Об оценке одного класса сумматорных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

где h(n) — конечнозначная мультипликативная функция натурального аргумента с ограниченной сумматорной функцией, т.е.

S (x) = ^ h(k) = O( 1).

n^k

Функция f (s) вида (1) является аналитической функцией в полуплоскости а > 0. В докладе обсуждаются вопросы аналитического продолжения функции f (s) на всю комплексную плоскость исходя из принципа симметрии Римана-Шварца. В основе такого подхода лежит идея аппроксимации функции f (s) в критической полосе полиномами Дирихле.

ОБ ОЦЕНКЕ ОДНОГО КЛАССА СУММАТОРНЫХ ФУНКЦИИ1 Т. А. Кузнецова, О. А. Матвеева (г. Саратов) E-mail: [email protected], [email protected]

Пусть h(n) — неглавный обобщённый характер, т.е. конечнозначная мультипликативная функция натурального аргумента, отличная от нуля почти для всех простых, имеющая ограниченную сумматорную функцию. Для таких характеров доказана

Теорема 1. Для любого t £ [—T, T] имеет место оценка вида

S(x) = ^ h(n)nit = O(1), (1)

n^x

где константа в символе «О» зависит только от величины T.

Отметим, что в случае, когда h(n) является характером Дирихле, в работе [1] получена оценка вида (1). В работе [2] эта оценка получена для характеров Дирихле методом, отличным от метода работы [1].

В докладе высказывается предположение, что для характеров с ограниченной сумматорной функцией оценка вида (1) равносильна тому, что h(n) — неглавный характер Дирихле.

Библиографический список

1. Чудаков Н. Г., Бредихин Б. М. Применение равенства Парсеваля для оценок сумматорных функций характеров числовых полугрупп // УМН. 1956. Т. 8.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 16-01-00399).

2. Матвеев В. А., Матвеева О. А. О поведении в критической полосе рядов Дирихле с конечнозначными мультипликативными коэффицента-ми и с ограниченной сумматорной функцией // Чебышевский сборник. 2012. Т. 13, вып. 2.

К ЗАДАЧЕ О РАЗЛОЖЕНИИ ФУНКЦИЙ

В РЯДЫ ДИРИХЛЕ Т. А. Кузнецова, В. А. Матвеев (г. Саратов) E-mail: [email protected], [email protected]

В докладе рассматривается задача разложения функций f (x), аналитических и ограниченных в полуплоскости а ^ а0 > 1, которые в этой полуплоскости представляются в виде разложения в ряды вида

то

f W = £ nS' S = а + it. (1)

Данная задача рассматривается в монографии Е. К. Тичмарша [1]. Если имеет место (1), то /а(£) = ](а + И) является почти периодической функцией.

На основании свойств почти периодических функций [2] в направлении решения этой задачи получены следующие результаты.

Пусть X — множество функций /(в), для которых спектральная функция

1 ГТ

а(Л) = Нш — /(х)е гХхйх т^ж Т Уд

существует при любых Л и отлична от нуля лишь для значений аргумента Л вида Лп = 1п п.

Те значения Л, для которых а(Л) = 0, представляют собой конечную или счётную последовательность чисел Л1,Лп,.... Для таких Лп числа а(Лп) = Ап будем называть коэффициентами Фурье, а ряд

то

/(г) - £ Апе-^ (2)

п=1

будем называть рядом Фурье функции /(г). При данных обозначениях имеет место

Теорема 1. Функция /ао (г) = /(ад + г) тогда и только тогда разложима при а ^ а0 в ряд Дирихле (1), кога ряд Фурье функции /ао (г) вида (2) равномерно сходится на действительной оси —ж <Ь < ж.