(t)e-t + 2x2(t)u1(t)e-t + x1(t)u2(t)e-2t] dt. 0

Составляя функцию Гамильтона и применяя принцип максимума Понт-рягина, имеем, что оптимальное управление, доставляющее максимум функции Гамильтона при почти Bcext E [0, log M], принадлежит границе

GG при различных значениях параметров а и 7, получаем условия выбора оптимального управления с учётом выхода на границу изменения управления ui(t). Учитывая, что t < logM и подставляя ui(t) и u2(t) в уравнения динамической системы, получаем утверждения теоремы. Справед-

а=0

при а ^ 0.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Александров И. А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций, М,: Наука, 1976, 344 с,

2, Васильев А.Ю. Взаимное изменение начальных коэффициентов однолистных функций // Мат, заметки, 1985, Т. 38, JV2 1, С, 56-65,

3, Васильев А.Ю. Взаимное изменение начальных коэффициентов в подклассах однолистных функций // Вычислительные методы и программирование, Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 1985, С, 55-64,

УДК 519.83

В.В. Розен

ДОПУСТИМЫЕ ИСХОДЫ ДЛЯ ВЕЕРНЫХ СТРУКТУР

КОАЛИЦИЙ

1. Рассматриваются игры с квазиупорядоченными исходами вида

G = ((Xi)ie/,A, (ыг)ге/,F), (1)

где Xi — множество стратегий игрока i Е I, I = {1,... ,n} — множество игроков, A — множество исходов, — отношение квазипорядка на A, выражающее предпочтения игрока i, F : П Xi ^ A — функция реализации.

iEl

A, Xi (i E I)

G

Б С I. Множество стратегий коалиции Б определяется как Хя = П X«,

¡еЯ

а отношение предпочтения коалиции Б задаётся в виде ¡я = Р|

¡еЯ

Определение. Стратегия хя е ХЯ называется возражением, коалиции Б на исход а е А, если при любой стратегии дополнительной коалиции удя е П X« выполнено Е(хя,уя) > а.

¡е1 \Я

Исход а называется доп^стгшъш для коалиции Б, если у неё не существует возражений на этот исход.

Исход а называется допустимым для семейства коалиции К С 21 (короче — К-допустимым) 1 если он допустйм для всех коалиций этого семейства.

В статье найдены условия, накладываемые как на компоненты игры О вида (1), так и па структуру коалиций К, обеспечивающие существование в игре О К-допустимых исходов. Статья является продолжением исследований, начатых в [11.

2. Будем говорить, что семейство коалиций K образует веерную структуру, если любые две коалиции из K либо не пересекаются, либо одна из них содержится в другой.

Основная теорема. Пусть в игре G все квазиу-порядоченные множества (A,u{)(i € I) удовлетворяют условию обрыва возрастающих цепей (ОВЦ). Тогда

K

K

Доказательство разбивается на ряд лемм.

Лемма 1. Из условия, ОВЦ для всех (A,u{)(i € I) следует условие ОВЦ для любого квазиупорядоченного множества (A,uS), где S С A.

Действительно, предположим, что существует бесконечно возрастающая последовательность

шS шS шS шs

öi < • • • < ak < ak+i < ...

us

Для каждой пары вида ak < ak+1 найдётся индекс ik = 1,... ,m, где

m = |Sпри котором ak < ak+1. Получаем бесконечную последовательность

ai < a2 < ...ak < ak+i < ... (2)

Так как индексы i1,... ,ik,... принимают лишь конечное число значений, хотя бы один из них (например ip) встречается в последовательности (2) бесконечное число раз. В итоге получаем бесконечно возрастаю-

щую последоватеность по отношению <, что противоречит условию ОВЦ в квазиупорядоченном множестве ).

Для формулировки следующего результата введём Определение. Пусть К — семейство коалиций. Назовём коалицию Б Е К существенной, если существует такой исход а Е А, который до-пустйм для всех коалиций из К, строго содержащихся в Б, но не допустйм для коалиции Б. В противном случае коалиция Б называется несущественной.

Лемма 2. Исход, допустимый для всех существенных коалиций,

КК Доказательство. Определим по индукции высоту ^(Б) коалиций Б Е К условием:

) = О, ее ли Б является минимальной в К (по включению); МБ) = тах Н(Т) + 1.

ТСБ, ТеК

аК аК

чим через Бо принадлежа щую К коалицию наименьшей высоты, для ко-а

ция Бо несущественная. Так как условие Т С Б влечёт Н(Т) < ), то для всех коалиций Т С Бо, где Т Е К, исход а является допустимым; получаем, что коалиция Бо является существенной, что ведёт к противоречию.

К К

щественные коалиции. Для произвольной коалиции Б Е К обозначим через Кб множество тех коал и ций из К, которые строго содержатся в Б.

Пусть О (Кб) — множество исходов, допустимых для всех коалиций из Кб а Д(Б) — множество исходов, недопустимых для коалиции Б. Положим Д(Б) = ^(Кб)П^(Б); из определения существенной коалиции следует, что Д(Б) = 0. В силу леммы 1 непустое множество Д(Б) имеет максимальной элемент аБ Е Д(Б) относительно квазипорядка^Б- Так как аб Е Д(Б), то существует возражение хб коалицни Б на исход аБ- Пусть К * — множество всех максимальных по включени ю коалиций из К. Для каждой коалиции Б Е К * зафиксирует возражение хб коалиции Б на исход аБ- В силу условия веер ности, масимальные коалиции из К * попарно не пересекаются, поэтому существует такая стратегия хб* коалиции

Б* = и Б, для которой её проекция па Б совпадает с хб при любой БЕК *

Б Е К*. Ввиду этого при каждой стратегии Удб* дополнительной коалиции I \Б * для Б Е К * выполнено

Е(хя*,У1 \я*) > ая. (3)

Покажем, что всякий исход вида а* = Е(хя* ,У1\я*) является допустимым

К

мальной коалиции Б е К*. Убедимся, что а* допустим для любой коалиции Т е Кя. Действительно, по предположению ая е А(Б) С О(Кя), т.е.

ая допустим для коалиции Т; так как а* > ая и шя С ¡у, то а* > ая7 следовательно, исход а* тем более допустим для коалиции Т. Показали, что а* е О (Кя) для Б е К*. Предположим, что а* недопустим для коалиции Б. Тогда а* е О (Б), значи т, а* е О(Кя ) Р| О (Б) = А(Б), что вместе с условием (3) приводит к противоречию со свойством масимальности эле-ая А(Б) а*

Б е К*

КК

является максимальной, либо строго содержится в некоторой максималь-

а*

К

Отметим ряд следствий доказанной теоремы.

О

которой квазиупорядоченные множества (А,ш«) (г е I) удовлетворяют условиям ОВЦ. Тогда

К

К

КК

с) существует исход, обладающий свойствами индивидуальной и коллективной рациональности (т.е. допустимый для каждого игрока г е I и коалиции I всех игроков).

О

ОВЦ, существует исход, допустимый для всех коалиций.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Розен В. В. Кооперативные игры е квазиуиорядочениыми исходами // Кибернетика. 1988. № 6. С. 77-82.