К задаче аналитического продолжения рядов Дирихле с мультипликативными коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

коэффициенты которого удовлетворяют условию

S(x) = Y, an = O(1).

vn

n<x

TO

n

Пусть соответствующий степенной ряд

TO 1

удовлетворяет условиям:

1. существует конечный предел вида lim g(x) = а0

2. для любого натурального k имеет место оценка

|g(x) - ао| < . k C ,, x G [0,1], (2)

|lnk (1 - x) |

где константа C не зависит от k.

При этих предположениях имеет место

Теорема 1. Ряд Дирихле вида (1) определяет функцию, аналитическую в полуплоскости а > 0. При этом все точки мнимой оси являются точками непрерывности в широком смысле

Замечание Условие (2) будет иметь место, если производная функции f (x) будет ограничена на отрезке [0; 1).

В докладе обсуждаются условия, при которых линия Г(£) : r(t) = = f (it), будет простой жордановой линией. Последнее представляет интерес в связи с задачей аналитического продолжения ряда Дирихле (1) в левую полуплоскость комплексной плоскости.

К ЗАДАЧЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ РЯДОВ ДИРИХЛЕ С МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ1 В. Н. Кузнецов, О. А. Матвеева (г. Саратов) E-mail: [email protected], [email protected]

Рассмотри ряд Дирихле вида

то

f (*> = £ ^, s = а + it, (1)

1

ns

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 16-01-00399).

где h(n) — конечнозначная мультипликативная функция натурального аргумента с ограниченной сумматорной функцией, т.е.

S (x) = ^ h(k) = O( 1).

n^k

Функция f (s) вида (1) является аналитической функцией в полуплоскости а > 0. В докладе обсуждаются вопросы аналитического продолжения функции f (s) на всю комплексную плоскость исходя из принципа симметрии Римана-Шварца. В основе такого подхода лежит идея аппроксимации функции f (s) в критической полосе полиномами Дирихле.

ОБ ОЦЕНКЕ ОДНОГО КЛАССА СУММАТОРНЫХ ФУНКЦИИ1 Т. А. Кузнецова, О. А. Матвеева (г. Саратов) E-mail: [email protected], [email protected]

Пусть h(n) — неглавный обобщённый характер, т.е. конечнозначная мультипликативная функция натурального аргумента, отличная от нуля почти для всех простых, имеющая ограниченную сумматорную функцию. Для таких характеров доказана

Теорема 1. Для любого t £ [—T, T] имеет место оценка вида

S(x) = ^ h(n)nit = O(1), (1)

n^x

где константа в символе «О» зависит только от величины T.

Отметим, что в случае, когда h(n) является характером Дирихле, в работе [1] получена оценка вида (1). В работе [2] эта оценка получена для характеров Дирихле методом, отличным от метода работы [1].

В докладе высказывается предположение, что для характеров с ограниченной сумматорной функцией оценка вида (1) равносильна тому, что h(n) — неглавный характер Дирихле.

Библиографический список

1. Чудаков Н. Г., Бредихин Б. М. Применение равенства Парсеваля для оценок сумматорных функций характеров числовых полугрупп // УМН. 1956. Т. 8.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 16-01-00399).