CC BY
12
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Орел A.A. Моделирование бизнес-процессов с помощью сетей Петри // Математика, Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 2005, Вып. 7, С, 89-93,
2, Марка Д.А., МакГоуэн К. Методология структурного анализа и проектирования, М,: МетаТехнология, 1993,
3, Starego D. Modelowanie systemu funkcjonowania biblioteki za pomocg, sieci Petriego, Referat wygloszony na IV srodowiskowej konfereneji matematycznej Rzeszöw-Czudec, listopad, 1997, http://danstar.republika.pl/publik/modelow.html
УДК 517.54
Е.В. Разумовская, А.В. Володченко
ОБ ОДНОМ КОЭФФИЦИЕНТНОМ ФУНКЦИОНАЛЕ НА КЛАССАХ ОДНОЛИСТНЫХ ОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Пусть С - класс функций Каратеодори p(z) = 1 + p1z + p2z2 + .... Обозначим через С (a, Y), 0 < а<1, 0< y < 1/(1 — а) подкласс всех фу нкций С h(z) = 1 + h1z + h2z2 + ..., таких, что h(z) = (1—О-(7z)+a + 7,p(z) G С.
Зафиксируем M, 1 < M < ж. Пусть Ct(a, 7) - класс всех функций h(z, t), определенных на множестве E х [0, log M], удовлетворяющих условию h(.,t) G С (a, y ) для ^отти в сех t G [0, log M}; h(w,.) измерима на [0, log M], w G E = {z : |z| < 1} Будем говорить, если f (z) G SM(a,7), то она может быть представлена в виде f (z) = Mf (z, log M,h),h G СДа, 7) , где f(z, t, h)
dw
— = —wh(w,t),t G [0, logM], w|t=0 = z, z G E.
dt
Такие классы функций при некоторых параметрах а, 7, M совпадают с классами функций, введенными В.Я. Гутлянским [1]. В таких классах рассмотрим задачу о нахождении множества значений системы функционалов I1 (f) = (Re а,2, Im a2, Re а2а3). Похожие функционалы в данных классах исследовались в работах А.Ю. Васильева [2, 3]. Основным результатам предпошлем лемму.
Лемма. Пусть p (z) G С. Тогда множество значений (Rep1, Imp2, Rep2) задается условиями |p1| < 2,
2 2 maxRep2 (p1) = 2 — (Imp1) ,minRep2 (p1) = —2 + (Rep1) ,
pGC pGC
(Repi - Im pi) (Repi + Im pi) maximp2 (pi) = 2--, minimp2 (pi) =--2.
peC 2 peC 2
Точки ± max (±Rep2 (pi)) и ± max(±Imp2 (pi)) доставляются двупара-метрическим семейством функций
p± (z) =
(1 + | + z (1 + |)) Jjto + 1 - | + z (| - 1)
(1 + f - z
(1 + f)) Hi + 1 - Ц - z (i -1)'
(1)
Следствие. Пусть к (г) Е С (а, 7). Тогда множество значений (Ие к1,1т к1, Ие к2,1т к2) задается условиями:
max Re h2 (h1) =
heC (a,j)
2(1 - a)(1 - y) - (fflo)^ - iimf, 0 < y < 1;
2(1 - a)(Y - 1) - (imhs-l) - ^, 1 < Y < I-
(Re hi )2
a
max Im h2(h1) =
heC (a,Y)
2(1 - y )(1 - a) - - тг5»-, о < y < 1;
2 (Y - 1)(1 - a) - iRe-)^ + ^hS. 1 < Y < I-
a
min Re h2 (h1) =
heC (a,Y)
-2(1 - a) (1 - Y) + + ^, 0 < Y < 1;
-2(1 - a) (y - 1) + (^-j + ^, 1 < Y < i-a;
min Im h2(h1) =
heC (a,Y)
-2(1 - Y )(1 - a) + iRh+maf - , 0 < Y < 1;
-2(y - 1)(1 - a) + iRe™)2 + , 1 < Y < 1-a.
Точки ± max (±Re h2 (h^)) и ± max (±Im h2 (h1)) доставляются двупара-метрическим семейством функций
(z) = Тл-^^^-+ Y- (2)
w (1 - a) p± (z) + a w
Рассмотрим поставленную задачу как задачу оптимального управления. Пусть 0 < y < 1. Будем решать задачу об экстремуме Re a2a3 при фиксированном а2. Пусть вектор фазовых координат (x1 (t) , x2 (t), x3 (t), x4 (t)) = (Re a2 (t), Im a2 (t), Re a3 (t), Im a3 (t)) и вектор управлений
(М1 (¿) ,и2 (¿) ,и3 (¿) ,и4 (£)) = (Ие (¿) , 1т ^ (¿), Ие (¿) , 1т (£)). Обозначим через С множество значений (Ие 1т Ие 1т ^2), описанное в следствии. Равенства для ж1,ж2,ж3,ж4 можно записать в виде дифференциальных уравнений связи с начальными условиями
= -и (*) е- = /1, Х1 (0) = 0, (3)
— Хо
= -и2 (*) е- = /2, Х2 (0) = 0, (4)
dt
dx
= — 2u1 (t) e—tX1 (t) + 2м2Ж2б—t — из (t) e—2t = fa, x (0) = 0; (5)
dt
dx4
—4 = —2u1 (t) x2 (t) e—t — 2u2 (t) x1 (t) e—t — u4 (t) e—2t, x4 (0) = 0. (6) dt
Re а2аз
нений (3) - (6) и условий x1 (logM) = Rea2,x2 (logM) = Im a2,x3 (logM) = Re a3,x4 (log M) = Im a3. Компактность класса SM (a, 7) , на котором рассматривается экстремальная задача, гарантирует существование экстремальной функции, что в свою очередь, обеспечивает существования оптимального управления U Последнее удовлетворяет принципу максимума Л.С.Понтрягина, то есть при почти всех t G [0, log M] доставляет абсолютный максимум по и функции Гамильтона
H (t,u,x,^) = ^0fo + Vf + ^2f2 + ^3f3 + Vf (7)
где V = (^1,^2,V3,V4) является решением сопряженной гамильтоновой системы. Без ограничения общности будем считать = +1 в задаче Re a2a3 ^ max. Тогда после интегрирования
(t) = — V0X3 — 2Х1С3 — 2X2C4 + С1, ^2 (t) = V0X4 (t) + 2X2C3 — 2X1C4 + C2,
V3 = — V0 X1 + C3, V4 = V0X2 + C4.
Функция Гамильтона H = —u1c1e—t — u2c2e—t — u3c3e—2t — u4c4e—2t. Так как = —Cje—t,i = 1, 2 f~ = —Cje—2t,j = 3,4, не обращаются в нуль, то максимальное значение функции Гамильтона достигается на границе множества G. Введем обозначения: u3 = max Re h2 (h1), u4 = maxIm h2 (h1).
Рассмотрим H* = H (u^u^u*, u*). Максимум функции H* по щ, u2 та множестве G : {|h1| < 2(1 - a) |1 - yto есть (G = jw? + < 4 (1 - a)2 (1 - y)2| доставляет управление
о = -t (1 - a) (1 - y) (c2C4 (1 + 2a) + C1C4 + 2 (1 - a) C1C3) t = f t U = 6 (4a ((1 - a) с? - (1 + a) c|) + 2C4C3) 6 = 16 ,
0 = (1 - a) (1 - y) (C1C4 (1 + 2a) + C2C4 + 2ac?c3) t = L t U = (4a ((1 - a) с? - (1 + a) с?) + 2C4C3) 6 = 26
при выборе начальных условий q из области: {с3 < 0,с4 < 4a(1+aa + с3}-Окончательный итог формулируется в следующей теореме.
Теорема. Для множества значений системы функционалов I1 (f) = (Re a2, Im a2, Re a2a3) в классе SM (a,Y) справедливы следующие оценки:
Пусть 0 < y < 1,L + < 4(1"а^21"7)^; тогда a? = -L1 log M -iL? log M,
Re a?a3 < -L1 (L? - L?) log3 M-
- L1 (1 - a) (1 - Y) (M - 1) log M - ^^2 L1 log2 M+
+ 2L1L2 log3 M + (1 - a) (1 - y) (M - ^ L? log M+
(L1 - L2)2 - 4aL1L^ 2»
+ ^-V7i-Г~ L2 log M.
2(1 - a)(1 - y)
Пусть 1 < y < ,L1 + L2 < )2, mog(?a a? = -L1 log M -
iL? log M, "
Re a?a3 > -L1 (Lf - L?) log3 M-
- L1 (1 - a) (1 - Y) (-12 - 1) log M - f_+a(;(- ^2 L1 log2 M+
+ 2L1L2 log3 M + (1 - a) (1 - y) (M - ^ L? log M+
(L1 - L2)2 - 4aL1L^ 2„
+ -V7i-Г" L2 log M.
2(1 - a)(1 - y)
При каждом фиксированном значении (L1, L2) экстремальную точку доставляет единственная функция, представимая в виде (2), с использованием
функции (1),ГДер1 = ^ . '
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Гутлянский В. Я. О некоторых классах однолистных аналитических функций // Теория функций и отображений, Киев: Наук, думка, 1979, Т. 194, С, 85-87,
2, Васильев А.Ю. Взаимное изменение начальных коэффициентов в подклассах однолистных функций // Выч, методы и программирование, Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 1985. С. 55-64.
3, Васильев А.Ю. Взаимное изменение начальных коэффициентов однолистных функций // Мат. заметки. 1985. Т. 38, №1. С. 56-65.
УДК 519.4, 519.8
В.В. Розен
РЕШЕТКА МАЖОРАНТНО СТАБИЛЬНЫХ ПОДМНОЖЕСТВ УПОРЯДОЧЕННОГО МНОЖЕСТВА
1. Напомним, что подмножество упорядоченного множества называется мажорантно стабильным, если вместе с каждым элементом оно содержит и больший его элемент. Пусть < А, и > - упорядоченное множество. Отображение, которое каждому подмножеству В С А ставит в соответствие множество его мажорант и (В), является операцией замыкания, замкнутыми относительно которой будут, в точности, все мажорантно стабильные подмножества упорядоченного множества < А, и >. Поэтому семейство всех мажорантно стабильных подмножеств упорядоченного множества < А, и > образует полную решетку относительно включения; она обозначается далее через < М(и), С>. Эта решетка обладает «хорошими» алгебраическими свойствами, в частности, она является вполне дистрибутивной и монокомпактно порожденной [1]. Двойственная ей полная решетка минорантно стабильных подмножеств есть < М(и-1), С>. Отображение, которое каж-
В
теоретико-множественное дополнение Весть антиизоморфизм первой решетки на вторую. Указанные полные решетки являются важными производными структурами упорядоченного множества, которые встречаются в различных разделах математики, связанными со структурой порядка. Приведем несколько примеров, относящихся к задачам принятия решения с упорядоченным множеством исходов.
Пример 1. Антагонистическая игра с упорядоченными исходами представляет собой систему вида С =< X, У, А, и, ^ >, где X есть множество стратегий игрока 1, У - множество стратегий игрока 2, А - множество исходов, упорядоченное отношением порядка и, ^: X х У ^ А - функция реализации. Для антагонистических игр с упорядоченными исходами некоторые их аналоги, заимствованные из классической теории антагонистических игр с функциями выигрыша (оптимальные стратегии игроков, цена игры и
