О граничном поведении рядов Дирихле с ограниченной сумматорной функцией коэффициентов Текст научной статьи по специальности «Математика»

где h(n) — конечнозначный неединичный характер, имеющий ограниченную сумматорную функцию S(x), т.е.

S (x) = ^ h(n) = O( 1).

n^x

Для рядов Дирихле такого вида доказаны следующие утверждения

Теорема 1. Ряд Дирихле вида (1) определяет функцию, регулярную в полуплоскости я > 0, для которой все точки мнимой оси являются точками непрерывности в широком смысле.

Теорема 2. Линия Г(t) = f (it) является простой жордановой линией.

Последнее утверждение позволяет к функции f (s), определенной рядом Дирихле (1), применить известный принцип симметрии аналитического продолжения Римана-Шварца (см. [1]) и продолжить f (s) регулярным образом на комплексную плоскость. Этот результат имеет важное значение для решение известной проблемы обобщенных характеров (см.

[2, 3]).

Библиографический список

1. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. М. : Наука, 1968. Т. 2.

2. Чудаков Н. Г., Линник Ю. В. Об одном классе вполне мультипликативных функций // Докл. АН СССР. 1950. Т. 74, № 2.

3. Чудаков Н. Г., Родосский К. А. Об обобщенном характере // Докл. АН СССР. 1950. Т. 74, № 4.

О ГРАНИЧНОМ ПОВЕДЕНИИ РЯДОВ ДИРИХЛЕ С ОГРАНИЧЕННОЙ СУММАТОРНОЙ ФУНКЦИЕЙ

КОЭФФИЦИЕНТОВ1 В. Н. Кузнецов, О. А. Матвеева (г. Саратов) E-mail: [email protected], [email protected]

Рассмотрим ряд Дирихле

inf

f (s) = E n' s = - + it- (1)

коэффициенты которого удовлетворяют условию

S(x) = Y, an = O(1).

vn

n<x

TO

n

Пусть соответствующий степенной ряд

TO 1

удовлетворяет условиям:

1. существует конечный предел вида lim g(x) = а0

2. для любого натурального k имеет место оценка

|g(x) - ао| < . k C ,, x G [0,1], (2)

|lnk (1 - x) |

где константа C не зависит от k.

При этих предположениях имеет место

Теорема 1. Ряд Дирихле вида (1) определяет функцию, аналитическую в полуплоскости а > 0. При этом все точки мнимой оси являются точками непрерывности в широком смысле

Замечание Условие (2) будет иметь место, если производная функции f (x) будет ограничена на отрезке [0; 1).

В докладе обсуждаются условия, при которых линия Г(£) : r(t) = = f (it), будет простой жордановой линией. Последнее представляет интерес в связи с задачей аналитического продолжения ряда Дирихле (1) в левую полуплоскость комплексной плоскости.

К ЗАДАЧЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ РЯДОВ ДИРИХЛЕ С МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ1 В. Н. Кузнецов, О. А. Матвеева (г. Саратов) E-mail: [email protected], [email protected]

Рассмотри ряд Дирихле вида

то

f (*> = £ ^, s = а + it, (1)

1

ns