Линейные функционалы в классе ограниченных однолистных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 7, 2000

УДК 517.54

ЛИНЕИНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ В КЛАССЕ ОГРАНИЧЕННЫХ ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ

Е. В. Григорьева

В статье рассмотрена задача об оценке линейных функционалов некоторого вида в классе б'(М) голоморфных однолистных в круге функций f(z) = г + a2Z2 + ..., |/(^)| < М, |г| <

1. Найдены условия, при которых экстремальной для оценки функционала при М, близких к 1, является функция Пика Рм е 5(М).

Обозначим через в(М), М > 1, класс голоморфных и однолистных в единичном круге В — {г:\г\ < 1} функций

}{г) =г + а2г2 + ..., \г\ < 1, (1)

таких, что |/(г)| < М.

Важную роль в классе Б(М) играют так называемые функции Пика Рм(%), задаваемые формулой

Рм(г) = 2z

{1~г)2+Ьг+{1~г)\1{1~г)2+^г

-1

Ы < 1,

которые отображают единичный круг В на круг Вм — {м- ІН < М} с разрезом вдоль отрезка [—М, —М(2М — 1 — у/М2 — М)\.

Если М —> оо, то класс Б(М) сводится к известному классу *5, а функция Пика — к функции Кебе К (г) = г/(1 — г)2, которая является экстремальной во многих задачах, в частности, в задаче об оценке КІ, /0) Є 5, га = 2,3,...

Работа выполнена при частичной поддержке грантом Российского фонда фундаментальных исследований, проект 98-01-00842.

© Е. В. Григорьева, 2000

В отличие от класса 5, функция Пика не является экстремальной

в задаче о тах \ап\ в классе 5(М), например, для п = 3 и М Е (1, е).

f(z)eS

Класс Б(М) инвариантен относительно вращения, т. е. если /(г) Е 5(М), то для любого а Е М функция е~га/(егаг) также принадлежит классу Б(М). Следовательно, например, оценка \ап\ в классе Б(М) совпадает с оценкой Кеап. Заметим, что функционал J(f) = Кеап является линейным.

В данной статье рассмотрена задача об оценке линейного функционала некоторого вида в классе Б(М). Точнее, найдены условия, при которых экстремальной для оценки линейного функционала в классе Б(М) при М, близких к 1, является функция Пика.

Линейный непрерывный функционал Ь в классе голоморфных в В функций /(г) с разложением (1) задается в общем виде формулой

оо

= (2)

71 = 2

где последовательность А2,..., Ап,..., определяющая функционал Ь, обладает свойствами, обеспечивающими сходимость ряда в (2).

В данной статье ограничимся рассмотрением линейных непрерывных функционалов, определяемых конечным набором вещественных параметров А2,..., Ап, т. е. функционалов вида

п

нл = Е \к&к • (3)

к=2

Положим А = (А2,..., Ап). Не ограничивая общности, можно считать, что Ап = 1. Будет доказана следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1. Пусть тригонометрический многочлен

п

С}(и) = -2 соя(к - 1 )и, (2 (тг) < О,

к=2

достигает максимума на [0, 27г] только в точке и = тт. Тогда существует М = М(Х) > 1 такое, что для всех М Е (1,М(А)] максимум

КеЬ(/) в классе Б(М) достигается только функцией Пика Рм{%)-

Для доказательства теоремы будем применять уравнение Левне-ра в классе Б(М) и результаты теории оптимального управления,

развитые Д. В. Прохоровым для решения экстремальных задач комплексного анализа.

Сведения и теоремы теории Левнера и оптимального управления

Сформулируем теорему Левнера, доказательство которой можно найти, например, в [1].

ТЕОРЕМА А. Пусть w = w(z,t) является решением обыкновенного дифференциального уравнения Левнера

dw elu + w

Л=~тё^,' = ' а °, (4)

с кусочно-непрерывной функцией и = u(t).

Тогда функция

w(z, t) = e~t(z + d2(t)z2 + ... ), z Е D, t> 0, (5)

является голоморфной и однолистной по z Е D при каждом фиксированном t > 0. Кроме того, функции

f(z) = Mw(z, log М) Е S(M) (6)

образуют всюду плотный подкласс класса S(M).

Замечание 1. В случае u(t) = const функция (6) является одним из вращений функции Пика. В частности, если u(t) = 7г, то f(z) = Pm(z).

Функция u — u(t) в уравнении Левнера (4) называется управлением.

Обозначим через

FnM = {a=(a2,...,0: f(z) G S(M)}

множество значений системы коэффициентов в классе S(M).

Параметрическое представление для коэффициентов, полученное из уравнения Левнера (4), позволяет применять методы классического вариационного исчисления и принцип максимума Понтрягина при решении экстремальных задач в классе S(M).

Действительно, пусть а&(£) задаются уравнением (5), а&(£) = Х2к-1^)~\~ &(£)? к = 2,...,п, и а(£) = (жз(^),...,Ж2п(£))- Подставляя (5) в (4) и приравнивая коэффициенты в разложении в ряд Тейлора в обеих частях в (4), получим следующую систему дифференциальных уравнений для ж3(£),... ,ж2п(£):

Явные выражения для правых частей дк в (7) приведены в [2]. В частности,

Заметим, что из явных выражений для дк следуют важные соотношения в точке t — 0, а именно

<72fc-i(0,0,и) — — 2cos(&—l)u, g2fc(0,0,u) = 2sin(fc—l)u, к > 2. (8)

Область значений системы коэффициентов оказывается множеством достижимости управляемой системы (7). Иначе говоря, это область всевозможных точек a(logM), которые могут быть получены как решения системы (7) с произвольными кусочно-непрерывными управлениями и — u(t). Для того, чтобы найти , достаточно описать его границу dV^f. Каждая граничная точка a Е dVnf4” представима как решение системы (7) с управлением u(t), удовлетворяющим соответствующим необходимым условиям экстремума. В [2] было доказано, что для описания всех граничных функций f(z) Е S(M), соответствующих граничным точкам множества Vj^, следует рассмотреть функцию Гамильтона

где Ф = Ф(£) = (Ф3(£), . . . , Ф2п(^)) — ненулевой сопряженный вектор, удовлетворяющий сопряженной гамильтоновой системе

— =gk(t,a,u), Xfc(O) = 0, к = 3,..., 2п,

(7)

x2fe-i(logM) +ix2k(logM) = ак, к = 2 ,...,п.

#з(£, a, u) = — 2е *cosu, ^4(^,a,u) = 2e *sinu.

2n

(9)

и воспользоваться необходимым условием экстремума, выраженным в форме принципа максимума.

ТЕОРЕМА Б [3]. Пусть a(t) является решением системы (7) с кусочнонепрерывным управлением u*(t). Если a = a(logM) — это граничная точка множества , в которой реализуется ^ max ReL(/), где

L(f) задается формулой (3), то существует решение Ф = Ф(£) системы (10) с тем же управлением u*(t) такое, что

таxH(t, a(t), Ф(t),u(t)) = H(t, a(t), Ф(t),u*(t)) (11)

u(t)

для всех t E [0, log M], и выполняются условия трансверсальности

Ф(к^М) = А. (12)

Условие (11) называется принципом максимума Понтрягина. Очевидно, что u*(t) находится как корень уравнения

Я„(£,а,Ф,гО = 0. (13)

Обозначим £ = (£з,... ,^2п)- Функция Гамильтона при t = 0 примет вид

п

#(0,0,£,м) = -2^2(&k-i cos(k - 1 )u - £2fc sin(fc - l)u).

k=2

Изменяя начальные данные £ в (10) и решая систему (7), (10) с управлением и, удовлетворяющим принципу максимума Понтрягина, получим все граничные точки a(logM) множества .

Поскольку сопряженная система (10) линейна по Ф, вектор Ф(t) линейно зависит от начальных данных £ в (10). Максимизирующее свойство управления и, удовлетворяющего принципу максимума Понтрягина, сохраняется, если Ф умножается на положительный множитель. Поэтому начальный вектор Ф(0) = £ можно нормировать в

какой-либо удобной форме, Например, ПОЛОЖИВ |Ф2п-1 + ^2п\ — 1

при предположении, ЧТО |Ф2п —1 + ^2п\ / 0.

Приведем еще одну, полезную в дальнейшем, теорему.

Теорема В [2]. Пусть a(t) является решением системы (7) с управлением u*(t) и a = a (log М) — граничная точка множества . Если

(О, 0, £, и) достигает своего максимума по и на [0, 2тг) только в одной точке, в которой Huu(О, О, £, и) / О, то u*(t) непрерывна на [0, logM].

Здесь подразумевается, что £ соответствует a(t) как начальное данное в сопряженной системе (10) по теореме Б, т. е. a = a(t, £), Ф = Ф (t,0-

Заметим, что в условиях теоремы В u*(t) — непрерывное решение уравнения (13). Поскольку Н аналитична по всем переменным, Нии / 0, то непрерывный корень и = u(t,a, Ф) уравнения (13) оказывается аналитической функцией. Обозначим u(t, £) = u(t, a(t, £), Ф(£, £)).

Обратим внимание на то, что функции $з,... ,$2п в правой части (7) не зависят от Ж2п-ъ х2п- Следовательно,

d^2n-l = <*Ф2п = dt dt

и можно принять, что ^2n-i+^2n = const. В частности, принимая во внимание условие трансверсальности (12), разумно положить Ф2П-1 + Ф 2n = 1.

Вспомогательные леммы

Лемма 1. В условиях теоремы 1 управление u(t) — 1г удовлетворяет принципу максимума Понтрягина и условиям трансверсальности, если М близко к 1.

Доказательство. Управление u(t) = тг в уравнении Левнера (4) соответствует функции Рм ■) имеющей вещественные коэффициенты, при всех М > 1. Так как Х2k(t) = 0, к = 2,...,п, в (7), то и g2k(t,a,w) = 0.

Из явных формул для правой части системы (10) следует, что в этом случае и

-|^=0, к = 2,... ,п.

ОХ2к

Поэтому начальные условия £2 к = 0,& = 2,...,п, сохраняются на всей траектории (a(t), Ф(£)), а именно Ф2к — 0, к = 2,..., п, 0 < t < log М.

Если М близко к 1, то в силу ограниченности правой части в системе (10) значения Ф(к^М) близки к значениям Ф(0) = £. Принимая во внимание, что Ф(к^М) = А, заключаем, что £2*5-1 близки к А&, к = 2,..., п.

Таким образом, H(t,a, Ф,и) как функция переменного и близка к Q(u). Из условий леммы следует, что Hu(t, а, Ф, тт) = 0 и H(t, а, Ф, тт) принимает максимальное значение на [0, 27г] только в точке и = тт.

Для того чтобы удовлетворить условиям трансверсальности, достаточно найти решение Ф (t) задачи Коши для системы (10) с начальными данными (12) в точке t = log М. Функция a(t) в (10) является решением системы (7) с u(t) = тт. Значение Ф(0) = £ приведет теперь к такому выбору начальных данных в (10) для t — 0, который обеспечивает выполнение условий трансверсальности (12). Это доказывает лемму 1. □

Для доказательства теоремы 1 нам потребуется ограниченность частных производных функции u(t,£) в окрестности точки (£,£) = (0, Л). Убедимся в этом поэтапно при помощи следующих лемм.

JIEMMA 2. Пусть и = u(t,£) И H(t,a, Ф,^) — функция Гамильтона. Тогда в окрестности точки £ = А справедливо неравенство

Доказательство. Обозначим

r(0 =Huu(0,0,t,u(0,O).

Заметим, что i7(0,0, A, u) = Q(u). Из принципа максимума и условия теоремы 1 следует, что го = г (А) < 0. Дифференцируя г(£), получим

г'(£) = Нииу(0,0,£,и) + Huuu(0,0,£,u)u(. (14)

С другой стороны, после дифференцирования (13) по £ при t = 0

получим

Я„ф(0,0,£,«) + нии(0,0,£,и)щ = 0, откуда выводим формулу для и£

Я«ф(0,0,£,'м)

=----------по—• (51

Из формул (14), (15) следует

г (t\ тт /п п t \ (0, 0, £, и)Ниии[0, 0, £, и) /1«\

Г (£) = яииф(0,0,£,и)---------------—------------. (16)

Из явных формул для функции Гамильтона Н видно, что Ниии (0,0, £, и), Ни\^ (0,0, £, и), Нии\^ (0,0, £, и)

являются ограниченными функциями от £ в окрестности точки Л. Следовательно, производная г'(£) по произвольному направлению е, как следует из (16), удовлетворяет неравенству

с некоторыми положительными числами А\ и Бі.

Пусть I есть минимальное число такое, что г(£) = го/2 для некоторого £, ||£ — Л|| = I. Другими словами, |г(£)| > |го/2| = 6, если ||£ — А|| < I. Этот вектор £ определяет некоторое направление е = £ — Л. Интегрируя дифференциальное неравенство (17) от Л до £ в направлении е, получим

что дает нижнюю границу для I и заканчивает доказательство леммы 2. □

Лемма 3. Пусть |#ии(0,0,£,и(0,£))| > 6 > 0 для £ таких, что ||£ — А|| < I. Тогда существует М > 1 такое, что неравенство

(17)

выполняется для всех t Є [0, log М]. Доказательство. Обозначим

G(t,0 = Huu(t,a(t,£),V(t,£),u(t,£)).

Дифференцируя G(t, £) по t, получим

(tj 0 --- HUUt (^5 ^5 ^5 ^0 “Ь Huua (t, Cfc, Ф, u) +

гіФ du

(£, a, Ф, u) ^ + Huuu(t, ct, Ф, u) .

С другой стороны, если продифференцируем (13) по £, то получим формулу

, . с1а т

Яи<(£, а, Ф,м) + #„„(£, а, Ф, и) — + Я„Ф(£,а, Ф,м)-^- +

Н-ии (%•> О*] — 0;

и /7 ^ у

из которой выведем выражение ДЛЯ

тт / т \ тт / т \ тт / т \

НиЪ (£, (2, Ф, и) + Ниа (£, (2, Ф, и) ~г^ + (^, А, Ф, и) ^

(М/ Нии (£, (2, Ф, I/)

(19)

Формулы (18) и (19) приводят к дифференциальному уравнению для

о(*,0

б1(1 6?ф

(^5 £) Нии1 (^, (2, Ф, и) + Нииа (^, (2, Ф, и) (^5 ^5 Ф? ^) “^

тт / \ тт / -Г \^а тт / \

Ни± (^, (2, Ф, и) + Ниа (£, (2, Ф, и) —— + (^5 ^5 Ф? ^0 7,

-Ниии{Ь, а, Ф, и)--------------------------- ----------------—,

(20)

где ^ и даются выражениями (7) и (10). Из явных выражений для функции Гамильтона Н видно, что

Ниии (£, (2, Ф, и) , Ни1 (£, (2, Ф, и) , уиас1Нии1 (£, (2, Ф, и) , Ниа (£, (2, Ф, и), ^ииа^^^Ф^)) ^иф(^ А, Ф, ^), (^, (2, Ф, и) , и ^

ограничены по £ в окрестности точки Л и по £ в окрестности £ = 0. Поэтому из (20) следует дифференциальное неравенство

ед,'^кшГВ2 (21>

С некоторыми положительными числами ^2 и Б2.

Пусть М > 1 есть минимальное число такое, что С(к^М, £) =

й/2 для некоторого £ из окрестности точки Л. Другими словами,

|£*(^01 ^ если ||£ — А|| < I и 0 < К 1о6М. Интегрируя дифференциальное неравенство (21) от 0 до к^М с фиксированным £,

определенным выше, и принимал во внимание лемму 2, получим

что дает нижнюю оценку для М и доказывает лемму 3. □

Лемма 4. Пусть u = u(t, £). Тогда частные производные щ и ограничены для £ из окрестности точки А и t, близких к 0.

Доказательство. Производная щ вычисляется по формуле (19), где Hut? Hua, Hux&, at, Ф* ограничены и \HUU\ > й/2. Это доказывает первую часть леммы 4.

Чтобы вычислить и£, продифференцируем равенство (13) по £ и получим

Производные и Ф^ вычислим следующим образом. Дифференцирование системы (7), (10) по £ приведет к системе дифференциальных уравнений

Начальные значения 0 и 1 в (23) представляют собой нулевую и единичную матрицы соответственно. Правые части Ь и N в (23) линейны по отношению к а^, Ф^, и£. Подставляя из (22) в (23), решаем задачу Коши для полученной системы дифференциальных уравнений. Решение (&£(£,£), Ф^(£, £)) задачи Коши ограничено по £ из окрестности точки А и £, близких к 0. Следовательно, производная и£ из (22) также ограничена, что доказывает лемму 4. □

2Л2

Hua{t, а, Ф, и)а£ + Hu^{t, а, Ф, и)Ф^ + #„„(£, а, Ф, u)u£ = 0,

что приводит к выражению для и^\

Щ = -

Hua(t, а, Ф, п)а^ + ЯцФ(£, а, Ф, п)Ф^ Huu(t, ct, Ф, и)

(22)

(23)

Доказательство теоремы 1

Покажем, что существует единственная точка из окрестности Л, для которой решение системы (7), (10) с начальным условием Ф(0) = удовлетворяет принципу максимума (11) и условиям трансверсальности (12). Поскольку точка соответствующая Рм, также генерирует решение системы (7), (10), удовлетворяющее согласно лемме 1 необходимым условиям экстремума, то заключаем, что

г = е-

Рассмотрим отображение

Р-.^У = Ф(1о8М,0, ||£-А||</,

где Ф(£, £)— это решение (10) с и — и(£, £) и а(£, £)— решение системы (7). Функция у = Р(£) отображает начальные данные £ на решение задачи Коши (10). Следовательно, Р является аналитической функцией и ее производная Р'(£) представляет собой якобиеву матрицу, состоящую из элементов }Pjjs(l0gM,€)

Фзк(1одМ,£) = 0 ^ 1,к = 3,...,2п-2,2п.

Координату ^2п-1 можем считать вырожденной ввиду оговоренной выше ВОЗМОЖНОСТИ нормирования вектора £ условием %2п-1 — 1-Тем самым координата %2п-1 фиксирована и не меняется при отображении у = ^(£), которое можно записать теперь в виде у =

Р(£,3, • • • ч £,2п — 2 ч £,2п) •

Пусть А(£, £) — якобиева матрица (2п — 3) х (2п — 3), состоящая из элементов

(7 Я

’ ,?, & = 3,..., 2п — 2, 2п.

Очевидно, что Л(0,£) = 1 (единичная матрица). В силу непрерывности матрица A(\ogM,£) = ^(0 близка к единичной при

М. близких к 1. Значит, detA(\ogM,X) > 0 при М. близких к 1. Это влечет обратимость матрицы Р'(Х) и существование обратного отображения ^_1(£). Иначе говоря, отображение у = ^(£) взаимно однозначно отображает окрестность 11£(Х) = {£ : ||£ — А|| < е} точки А на окрестность точки у0 = ^(А). Следовательно, существует

единственная точка Е U£(А), для которой выполняются принцип максимума Понтрягина (11) и условия трансверсальности (12), которые можно иначе записать в виде

F(C) = А.

По лемме 1 £* = Теорема 1 доказана. □

Resume

We find the sufficient conditions which provide that the Pick functions deliver maximum for a linear functional in the class of holomorphic univalent functions close to the identity.

Литература

[1] Александров И. А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. М.: Наука, 1976.

[2] Prokhorov D. V. Reachable set methods in extremal problems for univalent functions. Саратов: Изд-во Саратовского ГУ, 1993.

[3] Понтрягин JI. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969.

Саратовский государственный университет, механико-математический факультет, кафедра математического анализа,

410026, Саратов, ул. Астраханская, 83